第十节函数模型及其应用
[知识能否忆起]
1．几种常见的函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数函数模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
对数函数模型
f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
幂函数模型
f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0)
2.三种增长型函数模型的图象与性质
函数
y＝ax(a>1)
y＝logax(a>1)
y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)上的增减性
增函数
增函数
增函数
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x增大逐渐表现为与y轴平行
随x增大逐渐表现为与x轴平行
随n值变化而不同
[小题能否全取]
1．(教材习题改编)f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是( )
A．f(x)>g(x)>h(x)
B．g(x)>f(x)>h(x)
C．g(x)>h(x)>f(x)
D．f(x)>h(x)>g(x)
答案：选B 由图象知，当x∈(4，＋∞)时，增长速度由大到小依次为g(x)>f(x)>h(x)．
2．一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为图中的( )
解析：选B 由题意h＝20－5t,0≤t≤4.结合图象知应选B.
3．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝x2＋2x＋20(万元)．一万件售价是20万元，为获取最大利润，该企业一个月应生产该商品数量为( )
A．36万件 B．18万件
C．22万件 D．9万件
解析：选B 利润L(x)＝20x－C(x)＝－(x－18)2＋142，当x＝18时，L(x)有最大值．
4．一种产品的成本原为a元，在今后的m年内，计划使成本平均每年比上一年降低p%，成本y是经过年数x(0500时，f(x)＝0.05×500－×5002－＝12－x，
故f(x)＝
(2)当0500时，f(x)＝12－x<12－＝<，
故当该公司的年产量为475件时，当年获得的利润最大．
由题悟法
1．很多实际问题中变量间的关系，不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成分段函数，如出租车票价与路程之间的关系，就是分段函数．
2．分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段变量的范围，特别是端点值．
以题试法
2．某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元．某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x,3x(吨)．
(1)求y关于x的函数；
(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费．
解：(1)当甲的用水量不超过4吨时，即5x≤4，乙的用水量也不超过4吨，
y＝1.8(5x＋3x)＝14.4x；
当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨，即3x≤4，且5x>4时，
y＝4×1.8＋3x×1.8＋3(5x－4)＝20.4x－4.8.
当乙的用水量超过4吨，即3x>4时，
y＝2×4×1.8＋3×[(3x－4)＋(5x－4)]＝24x－9.6.
所以y＝
(2)由于y＝f(x)在各段区间上均单调递增，
当x∈时，y≤f<26.4；
当x∈时，y≤f<26.4；
当x∈时，令24x－9.6＝26.4，
解得x＝1.5.
所以甲户用水量为5x＝5×1.5＝7.5吨，
付费S1＝4×1.8＋3.5×3＝17.70元；
乙户用水量为3x＝4.5吨，
付费S2＝4×1.8＋0.5×3＝8.70元．
指数函数模型
典题导入
[例3] (2012·广州模拟)一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的.
(1)求每年砍伐面积的百分比；
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
(3)今后最多还能砍伐多少年？
[自主解答] (1)设每年降低的百分比为x(0，即f(x)≤不恒成立．
故函数模型y＝＋2不符合公司要求．
11．高新开发区某公司生产一种品牌笔记本电脑的投入成本是4 500元/台．当笔记本电脑销售价为6 000元/台时，月销售量为a台．市场分析的结果表明，如果笔记本电脑的销售价提高的百分率为x(00；当0，y>0.
(2)依题意，要求四个矩形木雕总面积的最大值即求4xy的最大值．
因为a，b，x，y均大于0，所以2bx＋2ay≥2，从而S≥4＋4xy＋ab，当且仅当bx＝ay时等号成立．
令t＝，则t>0，上述不等式可化为4t2＋4·t＋ab－S≤0，
解得≤t≤.
因为t>0，所以0＜t≤，
从而xy≤.
由
得
所以当x＝，y＝时，四个矩形木雕的总面积最大，最大值为ab＋S－2.
1．某地2011年底人口为500万，人均住房面积为6 m2，如果该城市人口平均每年增长率为1%.问为使2021年底该城市人均住房面积增加到7 m2，平均每年新增住房面积至少为(1.0110≈1.104 6)( )
A．90万m2 B．87万m2
C．85万m2 D．80万m2
解析：选B 由题意≈86.6(万m2)≈87(万m2)．
2.一高为H，满缸水量为V的鱼缸截面如图所示，其底部破了一个小洞 ，满缸水从洞中流出．若鱼缸水深为h时的水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图象可能是图中的________．
解析：当h＝0时，v＝0可排除①、③；由于鱼缸中间粗两头细，∴当h在附近时，体积变化较快；h小于时，增加越来越快；h大于时，增加越来越慢．
答案：②
3．(2011·湖北高考)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；
(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/时)
解：(1)由题意，当0≤x≤20时，v(x)＝60；
当20≤x≤200时，设v(x)＝ax＋b，
再由已知得
解得
故函数v(x)的表达式为
v(x)＝
(2)依题意并由(1)可得
f(x)＝
当0≤x≤20时，f(x)为增函数，
故当x＝20时，其最大值为60×20＝1 200；
当20≤x≤200时，f(x)＝x(200－x)≤
2＝，当且仅当x＝200－x，
即x＝100时，等号成立．
所以当x＝100时，f(x)在区间[20,200]上取得最大值.
综上，当x＝100时，f(x)在区间[0,200]上取得最大值≈3 333，
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/时．
(2012·浙江金华阶段性检测)某民营企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图1，B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2(注：利润与投资单位：万元)．
(1)分别将A，B两种产品的利润表示为投资x(万元)的函数关系式；
(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A，B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润为多少万元．
解：(1)当投资为x万元，设A产品的利润为f(x)万元，B产品的利润为g(x)万元，
由题意可设f(x)＝k1x，g(x)＝k2.
由图知f(1)＝，故k1＝.又g(4)＝，故k2＝.
从而f(x)＝x(x≥0)，g(x)＝(x≥0)．
(2)设A产品投入x万元，
则B产品投入(10－x)万元，
设企业利润为y万元．
y＝f(x)＋g(10－x)＝x＋(0≤x≤10)．
令t＝，则
y＝＋t＝－2＋(0≤t≤)．
当t＝时，ymax＝，此时x＝3.75,10－x＝6.25.
即当A产品投入3.75万元，B产品投入6.25万元时，企业获得最大利润为万元．
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