第四节函数的奇偶性及周期性
[知识能否忆起]
一、函数的奇偶性
奇偶性
定 义
图象特点
偶函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数
关于y轴对称
奇函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数
关于原点对称
二、周期性
1．周期函数
对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
2．最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
[小题能否全取]
1．(2012·广东高考)下列函数为偶函数的是( )
A．y＝sin x B．y＝x3
C．y＝ex D．y＝ln
解析：选D 四个选项中的函数的定义域都是R.y＝sin x为奇函数．幂函数y＝x3也为奇函数．指数函数y＝ex为非奇非偶函数．令f(x)＝ln ，得f(－x)＝ln ＝ln ＝f(x)．所以y＝ln为偶函数．
2．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b 的值是( )
A．－ B.
C. D．－
解析：选B ∵f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，
∴a－1＋2a＝0，∴a＝.又f(－x)＝f(x)，
∴b＝0，∴a＋b＝.
3．(教材习题改编)已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x＋4)＝f(x)，则f(8)的值为( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析：选B ∵f(x)为奇函数且f(x＋4)＝f(x)，
∴f(0)＝0，T＝4.
∴f(8)＝f(0)＝0.
4．若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________.
解析：法一：∵f(－x)＝f(x)对于x∈R恒成立，∴|－x＋a|＝|x＋a|对于x∈R恒成立，两边平方整理得ax＝0，对于x∈R恒成立，故a＝0.
法二：由f(－1)＝f(1)，
得|a－1|＝|a＋1|，故a＝0.
答案：0
5．(2011·广东高考)设函数f(x)＝x3cos x＋1.若f(a)＝11，则f(－a)＝________.
解析：观察可知，y＝x3cos x为奇函数，且f(a)＝a3cos a＋1＝11，故a3cos a＝10.则f(－a)＝－a3cos a＋1＝－10＋1＝－9.
答案：－9
1.奇、偶函数的有关性质：
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件；
(2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；反之亦然；
(3)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0；
(4)利用奇函数的图象关于原点对称可知，奇函数在原点两侧的对称区间上的单调性相同；利用偶函数的图象关于y轴对称可知，偶函数在原点两侧的对称区间上的单调性相反．
2．若函数满足f(x＋T)＝f(x)，由函数周期性的定义可知T是函数的一个周期；应注意nT(n∈Z且n≠0)也是函数的周期．
函数奇偶性的判断
典题导入
[例1] (2012·福州质检)设Q为有理数集，函数f(x)＝g(x)＝，则函数h(x)＝f(x)·g(x)( )
A．是奇函数但不是偶函数
B．是偶函数但不是奇函数
C．既是奇函数也是偶函数
D．既不是偶函数也不是奇函数
[自主解答] ∵当x∈Q时，－x∈Q，∴f(－x)＝f(x)＝1；当x∈?RQ时，－x∈?RQ，∴f(－x)＝f(x)＝－1.综上，对任意x∈R，都有f(－x)＝f(x)，故函数f(x)为偶函数．∵g(－x)＝＝＝－＝－g(x)，∴函数g(x)为奇函数．∴h(－x)＝f(－x)·g(－x)＝f(x)·[－g(x)]＝－f(x)g(x)＝－h(x)，∴函数h(x)＝f(x)·g(x)是奇函数．∴h(1)＝f(1)·g(1)＝，h(－1)＝f(－1)·g(－1)＝1×＝，h(－1)≠h(1)，∴函数h(x)不是偶函数．
[答案] A
由题悟法
利用定义判断函数奇偶性的方法
(1)首先求函数的定义域，定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要条件；
(2)如果函数的定义域关于原点对称，可进一步判断f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是否对定义域内的每一个x恒成立(恒成立要给予证明，否则要举出反例)．
[注意] 判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f(－x)与f(x)的关系，只有对各段上的x都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性．
以题试法
1．判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝＋；
(2)f(x)＝3x－3－x；
(3)f(x)＝；
(4)f(x)＝
解：(1)∵由得x＝±1，
∴f(x)的定义域为{－1,1}．
又f(1)＋f(－1)＝0，f(1)－f(－1)＝0，
即f(x)＝±f(－x)．
∴f(x)既是奇函数又是偶函数．
(2)∵f(x)的定义域为R，
∴f(－x)＝3－x－3x＝－(3x－3－x)＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数．
(3)∵由得－2≤x≤2且x≠0.
∴f(x)的定义域为[－2,0)∪(0,2]，
∴f(x)＝＝＝，
∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．
(4)f(x)的定义域为R，关于原点对称，当x>0时，f(－x)＝－(－x)2－2＝－(x2＋2)＝－f(x)；
当x<0时，f(－x)＝(－x)2＋2＝－(－x2－2)＝－f(x)；
当x＝0时，f(0)＝0，也满足f(－x)＝－f(x)．
故该函数为奇函数．
函数奇偶性的应用
典题导入
[例2] (1)(2012·上海高考)已知y＝f(x)＋x2是奇函数，且f(1)＝1.若g(x)＝f(x)＋2，则g(－1)＝________.
(2)(2012·烟台调研)设偶函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且f(2)＝0，则不等式>0的解集为( )
A．(－2,0)∪(2，＋∞) B．(－∞，－2)∪(0,2)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－2,0)∪(0,2)
[自主解答] (1)∵y＝f(x)＋x2是奇函数，且x＝1时，y＝2，∴当x＝－1时，y＝－2，即f(－1)＋(－1)2＝－2，
得f(－1)＝－3，所以g(－1)＝f(－1)＋2＝－1.
(2)∵f(x)为偶函数，
∴＝>0.
∴xf(x)>0.
∴或
又f(－2)＝f(2)＝0，f(x)在(0，＋∞)上为减函数，
故x∈(0,2)或x∈(－∞，－2)．
[答案] (1)－1 (2)B
本例(2)的条件不变，若n≥2且n∈N*，试比较f(－n)，f(1－n)，f(n－1)，f(n＋1)的大小．
解：∵f(x)为偶函数，所以f(－n)＝f(n)，
f(1－n)＝f(n－1)．
又∵函数y＝f(x)在(0，＋∞)为减函数，且0f(2a)，则实数a的取值范围是________．
解析：(1)当x<0时，则－x>0，所以f(x)＝x2＋x，f(－x)＝ax2－bx，而f(－x)＝－f(x)，即－x2－x＝ax2－bx，
所以a＝－1，b＝1，故a＋b＝0.
(2)因为f(x)＝x2＋2x在[0，＋∞)上是增函数，又因为f(x)是R上的奇函数，所以函数f(x)是R上的增函数，要使f(3－a2)>f(2a)，只需3－a2>2a，解得－30时，－x<0，则h(－x)＝x2－x＝－(－x2＋x)＝－h(x)，当x<0时－x>0，则h(－x)＝－x2－x＝－(x2＋x)＝－h(x)．
x＝0时，h(0)＝0，故h(x)为奇函数．
5．(2013·杭州月考)已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋m(m为常数)，则f(－1)的值为( )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
解析：选A 函数f(x)为定义在R上的奇函数，
则f(0)＝0，即f(0)＝20＋m＝0，解得m＝－1.
则f(x)＝2x＋2x－1，f(1)＝21＋2×1－1＝3，f(－1)＝－f(1)＝－3.
6．若函数f(x)＝为奇函数，则a＝( )
A. B.
C. D．1
解析：选A ∵f(x)＝是奇函数，
∴f(－1)＝－f(1)，
∴＝－，
∴a＋1＝3(1－a)，解得a＝.
7．(2013·孝感模拟)已知f(x)是偶函数，当x<0时，f(x)＝x2＋x，则当x>0时，f(x)＝________.
解析：x>0，－x<0，f(x)＝f(－x)＝(－x)2＋(－x)＝x2－x，故x>0时，f(x)＝x2－x.
答案：x2－x
8.(2012·“江南十校”联考)定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在(0,2]上的图象如图所示，则不等式f(x)>x的解集为________．
解析：
依题意，画出y＝f(x)与y＝x的图象，如图所示，注意到y＝f(x)的图象与直线y＝x的交点坐标是和，结合图象可知，f(x)>x的解集为∪.
答案：∪
9．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，其最小正周期为3，且x∈时，f(x)＝log2(－3x＋1)，则f(2 011)＝________.
解析：f(2 011)＝f(3×670＋1)
＝f(1)＝－f(－1)
＝－log2(3＋1)＝－2.
答案：－2
10．已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，常数a∈R)．
(1)判断f(x)的奇偶性，并说明理由；
(2)若f(1)＝2，试判断f(x)在[2，＋∞)上的单调性．
解：(1)当a＝0时，f(x)＝x2，
f(－x)＝f(x)，函数是偶函数．
当a≠0时，f(x)＝x2＋(x≠0，常数a∈R)，取x＝±1，得f(－1)＋f(1)＝2≠0；
f(－1)－f(1)＝－2a≠0，
即f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)．
故函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
(2)若f(1)＝2，即1＋a＝2，解得a＝1，
这时f(x)＝x2＋.
任取x1，x2∈[2，＋∞)，且x1，
所以f(x1)0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.
(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，
结合f(x)的图象知
所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是(1,3]．
12．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且它的图象关于直线x＝1对称．
(1)求证：f(x)是周期为4的周期函数；
(2)若f(x)＝(03}
B．{x|x<－3，或03}
D．{x|－3f(y)，
(1)求f(1)；
(2)解不等式f(－x)＋f(3－x)≥－2.
解：(1)令x＝y＝1，则f(1)＝f(1)＋f(1)，f(1)＝0.
(2)f(－x)＋f(3－x)≥－2f，
f(－x)＋f＋f(3－x)＋f≥0＝f(1)，f＋f≥f(1)，
f≥f(1)，
则解得－1≤x<0.
故不等式的解集为[－1,0)．
1．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f(x)－g(x)＝x，则f(1)，g(0)，g(－1)之间的大小关系是______________．
解析：在f(x)－g(x)＝x中，用－x替换x，得f(－x)－g(－x)＝2x，由于f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，因此得－f(x)－g(x)＝2x.于是解得f(x)＝，g(x)＝－，于是f(1)＝－，g(0)＝－1，g(－1)＝－，故f(1)>g(0)>g(－1)．
答案：f(1)>g(0)>g(－1)
2．关于y＝f(x)，给出下列五个命题：
①若f(－1＋x)＝f(1＋x)，则y＝f(x)是周期函数；
②若f(1－x)＝－f(1＋x)，则y＝f(x)为奇函数；
③若函数y＝f(x－1)的图象关于x＝1对称，则y＝f(x)为偶函数；
④函数y＝f(1＋x)与函数y＝f(1－x)的图象关于直线x＝1对称；
⑤若f(1－x)＝f(1＋x)，则y＝f(x)的图象关于点(1,0)对称．
填写所有正确命题的序号________．
解析：由f(－1＋x)＝f(1＋x)可知，函数周期为2，①正确；由f(1－x)＝－f(1＋x)可知，y＝f(x)的对称中心为(1,0)，②错；y＝f(x－1)向左平移1个单位得y＝f(x)，故y＝f(x)关于y轴对称，③正确；两个函数对称时，令1＋x＝1－x得x＝0，故应关于y轴对称，④错；由f(1－x)＝f(1＋x)得y＝f(x)关于x＝1对称，⑤错，故正确的应是①③.
答案：①③
3．已知f(x)是偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上是增函数，如果f(ax＋1)≤f(x－2)在x∈上恒成立，求实数a的取值范围．
解：由于f(x)为偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数，则在(－∞，0]上为减函数，由f(ax＋1)≤f(x－2)，则|ax＋1|≤|x－2|，又x∈，故|x－2|＝2－x，
即x－2≤ax＋1≤2－x.故x－3≤ax≤1－x,1－≤a≤－1，在上恒成立．
由于min＝0，max＝－2，故－2≤a≤0.
【点此下载】