§3.2 回归分析(1)
教学目标
（1）通过实例引入线性回归模型，感受产生随机误差的原因；
（2）通过对回归模型的合理性等问题的研究，渗透线性回归分析的思想和方法；
（3）能求出简单实际问题的线性回归方程．
教学重点，难点
线性回归模型的建立和线性回归系数的最佳估计值的探求方法．
教学过程
一．问题情境
1． 情境：对一作直线运动的质点的运动过程观测了次，得到如下表所示的数据，试估计当x=９时的位置y的值．
时刻/s
位置观测值/cm
根据《数学（必修）》中的有关内容，解决这个问题的方法是：
先作散点图，如下图所示：
从散点图中可以看出，样本点呈直线趋势，时间与位置观测值y之间有着较好的线性关系．因此可以用线性回归方程来刻画它们之间的关系．根据线性回归的系数公式，
可以得到线性回归方为，所以当时，由线性回归方程可以估计其位置值为
2．问题：在时刻时，质点的运动位置一定是吗？
二．学生活动
思考，讨论：这些点并不都在同一条直线上，上述直线并不能精确地反映与之间的关系，的值不能由完全确定，它们之间是统计相关关系，的实际值与估计值之间存在着误差．
三．建构数学
1．线性回归模型的定义：
我们将用于估计值的线性函数作为确定性函数；
的实际值与估计值之间的误差记为，称之为随机误差；
将称为线性回归模型．
说明：（1）产生随机误差的主要原因有：
①所用的确定性函数不恰当引起的误差；
②忽略了某些因素的影响；
③存在观测误差．
（2）对于线性回归模型，我们应该考虑下面两个问题：
①模型是否合理（这个问题在下一节课解决）；
②在模型合理的情况下，如何估计，？
2．探求线性回归系数的最佳估计值：
对于问题②，设有对观测数据，根据线性回归模型，对于每一个，对应的随机误差项，我们希望总误差越小越好，即要使越小越好．所以，只要求出使取得最小值时的，值作为，的估计值，记为，．
注：这里的就是拟合直线上的点到点的距离．
用什么方法求，？
回忆《数学3（必修）》“2．4线性回归方程”P71“热茶问题”中求，的方法：最小二乘法．
利用最小二乘法可以得到，的计算公式为
，
其中，
由此得到的直线就称为这对数据的回归直线，此直线方程即为线性回归方程．其中，分别为，的估计值，称为回归截距，称为回归系数，称为回归值．
在前面质点运动的线性回归方程中，，．
3． 线性回归方程中，的意义是：以为基数，每增加1个单位，相应地平均增加个单位；
4． 化归思想（转化思想）
在实际问题中，有时两个变量之间的关系并不是线性关系，这就需要我们根据专业知识或散点图，对某些特殊的非线性关系，选择适当的变量代换，把非线性方程转化为线性回归方程，从而确定未知参数．下面列举出一些常见的曲线方程，并给出相应的化为线性回归方程的换元公式．
（1），令，，则有．
（2），令，，，则有．
（3），令，，，则有．
（4），令，，，则有．
（5），令，，则有．
四．数学运用
1．例题：
例1．下表给出了我国从年至年人口数据资料，试根据表中数据估计我国年的人口数．
年份
人口数/百万
解：为了简化数据，先将年份减去，并将所得值用表示，对应人口数用表示，得到下面的数据表：
作出个点构成的散点图，
由图可知，这些点在一条直线附近，可以用线性回归模型来表示它们之间的关系．
根据公式（1）可得
这里的分别为的估
计值，因此线性回归方程
为
由于年对应的,代入线性回归方程可得（百万），即年的人口总数估计为13.23亿.
例2． 某地区对本地的企业进行了一次抽样调查，下表是这次抽查中所得到的各企业的人均资本（万元）与人均产出（万元）的数据：
人均
资本
/万元
人均
产出
/万元
（1）设与之间具有近似关系（为常数），试根据表中数据估计和的值；
（2）估计企业人均资本为万元时的人均产出（精确到）．
分析：根据，所具有的关系可知，此问题不是线性回归问题，不能直接用线性回归方程处理．但由对数运算的性质可知，只要对的两边取对数，就能将其转化为线性关系．
解（1）在的两边取常用对数，可得，设，，，则．相关数据计算如图所示．
1
人均资本/万元
3
4
5.5
6.5
7
8
9
10.5
11.5
14
2
人均产出/万元
4.12
4.67
8.68
11.01
13.04
14.43
17.5
25.46
26.66
45.2
3
0.47712
0.60206
0.74036
0.81291
0.8451
0.90309
0.95424
1.02119
1.0607
1.14613
4
0.6149
0.66932
0.93852
1.04179
1.11528
1.15927
1.24304
1.40586
1.42586
1.65514
仿照问题情境可得，的估计值，分别为由可得，即，的估计值分别为和．
（2）由（1）知．样本数据及回归曲线的图形如图（见书本 页）
当时，（万元），故当企业人均资本为万元时，人均产值约为万元．
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