第四节函数y＝sin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用
[知识能否忆起]
一、y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，
x∈[0，＋∞)表示一个振动量时
振幅
周期
频率
相位
初相
A
T＝
f＝＝
ωx＋φ
φ
二、用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图
用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：
x
－
－＋
－
ωx＋φ
0
π
2π
y＝Asin(ωx＋φ)
0
A
0
－A
0
三、函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤
[小题能否全取]
1．函数y＝sin的图象的一条对称轴的方程是( )
A．x＝0 B．x＝
C．x＝π D．x＝2π
解析：选C 由＝＋kπ得x＝π＋2kπ(k∈Z)．故x＝π是函数y＝sin的一条对称轴．
2．(教材习题改编)已知简谐运动f(x)＝2sin的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为( )
A．T＝6，φ＝ B．T＝6，φ＝
C．T＝6π，φ＝ D．T＝6π，φ＝
解析：选A 最小正周期为T＝＝6；
由2sin φ＝1，得sin φ＝，φ＝.
3．(2012·安徽高考)要得到函数y＝cos(2x＋1)的图象，只要将函数y＝cos 2x的图象( )
A．向左平移1个单位 B．向右平移1个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
解析：选C ∵y＝cos(2x＋1)＝cos 2，
∴只要将函数y＝cos 2x的图象向左平移个单位即可．
4．用五点法作函数y＝sin在一个周期内的图象时，主要确定的五个点是________、________、________、________、________.
答案：
5．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A>0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω＝________.
解析：观察函数图象可得周期T＝，
则T＝＝，所以ω＝3.
答案：3
1.确定y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0，|φ|<π)中的参数的方法：
在由图象求解析式时，若最大值为M，最小值为m，则A＝，k＝，ω由周期T确定，即由＝T求出，φ由特殊点确定．
2．由y＝sin x的图象变换到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是(ω>0)个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是于ωx加减多少值．
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
典题导入
[例1] 已知函数f(x)＝3sin，x∈R.
(1)画出函数f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图；
(2)将函数y＝sin x的图象作怎样的变换可得到f(x)的图象？
[自主解答] (1)列表取值：
x
π
π
π
π
x－
0
π
π
2π
f(x)
0
3
0
－3
0
描出五个关键点并用光滑曲线连接，得到一个周期的简图．
(2)先把y＝sin x的图象向右平移个单位，然后把所有点的横坐标扩大为原来的2倍，再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到f(x)的图象．
由题悟法
函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的作法
(1)五点法：用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．
(2)图象变换法：由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．
以题试法
1．(2012·江西省重点中学联考)把函数y＝sin图象上各点的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)，再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为( )
A．x＝－ B．x＝－
C．x＝ D．x＝
解析：选A 依题意得，经过图象变换后得到的图象相应的解析式是y＝sin＝sin＝－cos 2x，注意到当x＝－时，y＝－cos(－π)＝1，此时y＝－cos 2x取得最大值，因此直线x＝－是该图象的一条对称轴.
求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
典题导入
[例2] (2011·江苏高考)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f(0)的值是________．
[自主解答] 由图可知：A＝，＝－＝，所以T＝π，ω＝＝2，又函数图象经过点，所以2×＋φ＝π，则φ＝，故函数的解析式为f(x)＝sin，
所以f(0)＝sin＝.
[答案]
若本例函数的部分图象变为如图所示，试求f(0)．
解：由图知A＝5，
由＝－π＝，得T＝3π，
∴ω＝＝.
此时y＝5sin.
将最高点坐标代入y＝5sin，
得5sin＝5，
∴＋φ＝2kπ＋，∴φ＝2kπ＋(k∈Z)．
∴f(x)＝5sin，f(0)＝5sin＝.
由题悟法
确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的步骤和方法
(1)求A，b，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝.
(2)求ω，确定函数的周期T，则可得ω＝.
(3)求φ，常用的方法有：
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．
②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．具体如下：
“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)时ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)时ωx＋φ＝；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)时ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)时ωx＋φ＝；“第五点”时ωx＋φ＝2π(如例2)．
以题试法
2．(1) (2012·浙江金华模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象与y轴交于点(0，)，在y轴右边到y轴最近的最高点坐标为，则不等式f(x)>1的解集是( )
A.，k∈Z
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
解析：选D 依题意A＝2,2sin φ＝且|φ|<，
则φ＝，
由2sin＝2得＋＝，则ω＝2，
由f(x)＝2sin>1，得2kπ＋<2x＋<2kπ＋(k∈Z)，所以kπ－0,0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，A、B分别为最高点、最低点，且AB＝2，则该函数图象的一条对称轴为( )
A．x＝ B．x＝
C．x＝2 D．x＝1
解析：选D 由y＝cos(ωx＋φ)为奇函数知φ＝kπ＋，其中k∈Z.又0<φ<π，所以φ＝，则y＝cos＝－sin ωx.由AB＝2知 ＝2，所以T＝4＝，得ω＝，y＝－sin .结合选项知当x＝1时，y＝－sin ＝－1，此时函数y＝－sin取得最小值，因此该函数图象的一条对称轴为x＝1.
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质的综合应用
典题导入
[例3] 已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象与y轴的交点为(0,1)，它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0,2)和(x0＋2π，－2)．
(1)求f(x)的解析式及x0的值；
(2)求f(x)的增区间；
(3)若x∈[－π，π]，求f(x)的值域．
[自主解答] (1)由图象知A＝2，由＝2π得T＝4π，所以ω＝.
∴f(x)＝2sin，
∴f(0)＝2sin φ＝1，又∵|φ|<，
∴φ＝，∴f(x)＝2sin，
由f(x0)＝2sin＝2，
∴x0＋＝＋2kπ，
x0＝4kπ＋，k∈Z，
又(x0,2)是y轴右侧的第一个最高点，
∴x0＝.
(2)由－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z得－＋4kπ≤x≤＋4kπ，所以f(x)的增区间为，k∈Z.
(3)∵－π≤x≤π，
∴－≤x＋≤，
∴－≤sin≤1，
∴－≤f(x)≤2，所以f(x)的值域为[－，2]．
由题悟法
利用三角函数图象与x轴的相邻两个交点之间的距离为三角函数的个最小正周期，可求解参数ω的值，利用图象的最高点、低点为三角函数最值点，可求解参数A的值．在求函数值域时，由定义域转化成ωx＋φ的范围，即把ωx＋φ看作一个整体，再结合三角函数的图象求解．
以题试法
3．函数f(x)＝Asin＋1(A>0，ω>0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设α∈，则f＝2，求α的值．
解：(1)因为A＋1＝3，所以A＝2.又因为函数图象相邻对称轴之间的距离为半个周期，
所以＝，得T＝π，所以ω＝＝2，
所以f(x)＝2sin＋1.
(2)因为f＝2sin＋1＝2，
所以sin＝.
因为0<α<，
所以－<α－<，所以α－＝，所以α＝.
1．函数y＝cos x(x∈R)的图象向左平移个单位后，得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)的解析式应为( )
A．－sin x B．sin x
C．－cos x D．cos x
解析：选A 由图象的平移得g(x)＝cos＝－sin x.
2．(2012·潍坊模拟)将函数y＝cos 2x的图象向右平移个单位长度，得到函数y＝f(x)·sin x的图象，则f(x)的表达式可以是( )
A．f(x)＝－2cos x B．f(x)＝2cos x
C．f(x)＝sin 2x D．f(x)＝(sin 2x＋cos 2x)
解析：选B 平移后的函数解析式是y＝cos 2＝sin 2x＝2sin xcos x，故函数f(x)的表达式可以是f(x)＝2cos x.
3．(2012·天津高考)将函数f(x)＝sin ωx(其中ω>0)的图象向右平移个单位长度，所得图象经过点，则ω的最小值是( )
A. B．1
C. D．2
解析：选D 将函数f(x)＝sin ωx的图象向右平移个单位长度，得到的图象对应的函数解析式为f(x)＝sin ω＝sin.又因为函数图象过点，所以sin＝sin＝0，所以＝kπ，即ω＝2k(k∈Z)，因为ω>0，所以ω的最小值为2.
4.(2012·海淀区期末练习)函数f(x)＝Asin(2x＋φ)(A>0，φ∈R)的部分图象如图所示，那么f(0)＝( )
A．－ B．－
C．－1 D．－
解析：选C 由图可知，A＝2，f＝2，
∴2sin＝2，sin＝1，
∴＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，φ＝－＋2kπ(k∈Z)，
∴f(0)＝2sin φ＝2sin＝2×＝－1.
5.(2013·福州质检)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)的部分图象如图所示，则函数f(x)的一个单调递增区间是( )
A. B.
C. D.
解析：选D 由函数的图象可得T＝－，∴T＝π，
则ω＝2，又图象过点，∴2sin＝2，
∴φ＝－＋2kπ，k∈Z，∴f(x)＝2sin，其单调递增区间为，k∈Z，取k＝0，即得选项D.
6.(2012·潍坊模拟)如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置P(x，y)．若初始位置为P0，当秒针从P0(注：此时t＝0)正常开始走时，那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系为( )
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
解析：选C 由题意可得，函数的初相位是，排除B、D.又函数周期是60(秒)且秒针按顺时针旋转，即T＝＝60，所以|ω|＝，即ω＝－.
7.(2012·南京模拟)已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)，y＝f(x)的部分图象如图，则f＝________.
解析：由题中图象可知，此正切函数的半周期等于－＝＝，即周期为，所以，ω＝2.由题意可知，图象过定点，所以0＝Atan，即＋φ＝kπ(k∈Z)，所以，φ＝kπ－(k∈Z)，又|φ|＜，所以，φ＝.再由图象过定点(0,1)，得A＝1.综上可知，f(x)＝tan.故有f＝tan＝tan＝.
答案：
8.(2012·成都模拟)如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s(cm)和时间t(s)的关系式为s＝6sin，那么单摆来回摆动一次所需的时间为________s.
解析：单摆来回摆动一次所需的时间即为一个周期T＝＝1.
答案：1
9．给出下列六种图象变换方法：
(1)图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的；
(2)图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍；
(3)图象向右平移个单位；
(4)图象向左平移个单位；
(5)图象向右平移个单位；
(6)图象向左平移个单位．
请用上述变换中的两种变换，将函数y＝sin x的图象变换到函数y＝sin的图象，那么这两种变换正确的标号是________(要求按变换先后顺序填上一种你认为正确的标号即可)．
解析：y＝sin xy＝sin
y＝sin，或y＝sin xy＝sinx
y＝sin＝sin.
答案：(4)(2)(或((2)(6)))
10．(2012·苏州模拟)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋n的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线x＝是其图象的一条对称轴，若A>0，ω>0,0<φ<，求函数的解析式．
解：由题意可得解得
又因为函数的最小正周期为，所以ω＝＝4.
由直线x＝是一条对称轴可得4×＋φ＝kπ＋(k∈Z)，
故φ＝kπ－(k∈Z)，又0<φ<，所以φ＝.
综上可得y＝2sin＋2.
11．设函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的最小正周期为π，且f＝.
(1)求ω和φ的值；
(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象．
解：(1)周期T＝＝π，∴ω＝2，
∵f＝cos＝cos＝－sin φ＝，∵－<φ<0，∴φ＝－.
(2)∵f(x)＝cos，列表如下：
2x－
－
0
π
x
0
π
f(x)
1
0
－1
0
图象如图：
12．已知函数f(x)＝2sincos－sin (x＋π)．
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若将f(x)的图象向右平移个单位，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间[0，π]上的最大值和最小值．
解：(1)因为f(x)＝sin＋sin x＝cos x＋sin x＝2＝2sin，
所以f(x)的最小正周期为2π.
(2)∵将f(x)的图象向右平移个单位，得到函数g(x)的图象，
∴g(x)＝f＝2sin＝2sin.
∵x∈[0，π]，∴x＋∈，
∴当x＋＝，即x＝时，
sin＝1，g(x)取得最大值2.
当x＋＝，即x＝π时，sin＝－，g(x)取得最小值－1.
1．(2012·江西九校联考)已知A，B，C，D是函数y＝sin(ωx＋φ)一个周期内的图象上的四个点，如图所示，A，B为y轴上的点，C为图象上的最低点，E为该函数图象的一个对称中心，B与D关于点E对称，在x轴上的投影为，则ω，φ的值为( )
A．ω＝2，φ＝ B．ω＝2，φ＝
C．ω＝，φ＝ D．ω＝，φ＝
解析：选A 由在x轴上的投影为，知OF＝，
又A，所以AF＝＝＝，所以ω＝2.
同时函数图象可以看做是由y＝sin x的图象向左平移而来，故可知＝＝，即φ＝.
2．已知f(x)＝sin，g(x)＝cos，则下列结论中正确的是( )
A．函数y＝f(x)·g(x)的周期为2
B．函数y＝f(x)·g(x)的最大值为1
C．将f(x)的图象向左平移个单位后得到g(x)的图象
D．将f(x)的图象向右平移个单位后得到g(x)的图象
解析：选D ∵f(x)＝sin＝cos x，
g(x)＝cos＝cos＝sin x，
∴y＝f(x)·g(x)＝cos x·sin x＝sin 2x.
T＝＝π，最大值为，
∴选项A、B错误．
又∵f(x)＝cos x
g(x)＝cos
∴选项C错误，D正确．
3．为迎接夏季旅游旺季的到来，少林寺单独设置了一个专门安排游客住宿的客栈，寺庙的工作人员发现为游客准备的一些食物有些月份剩余不少，浪费很严重，为了控制经营成本，减少浪费，就想适时调整投入．为此他们统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律：
①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；
②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人；
③2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多．
(1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系；
(2)请问哪几个月份要准备400份以上的食物？
解：(1)设该函数为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0，0<|φ|<π)，根据条件①，可知这个函数的周期是12；由②可知，f(2)最小，f(8)最大，且f(8)－f(2)＝400，故该函数的振幅为200；由③可知，f(x)在[2,8]上单调递增，且f(2)＝100，所以f(8)＝500.
根据上述分析可得，＝12，故ω＝，且解得
根据分析可知，当x＝2时f(x)最小，当x＝8时f(x)最大，
故sin＝－1，且sin＝1.
又因为0<|φ|<π，故φ＝－.
所以入住客栈的游客人数与月份之间的关系式为
f(x)＝200sin＋300.
(2)由条件可知，200sin＋300≥400，化简，得
sin≥?2kπ＋≤x－≤2kπ＋，k∈Z，
解得12k＋6≤x≤12k＋10，k∈Z.
因为x∈N*，且1≤x≤12，故x＝6,7,8,9,10.
即只有6,7,8,9,10五个月份要准备400份以上的食物．
1．定义行列式运算＝a1a4－a2a3.将函数f(x)＝的图象向左平移n(n>0)个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则n的最小值为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 依题意可得f(x)＝＝cos x－sin x＝2 cos，图象向左平移n(n>0)个单位得f(x＋n)＝2cos，要使平移后的函数为偶函数，则n的最小值为.
2．已知函数f(x)＝Asin(3x＋φ)(A>0,0<φ<π)在x＝时取得最大值4.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)的解析式．
解：(1)∵f(x)＝Asin(3x＋φ)，
∴T＝，即f(x)的最小正周期为.
(2)∵当x＝时，f(x)有最大值4，
∴A＝4.∴4＝4sin，∴sin＝1.
即＋φ＝2kπ＋，得φ＝2kπ＋.
∵0<φ<π，∴φ＝.
∴f(x)＝4sin.
3．(2012·北京模拟)设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)，y＝f(x)图象的一条对称轴是直线x＝.
(1)求φ；
(2)求函数y＝f(x)的单调递增区间；
(3)画出函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图象．
解：(1)∵x＝是函数y＝f(x)的图象的对称轴，
∴sin＝±1，
∴＋φ＝kπ＋，k∈Z，
∵－π<φ<0，∴φ＝－.
(2)由(1)知φ＝－，因此y＝sin.
由题意得2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z.
解得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.
所以函数y＝sin的单调递增区间为，k∈Z.
(3)由y＝sin列表如下：
x
0
π
y
－
－1
0
1
0
－
故函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图象为：
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