第五节
函数的图象
[知识能否忆起] 一、利用描点法作函数图象 其基本步骤是列表、描点、连线，首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性)；其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点)；最后：描点，连线． 二、利用基本函数的图象作图 1．平移变换 (1)水平平移：y＝f(x±a)(a>0)的图象，可由y＝f(x)的图象向左(＋)或向右(－)平移a个单位而得到． (2)竖直平移：y＝f(x)±b(b>0)的图象，可由y＝f(x)的图象向上(＋)或向下(－)平移b个单位而得到． 2．对称变换 (1)y＝f(－x)与y＝f(x)的图象关于y轴对称． (2)y＝－f(x)与y＝f(x)的图象关于x轴对称． (3)y＝－f(－x)与y＝f(x)的图象关于原点对称． (4)要得到y＝|f(x)|的图象，可将y＝f(x)的图象在x轴下方的部分以 x轴为对称轴翻折到x轴上方，其余部分不变． (5)要得到y＝f(|x|)的图象，可将y＝f(x)，x≥0的部分作出，再利用偶函数的图象关于y轴的对称性，作出x＜0时的图象． 3．伸缩变换 (1)y＝Af(x)(A>0)的图象，可将y＝f(x)图象上所有点的纵坐标变为原来的A倍，横坐标不变而得到． (2)y＝f(ax)(a>0)的图象，可将y＝f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变而得到． [小题能否全取] 1．一次函数f(x)的图象过点A(0,1)和B(1,2)，则下列各点在函数f(x)的图象上的是(　　) A．(2,2)　　　　　　　 　 B．(－1,1) C．(3,2) D．(2,3) 解析：选D　一次函数f(x)的图象过点A(0,1)，B(1,2)，则f(x)＝x＋1，代入验证D满足条件． 2．函数y＝x|x|的图象大致是(　　)
解析：选A　函数y＝x|x|为奇函数，图象关于原点对称． 3．(教材习题改编)在同一平面直角坐标系中，函数f(x)＝ax与g(x)＝ax的图象可能是下列四个图象中的(　　)
解析：选B　因a>0且a≠1，再对a分类讨论． 4．(教材习题改编)为了得到函数y＝2x－3的图象，只需把函数y＝2x的图象上所有的点向______平移______个单位长度． 答案：右　3 5．若关于x的方程|x|＝a－x只有一个解，则实数a的取值范围是________． 解析：由题意a＝|x|＋x 令y＝|x|＋x＝图象如图所示，故要使a＝|x|＋x只有一解则a>0. 答案：(0，＋∞) 　　1.作图一般有两种方法：直接作图法、图象变换法．其中图象变换法，包括平移变换、伸缩变换和对称变换，要记住它们的变换规律． [注意]　对于左、右平移变换，可熟记口诀：左加右减．但要注意加、减指的是自变量，否则不成立． 2．一个函数的图象关于原点(y轴)对称与两个函数的图象关于原点(y轴)对称不同，前者是自身对称，且为奇(偶)函数，后者是两个不同的函数对称．

作函数的图象  
典题导入 [例1]　分别画出下列函数的图象： (1)y＝|lg x|； (2)y＝2x＋2； (3)y＝x2－2|x|－1. [自主解答]　(1)y＝图象如图1. (2)将y＝2x的图象向左平移2个单位．图象如图2. (3)y＝图象如图3.

由题悟法 画函数图象的一般方法 (1)直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征直接作出． (2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．
以题试法 1．作出下列函数的图象： (1)y＝|x－x2|； (2)y＝. 解：(1)y＝ 即y＝ 其图象如图1所示(实线部分)．
(2)y＝＝1＋，先作出y＝的图象，再将其向右平移1个单位，并向上平移1个单位即可得到y＝的图象，如图2.
识图与辨图  
典题导入 [例2]　(2012·湖北高考)已知定义在区间[0,2]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝－f(2－x)的图象为(　　)
[自主解答]　法一：由y＝f(x)的图象知 f(x)＝ 当x∈[0,2]时，2－x∈[0,2]， 所以f(2－x)＝ 故y＝－f(2－x)＝ 法二：当x＝0时，－f(2－x)＝－f(2)＝－1；当x＝1时，－f(2－x)＝－f(1)＝－1.观察各选项，可知应选B. [答案]　B
由题悟法 “看图说话”常用的方法 (1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题． (2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题． (3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．
以题试法 2.(1)如图，函数f(x)的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f的值等于________． (2)(2012·东城模拟)已知函数对任意的x∈R有f(x)＋f(－x)＝0，且当x>0时，f(x)＝ln(x＋1)，则函数f(x)的图象大致为(　　)
解析：(1)∵由图象知f(3)＝1， ∴＝1.∴f＝f(1)＝2. (2)∵对?x∈R有f(x)＋f(－x)＝0，∴f(x)是奇函数．f(0)＝0，y＝f(x)的图象关于原点对称，当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－ln(－x＋1)＝－ln(1－x)，由图象知符合上述条件的图象为D. 答案：(1)2　(2)D
函数图象的应用  
典题导入 [例3]　(2011·新课标全国卷)已知函数y＝f(x)的周期为2，当x∈[－1,1]时f(x)＝x2，那么函数y＝f(x)的图象与函数y＝|lg x|的图象的交点共有(　　) A．10个　　　　　　　　　 B．9个 C．8个 D．1个 [自主解答]　根据f(x)的性质及f(x)在[－1,1]上的解析式可作图如下：
可验证当x＝10时，y＝|lg 10|＝1；010时|lg x|>1. 结合图象知y＝f(x)与y＝|lg x|的图象交点共有10个． [答案]　A
若本例中f(x)变为f(x)＝|x|，其他条件不变，试确定交点个数． 解：根据f(x)的性质及f(x)在[－1,1]上的解析式可作图如下：
由图象知共10个交点．

由题悟法 1．利用函数的图象研究函数的性质 对于已知或易画出在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系． 2．利用函数的图象研究方程根的个数 当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)图象与x轴的交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象的交点的横坐标．
以题试法 3．已知函数f(x)＝2－x2，g(x)＝x.若f(x)*g(x)＝min{f(x)，g(x)}，那么f(x)*g(x)的最大值是________．(注意：min表示最小值) 解析：画出示意图(实线部分)， f(x)*g(x)＝ 其最大值为1. 答案：1

1．函数f(x)＝2x3的图象(　　) A．关于y轴对称　　　　　　 B．关于x轴对称 C．关于直线y＝x对称 D．关于原点对称 解析：选D　显然函数f(x)＝2x3是一个奇函数，所以其图象关于原点对称． 2．函数y＝的图象大致是(　　)
解析：选B　当x<0时，函数的图象是抛物线；当x≥0时，只需把y＝2x的图象在y轴右侧的部分向下平移1个单位即可，故大致图象为B. 3．(2012·北京海淀二模)为了得到函数y＝log2(x－1)的图象，可将函数y＝log2x的图象上所有的点的(　　) A．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变，再向右平移1个单位长度 B．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变，再向左平移1个单位长度 C．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位长度 D．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位长度 解析：选A　本题考查图象的平移和伸缩．将y＝log2x的图象横坐标不变，纵坐标缩短到原来的，得y＝log2x的图象，再将y＝log2x的图象向右平移1个单位长度即可． 4．(2011·陕西高考)设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(x)，则y＝f(x)的图象可能是(　　)
解析：选B　表达式“f(x)＝f(－x)”，说明函数是偶函数，表达式“f(x＋2)＝f(x)”，说明函数的周期是2，再结合选项图象不难看出正确选项为B. 5． (2012·济南模拟)函数y＝lg的大致图象为(　　)
解析：选D　由题知该函数的图象是由函数y＝－lg|x|的图象左移一个单位得到的，故其图象为选项D中的图象． 6．(2011·天津高考)对实数a和b，定义运算“?”：a?b＝设函数f(x)＝(x2－2)?(x－x2)，x∈R.若函数y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是(　　) A.∪ B.∪ C.∪ D.∪ 解析：选B　 由题意可知 f(x)＝ ＝作出图象，由图象可知y＝f(x)与y＝c有两个交点时，c≤－2或－10时，函数g(x)＝logf(x)有意义， 由函数f(x)的图象知满足f(x)>0的x∈(2,8]． 答案：(2,8] 8．函数f(x)＝图象的对称中心为________． 解析：f(x)＝＝1＋，把函数y＝的图象向上平移1个单位，即得函数f(x)的图象．由y＝的对称中心为(0,0)，可得平移后的f(x)图象的对称中心为(0,1)． 答案：(0,1) 9．如图，定义在[－1，＋∞)上的函数f(x)的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f(x)的解析式为________． 解析：当－1≤x≤0时，设解析式为y＝kx＋b， 则得 ∴y＝x＋1. 当x>0时，设解析式为y＝a(x－2)2－1， ∵图象过点(4,0)， ∴0＝a(4－2)2－1，得a＝. 答案：f(x)＝ 10．已知函数f(x)＝ (1)在如图所示给定的直角坐标系内画出f(x)的图象； (2)写出f(x)的单调递增区间； (3)由图象指出当x取什么值时f(x)有最值． 解：(1)函数f(x)的图象如图所示． (2)由图象可知， 函数f(x)的单调递增区间为[－1,0]，[2,5]． (3)由图象知当x＝2时，f(x)min＝f(2)＝－1， 当x＝0时，f(x)max＝f(0)＝3. 11．若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a＞0且a≠1)的图象有两个公共点，求a的取值范围． 解：当0＜a＜1时，y＝|ax－1|的图象如图1所示，
由已知得0＜2a＜1，即0＜a＜. 当a＞1时，y＝|ax－1|的图象如图2所示， 由已知可得0＜2a＜1， 即0＜a＜，但a＞1，故a∈?. 综上可知，a的取值范围为. 12．已知函数f(x)的图象与函数h(x)＝x＋＋2的图象关于点A(0,1)对称． (1)求函数f(x)的解析式； (2)若g(x)＝f(x)＋，g(x)在区间(0,2]上的值不小于6，求实数a的取值范围． 解：(1)设f(x)图象上任一点坐标为(x，y)，∵点(x，y)关于点A(0,1)的对称点(－x,2－y)在h(x)的图象上， ∴2－y＝－x＋＋2， ∴y＝x＋， 即f(x)＝x＋. (2)由题意g(x)＝x＋， 且g(x)＝x＋≥6，x∈(0,2]． ∵x∈(0,2]， ∴a＋1≥x(6－x)， 即a≥－x2＋6x－1. 令q(x)＝－x2＋6x－1，x∈(0,2]， q(x)＝－x2＋6x－1＝－(x－3)2＋8， ∴x∈(0,2]时，q(x)max＝q(2)＝7， 故a的取值范围为[7，＋∞)．
1.(2013·威海质检)函数y＝f(x)(x∈R)的图象如图所示，下列说法正确的是(　　) ①函数y＝f(x)满足f(－x)＝－f(x)； ②函数y＝f(x)满足f(x＋2)＝f(－x)； ③函数y＝f(x)满足f(－x)＝f(x)； ④函数y＝f(x)满足f(x＋2)＝f(x)． A．①③　　　　　　　　　　 B．②④ C．①② D．③④ 解析：选C　由图象可知，函数f(x)为奇函数且关于直线x＝1对称，所以f(1＋x)＝f(1－x)，所以f[1＋(x＋1)]＝f[1－(x＋1)]，即f(x＋2)＝f(－x)．故①②正确． 2．若函数f(x)的图象经过变换T后所得图象对应函数的值域与函数f(x)的值域相同，则称变换T是函数f(x)的同值变换．下面给出四个函数及其对应的变换T，其中变换T不属于函数f(x)的同值变换的是(　　) A．f(x)＝(x－1)2，变换T将函数f(x)的图象关于y轴对称 B．f(x)＝2x－1－1，变换T将函数f(x)的图象关于x轴对称 C．f(x)＝2x＋3，变换T将函数f(x)的图象关于点(－1,1)对称 D．f(x)＝sin，变换T将函数f(x)的图象关于点(－1,0)对称 解析：选B　对于A，与f(x)＝(x－1)2的图象关于y轴对称的图象对应的函数解析式为g(x)＝(－x－1)2＝(x＋1)2，易知两者的值域都为[0，＋∞)；对于B，函数f(x)＝2x－1－1的值域为(－1，＋∞)，与函数f(x)的图象关于x轴对称的图象对应的函数解析式为g(x)＝－2x－1＋1，其值域为(－∞，1)；对于C，与f(x)＝2x＋3的图象关于点(－1,1)对称的图象对应的函数解析式为2－g(x)＝2(－2－x)＋3，即g(x)＝2x＋3，易知值域相同；对于D，与f(x)＝sin的图象关于点(－1,0)对称的图象对应的函数解析式为g(x)＝sin，其值域为[－1,1]，易知两函数的值域相同． 3．已知函数y＝f(x)的定义域为R，并对一切实数x，都满足f(2＋x)＝f(2－x)． (1)证明：函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称； (2)若f(x)是偶函数，且x∈[0,2]时，f(x)＝2x－1，求x∈[－4,0]时的f(x)的表达式． 解：(1)证明：设P(x0，y0)是函数y＝f(x)图象上任一点，则y0＝f(x0)，点P关于直线x＝2的对称点为P′(4－x0，y0)．因为f(4－x0)＝f(2＋(2－x0))＝f(2－(2－x0))＝f(x0)＝y0，所以P′也在y＝f(x)的图象上，所以函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称． (2)因为当x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]， 所以f(－x)＝－2x－1. 又因为f(x)为偶函数， 所以f(x)＝f(－x)＝－2x－1，x∈[－2,0]． 当x∈[－4，－2]时，4＋x∈[0,2]， 所以f(4＋x)＝2(4＋x)－1＝2x＋7. 而f(4＋x)＝f(－x)＝f(x)， 所以f(x)＝2x＋7，x∈[－4，－2]． 所以f(x)＝
1．设D＝{(x，y)|(x－y)(x＋y)≤0}，记“平面区域D夹在直线y＝－1与y＝t(t∈[－1,1])之间的部分的面积”为S，则函数S＝f(t)的图象的大致形状为(　　)
解析：选C　如图平面区域D为阴影部分，当t＝－1时，S＝0，排除D；当t＝－时，S>Smax，排除A、B. 2．(2012·深圳模拟)已知定义在区间[0,1]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，对于满足0x2－x1； ②x2f(x1)>x1f(x2)； ③1，在(0,1)上不恒成立；由题图知，0，②正确；图象是上凸的，③正确． 答案：②③

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