第三节函数的单调性与最值  [知识能否忆起] 一、函数的单调性 1．单调函数的定义 增函数 减函数  定义 设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2   当x1f(x2) ，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数  图象描述 自左向右看图象逐渐上升 自左向右看图象逐渐下降   2．单调区间的定义 若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 二、函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足  条件 ①对于任意x∈I，都有f(x)≤M； ②存在x0∈I，使得f(x0)＝M ①对于任意x∈I，都有f(x)≥M； ②存在x0∈I，使得f(x0)＝M  结论 M为最大值 M为最小值   [小题能否全取] 1．(2012·陕西高考)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为(　　) A．y＝x＋1　　　　　　　　 B．y＝－x3 C．y＝ D．y＝x|x| 解析：选D　由函数的奇偶性排除A，由函数的单调性排除B、C，由y＝x|x|的图象可知此函数为增函数，又该函数为奇函数，故选D. 2．函数y＝(2k＋1)x＋b在(－∞，＋∞)上是减函数，则(　　) A．k> B．k< C．k>－ D．k<－ 解析：选D　函数y＝(2k＋1)x＋b是减函数， 则2k＋1<0，即k<－. 3．(教材习题改编)函数f(x)＝的最大值是(　　) A. B. C. D. 解析：选D　∵1－x(1－x)＝x2－x＋1＝2＋≥，∴0<≤. 4．(教材习题改编)f(x)＝x2－2x(x∈[－2,4])的单调增区间为________；f(x)max＝________. 解析：函数f(x)的对称轴x＝1，单调增区间为[1,4]，f(x)max＝f(－2)＝f(4)＝8. 答案：[1,4]　8 5．已知函数f(x)为R上的减函数，若mf(n)； >1，即|x|<1，且x≠0. 故－1　(－1,0)∪(0,1) 1.函数的单调性是局部性质 从定义上看，函数的单调性是指函数在定义域的某个子区间上的性质，是局部的特征．在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调． 2．函数的单调区间的求法 函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域．对于基本初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解，如二次函数、对数函数、指数函数等；如果是复合函数，应根据复合函数的单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，再根据“同则增，异则减”的法则求解函数的单调区间． [注意]　单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．   函数单调性的判断   典题导入 [例1]　证明函数f(x)＝2x－在(－∞，0)上是增函数． [自主解答]　设x1，x2是区间(－∞，0)上的任意两个自变量的值，且x10， 因此f(x1)－f(x2)<0， 即f(x1)0， 因此g(x1)－g(x2)<0，即g(x1)，得－10.∴m>1或m<－2. (2)由f(x)＝可得函数f(x)的单调递增区间为，故3＝－，解得a＝－6. [答案]　(1)(－∞，－2)∪(1，＋∞)　(2)－6 由题悟法 单调性的应用主要涉及利用单调性求最值，进行大小比较，解抽象函数不等式，解题时要注意：一是函数定义域的限制；二是函数单调性的判定；三是等价转化思想与数形结合思想的运用． 以题试法 3．(1)(2013·孝感调研)函数f(x)＝在[2,3]上的最小值为________，最大值为________． (2)已知函数f(x)＝－(a>0，x>0)，若f(x)在上的值域为，则a＝__________. 解析：(1)∵f′(x)＝－<0，∴f(x)在[2,3]上为减函数，∴f(x)min＝f(3)＝＝，f(x)max＝＝1. (2)由反比例函数的性质知函数f(x)＝－(a>0，x>0)在上单调递增， 所以即解得a＝. 答案：(1)　1　(2)   1．(2012·广东高考)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是(　　) A．y＝ln(x＋2)　　　　　　 B．y＝－ C．y＝x D．y＝x＋ 解析：选A　选项A的函数y＝ln(x＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函数． 2．若函数f(x)＝4x2－mx＋5在[－2，＋∞)上递增，在(－∞，－2]上递减，则f(1)＝(　　) A．－7 B．1 C．17 D．25 解析：选D　依题意，知函数图象的对称轴为x＝－＝＝－2，即 m＝－16，从而f(x)＝4x2＋16x＋5，f(1)＝4＋16＋5＝25. 3．(2013·佛山月考)若函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，则y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上是(　　) A．增函数 B．减函数 C．先增后减 D．先减后增 解析：选B　∵y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，∴a<0，b<0，∴y＝ax2＋bx的对称轴方程x＝－<0，∴y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上为减函数． 4．“函数f(x)在[a，b]上为单调函数”是“函数f(x)在[a，b]上有最大值和最小值”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A　若函数f(x)在[a，b]上为单调递增(减)函数，则在[a，b]上一定存在最小(大)值f(a)，最大(小)值f(b)．所以充分性满足；反之，不一定成立，如二次函数f(x)＝x2－2x＋3在[0,2]存在最大值和最小值，但该函数在[0,2]不具有单调性，所以必要性不满足，即“函数f(x)在[a，b]上单调”是“函数f(x)在[a，b]上有最大值和最小值”的充分不必要条件． 5．(2012·青岛模拟)已知奇函数f(x)对任意的正实数x1，x2(x1≠x2)，恒有(x1－x2)(f(x1)－f(x2))>0，则一定正确的是(　　) A．f(4)>f(－6) B．f(－4)f(－6) D．f(4)0知f(x)在(0，＋∞)上递增，所以f(4)f(－6)． 6．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当x<0时，f(x)>0，则函数f(x)在[a，b]上有(　　) A．最小值f(a) B．最大值f(b) C．最小值f(b) D．最大值f 解析：选C　∵f(x)是定义在R上的函数，且 f(x＋y)＝f(x)＋f(y)， ∴f(0)＝0，令y＝－x，则有f(x)＋f(－x)＝f(0)＝0. ∴f(－x)＝－f(x)．∴f(x)是R上的奇函数．设x10. ∴f(x)在R上是减函数．∴f(x)在[a，b]有最小值f(b)． 7．函数y＝－(x－3)|x|的递增区间是________． 解析：y＝－(x－3)|x| ＝ 作出该函数的图象，观察图象知递增区间为. 答案： 8．(2012·台州模拟)若函数y＝|2x－1|，在(－∞，m]上单调递减，则m的取值范围是________． 解析：画出图象易知y＝|2x－1|的递减区间是(－∞，0]， 依题意应有m≤0. 答案：(－∞，0] 9．若f(x)＝在区间(－2，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是________． 解析：设x1>x2>－2，则f(x1)>f(x2)， 而f(x1)－f(x2)＝－ ＝ ＝>0，则2a－1>0. 得a>. 答案： 10．求下列函数的单调区间： (1)y＝－x2＋2|x|＋1； (2)y＝a1－2x－x2(a>0且a≠1)． 解：(1)由于y＝ 即y＝ 画出函数图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)． (2)令g(x)＝1－2x－x2＝－(x＋1)2＋2， 所以g(x)在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，＋∞)上单调递减． 当a>1时，函数y＝a1－2x－x2的增区间是(－∞，－1)，减区间是(－1，＋∞)； 当00且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围． 解：(1)证明：设x10，x1－x2<0， ∴f(x1)0，x2－x1>0， ∴要使f(x1)－f(x2)>0， 只需(x1－a)(x2－a)>0恒成立， ∴a≤1. 综上所述，a的取值范围为(0,1]． 12．(2011·上海高考)已知函数f(x)＝a·2x＋b·3x，其中常数a，b满足ab≠0. (1)若ab>0，判断函数f(x)的单调性； (2)若ab<0，求f(x＋1)>f(x)时x的取值范围． 解：(1)当a>0，b>0时，任意x1，x2∈R，x10?a(2x1－2x2)<0， 3x1<3x2，b>0?b(3x1－3x2)<0， ∴f(x1)－f(x2)<0，函数f(x)在R上是增函数． 同理，当a<0，b<0时，函数f(x)在R上是减函数． (2)f(x＋1)－f(x)＝a·2x＋2b·3x>0， 当a<0，b>0时，x>－， 则x>log1.5； 同理，当a>0，b<0时，x<－， 则x0，y>0都有f＝f(x)－f(y)，当x>1时，有f(x)>0. (1)求f(1)的值； (2)判断f(x)的单调性并加以证明； (3)若f(4)＝2，求f(x)在[1,16]上的值域． 解：(1)∵当x>0，y>0时， f＝f(x)－f(y)， ∴令x＝y>0，则f(1)＝f(x)－f(x)＝0. (2)设x1，x2∈(0，＋∞)，且x1x1>0.∴>1，∴f>0. ∴f(x2)>f(x1)，即f(x)在(0，＋∞)上是增函数． (3)由(2)知f(x)在[1,16]上是增函数． ∴f(x)min＝f(1)＝0，f(x)max＝f(16)， ∵f(4)＝2，由f＝f(x)－f(y)， 知f＝f(16)－f(4)， ∴f(16)＝2f(4)＝4， ∴f(x)在[1,16]上的值域为[0,4]．  1．求函数f(x)＝的单调区间． 解：设u＝x2＋x－6，y＝. 由x2＋x－6≥0，得x≤－3或x≥2. 结合二次函数的图象可知，函数u＝x2＋x－6在(－∞，－3]上是递减的，在[2，＋∞)上是递增的． 又∵函数y＝是递增的，∴函数f(x)＝在(－∞，－3]上是递减的，在[2，＋∞)上是递增的． 2．定义在R上的函数f(x)满足：对任意实数m，n，总有f(m＋n)＝f(m)·f(n)，且当x>0时，0f(1)}，B＝{(x，y)|f(ax－y＋)＝1，a∈R}，若A∩B＝?，试确定a的取值范围． 解：(1)在f(m＋n)＝f(m)·f(n)中，令m＝1，n＝0， 得f(1)＝f(1)·f(0)． 因为f(1)≠0，所以f(0)＝1. (2)任取x1，x2∈R，且x10，所以00时，01>0. 又f(0)＝1，所以综上可知，对于任意的x1∈R， 均有f(x1)>0. 所以f(x2)－f(x1)＝f(x1)[f(x2－x1)－1]<0. 所以函数f(x)在R上单调递减． (3)f(x2)·f(y2)>f(1)，即x2＋y2<1. f(ax－y＋)＝1＝f(0)，即ax－y＋＝0. 由A∩B＝?，得直线ax－y＋＝0与圆面x2＋y2<1无公共点，所以≥1，解得－1≤a≤1.
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