第九节函数与方程
[知识能否忆起]
1．函数的零点
(1)定义：
对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．
(2)函数的零点与相应方程的根、函数的图象与x轴交点间的关系：
方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点．
(3)函数零点的判定(零点存在性定理)：
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象
与x轴的交点
(x1,0)，(x2,0)
(x1,0)
无交点
零点个数
两个
一个
零个
3.二分法
对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
[小题能否全取]
1．(教材习题改编)下列图象表示的函数中能用二分法求零点的是( )
答案：C
2．若函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是( )
A．0,2 B．0，
C．0，－ D．2，－
解析：选C ∵2a＋b＝0，∴g(x)＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1)．
∴零点为0和－.
3．(教材习题改编)根据表格中的数据，可以判定方程ex－x－2＝0的一个根所在的区间为( )
x
－1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.72
7.39
20.09
x＋2
1
2
3
4
5
A.(－1,0) B．(0,1)
C．(1,2) D．(2,3)
解析：选C 设函数f(x)＝ex－x－2，从表中可以看出f(1)·f(2)<0，因此方程ex－x－2＝0的一个根所在的区间为(1,2)．
4．用二分法求函数y＝f(x)在区间(2,4)上的近似解，验证f(2)·f(4)<0，给定精确度ε＝0.01，取区间(2,4)的中点x1＝＝3，计算得f(2)·f(x1)<0，则此时零点x0∈________(填区间)．
解析：由f(2)·f(3)<0可知x0∈(2,3)．
答案：(2,3)
5．已知函数f(x)＝x2＋x＋a在区间(0,1)上有零点，则实数a的取值范围是________．
解析：∵函数f(x)＝x2＋x＋a在(0,1)上有零点．
∴f(0)f(1)<0.即a(a＋2)<0，解得－20.∴函数f(x)在R上单调递增．f(－1)＝e－1＋(－1)－4＝－5＋e－1<0，f(0)＝－3<0，f(1)＝e＋1－4＝e－3<0，f(2)＝e2＋2－4＝e2－2>0，f(1)f(2)<0，故零点x0∈(1,2)．
[答案] C
由题悟法
利用函数零点的存在性定理判断零点所在的区间时，首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续不断，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．
以题试法
1．(2013·衡水模拟)设函数y＝x3与y＝x－2的图象交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
解析：选B 设函数f(x)＝x3－x－2，f(1)·f(2)<0，且f(x)为单调函数，则x0∈(1,2)．
判断函数零点个数
典题导入
[例2] (1)(2012·北京高考)函数f(x)＝x－x的零点的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
(2)(2012·北京东城区模拟)已知函数f(x)＝则函数y＝f(f(x))＋1的零点个数是( )
A．4 B．3
C．2 D．1
[自主解答] (1)在同一平面直角坐标系内作出y1＝x与y2＝x的图象如图所示，易知，两函数图象只有一个交点，因此函数f(x)＝x－x只有1个零点．
(2)由f(f(x))＋1＝0可得f(f(x))＝－1，
又由f(－2)＝f＝－1.
可得f(x)＝－2或f(x)＝.
若f(x)＝－2，则x＝－3或x＝；
若f(x)＝，则x＝－或x＝，
综上可得函数y＝f(f(x))＋1有4个零点．
[答案] (1)B (2)A
由题悟法
判断函数零点个数的常用方法
(1)解方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要判断函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点．
(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数．
以题试法
2．(2012·湖北高考)函数f(x)＝xcos x2在区间[0,4]上的零点个数为( )
A．4 B．5
C．6 D．7
解析：选C 令xcos x2＝0，则x＝0，或x2＝kπ＋，又x∈[0,4]，因此xk＝ (k＝0,1,2,3,4)，共有6个零点．
函数零点的应用
典题导入
[例3] (2011·辽宁高考改编)已知函数f(x)＝ex－x＋a有零点，则a的取值范围是________．
[自主解答] ∵f(x)＝ex－x＋a，
∴f′(x)＝ex－1.令f′(x)＝0，得x＝0.
当x<0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－∞，0)上是减函数；
当x>0时，f′(x)>0，函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
故f(x)min＝f(0)＝1＋a.
若函数f(x)有零点，则f(x)min≤0，
即1＋a≤0，得a≤－1.
[答案] (－∞，－1]
若函数变为f(x)＝ln x－2x＋a，其他条件不变，求a的取值范围．
解：∵f(x)＝ln x－2x＋a，∴f′(x)＝－2.
令f′(x)＝0，得x＝.
当0时，f′(x)<0，∴f(x)为减函数．
∴f(x)max＝f＝ln－1＋a.
若f(x)有零点，则f(x)max≥0，即ln－1＋a≥0.
解得a≥1－ln，a的取值范围为.
由题悟法
已知函数有零点(方程有根)求参数取值常用的方法
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
以题试法
3．已知函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x－1)，且f(x)是偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝x，若在区间[－1,3]上函数g(x)＝f(x)－kx－k有4个零点，则实数k的取值范围是______．
解析：由f(x＋1)＝f(x－1)得，f(x＋2)＝f(x)，则f(x)是周期为2的函数．∵f(x)是偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝x，∴当x∈[－1,0]时，f(x)＝－x，易得当x∈[1,2]时，f(x)＝－x＋2，当x∈[2,3]时，f(x)＝x－2.
在区间[－1,3]上函数g(x)＝f(x)－kx－k有4个零点，即函数y＝f(x)与y＝kx＋k的图象在区间[－1,3]上有4个不同的交点．作出函数y＝f(x)与y＝kx＋k的图象如图所示，结合图形易知，k∈.
答案：
1．已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为( )
A.，0 B．－2,0
C. D．0
解析：选D 当x≤1时，由f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；当x>1时，由f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝，又因为x>1，所以此时方程无解．综上函数f(x)的零点只有0.
2．设f(x)＝x3＋bx＋c是[－1,1]上的增函数，且f·f<0，则方程f(x)＝0在[－1,1]内( )
A．可能有3个实数根 B．可能有2个实数根
C．有唯一的实数根 D．没有实数根
解析：选C 由f(x)在[－1,1]上是增函数，且f·f<0，知f(x)在上有唯一零点，所以方程f(x)＝0在[－1,1]上有唯一实数根．
3．(2012·长沙模拟)已知函数f(x)的图象是连续不断的，x、f(x)的对应关系如下表：
x
1
2
3
4
5
6
f(x)
136.13
15.552
－3.92
10.88
－52.488
－232.064
则函数f(x)存在零点的区间有( )
A．区间[1,2]和[2,3]
B．区间[2,3]和[3,4]
C．区间[2,3]、[3,4]和[4,5]
D．区间[3,4]、[4,5]和[5,6]
解析：选C 因为f(2)>0，f(3)<0，f(4)>0，f(5)<0，所以在区间[2,3]，[3,4]，[4,5]内有零点．
4．(2013·北京西城二模)执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数：
①y＝2x； ②y＝－2x； ③f(x)＝x＋x－1；④f(x)＝x－x－1.
则输出函数的序号为( )
A．① B．②
C．③ D．④
解析：选D 由图可知输出结果为存在零点的函数，因2x>0，所以y＝2x没有零点，同样y＝－2x也没有零点；f(x)＝x＋x－1，当x>0时，f(x)≥2，当x<0时，f(x)≤－2，故f(x)没有零点；令f(x)＝x－x－1＝0得x＝±1，故选D.
5．(2012·北京朝阳统考)函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是( )
A．(1,3) B．(1,2)
C．(0,3) D．(0,2)
解析：选C 由条件可知f(1)f(2)<0，即(2－2－a)(4－1－a)<0，即a(a－3)<0，解之得00可得其中一个零点x0∈______，第二次应计算________．
解析：因为f(x)＝x3＋3x－1是R上的连续函数，且f(0)<0，f(0.5)>0，则f(x)在x∈(0,0.5)上存在零点，且第二次验证时需验证f(0.25)的符号．
答案：(0,0.5) f(0.25)
8．若函数f(x)＝ax－x－a(a>0且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________．
解析：函数f(x)的零点个数就是函数y＝ax与函数y＝x＋a的图象交点的个数，易知当a>1时，两图象有两个交点；当00，则应有f(2)<0，
又∵f(2)＝22＋(m－1)×2＋1，∴m<－.
②若f(x)＝0在区间[0,2]上有两解，则
∴
∴∴－≤m≤－1.
由①②可知m的取值范围(－∞，－1]．
12．若函数f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个零点，求实数a的取值范围．
解：(1)当a＝0时，函数f(x)＝－x－1为一次函数，则－1是函数的零点，即函数仅有一个零点．
(2)当a≠0时，函数f(x)＝ax2－x－1为二次函数，并且仅有一个零点，则一元二次方程ax2－x－1＝0有两个相等实根．则Δ＝1＋4a＝0，解得a＝－.综上，当a＝0或a＝－时，函数仅有一个零点．
1．(2012·“江南十校”联考)已知关于x的方程|x2－6x|＝a(a>0)的解集为P，则P中所有元素的和可能是( )
A．3,6,9 B．6,9,12
C．9,12,15 D．6,12,15
解析：选B 如图，函数y＝|x2－6x|的图象关于直线x＝3对称，将直线y＝a从下往上移动可知：P中所有元素的和可能是6,9,12.
2．已知函数f(x)＝满足f(0)＝1，且f(0)＋2f(－1)＝0，那么函数g(x)＝f(x)＋x的零点个数为________．
解析：∵f(0)＝1，∴c＝1.又∵f(0)＋2f(－1)＝0，∴f(－1)＝－1－b＋1＝－，得b＝.∴当x>0时，g(x)＝2x－2＝0有唯一解x＝1；当x≤0时，g(x)＝－x2＋x＋1，令g(x)＝0，得x＝2(舍去)或x＝－，即g(x)＝0有唯一解．综上可知，g(x)＝f(x)＋x有2个零点．
答案：2
3．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c.
(1)若a>b>c，且f(1)＝0，试证明f(x)必有两个零点；
(2)若对x1，x2∈R，且x1b>c，∴a>0，c<0，即ac<0.
又∵Δ＝b2－4ac≥－4ac>0，∴方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根，∴函数f(x)有两个零点．
(2)令g(x)＝f(x)－[f(x1)＋f(x2)]，则g(x1)＝f(x1)－[f(x1)＋f(x2)]＝，
g(x2)＝f(x2)－[f(x1)＋f(x2)]＝，
∴g(x1)·g(x2)＝·＝
－[f(x1)－f(x2)]2.
∵f(x1)≠f(x2)，∴g(x1)·g(x2)<0.
∴g(x)＝0在(x1，x2)内必有一实根．
即f(x)＝[f(x1)＋f(x2)]在(x1，x2)内必有一实根．
1．对于定义域为D的函数f(x)，若存在区间M＝[a，b]?D(ax，故函数f(x)＝2x不存在等值区间；由于x3＝x有三个不相等的实根x1＝－1，x2＝0，x3＝1，故函数f(x)＝x3存在三个等值区间[－1,0]，[0,1]，[－1,1]；由于sin x＝x只有唯一的实根x＝0，结合函数图象，可知函数f(x)＝sin x不存在等值区间；由于log2x＋1＝x有实根x1＝1，x2＝2，故函数f(x)＝log2x＋1存在等值区间[1,2]．
答案：②④
2．m为何值时，f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4.
(1)有且仅有一个零点；
(2)有两个零点且均比－1大．
解：(1)若函数f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4有且仅有一个零点，
则等价于Δ＝4m2－4(3m＋4)＝0，
即m2－3m－4＝0，
解得m＝4或m＝－1.
(2)设两零点分别为x1，x2，且x1>－1，x2>－1，x1≠x2.
则x1＋x2＝－2m，x1·x2＝3m＋4，
故只需
??
故m的取值范围是{m|－5
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