高二数学选修4-1
五 和圆有关的比例线段
班级 姓名 学号
教学目标：
1．理解相交弦定理及其推论；掌握切割线定理及其推论，并初步学会运用它们进行计算和证明；
2．掌握切线长定理及构造相似三角形证明切割线定理的方法与技巧，培养学生从几何图形归纳出几何性质的能力
3．能够用运动的观点学习切割线定理及其推论，培养学生辩证唯物主义的观点．
教学重点：正确理解相交弦定理及其推论．切割线定理及其推论，它是以后学习中经常用到的重要定理．
教学难点： 定理的灵活运用以及定理与推论问的内在联系
教学活动：
一．复习导入：
1．证明：已知：弦AB和CD交于⊙O内一点P． 求证：PA·PB＝PC·PD．
相交弦定理： 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．
2．从一般到特殊，发现结论．
对两条相交弦的位置进行适当的调整，使其中一条是直径，并且它们互 相垂直 思考：
（1）若AB是直径，并且AB⊥CD于P．根据相交弦定理，能得到什么结论?
推论： 如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．
（2） 若再连结AC，BC，则在图中又出现了射影定理的基本图形，于是有：
PC2＝PA·PB ；AC2＝AP·AB；CB2＝BP·AB
二．范例讲解一
例1： 已知圆中两条弦相交，第一条弦被交点分为12厘米和16厘米两段，第二条弦的长为32厘米，求第二条弦被交点分成的两段的长．
根据题意列出方程并求出相应的解．
例2?： 已知：线段a，b． 求作：线段c，使c2＝ab．[来源：高考%资源网 KS%5U]
分析：这个作图求作的形式符合相交弦定理的推论的形式，因此可作出以线段a十b为直径的半圆，仿照推论即可作出要求作的线段．
作法：口述作法．
三．课堂练习一
练习1： 如图，AP＝2厘米，PB＝2．5厘米，CP＝1厘米，求CD．
（变式练习：若AP＝2厘米，PB＝2．5厘米，CP，DP的长度皆为整数．那么CD的长度是多少?）
练习2： 如图，CD是⊙O的直径，AB⊥CD，垂足为P，AP＝4厘米，PD＝2厘米．求PO的长．
练习3?： 如图：在⊙O中，P是弦AB上一点，OP⊥PC，PC 交⊙O于C．? 求证：PC2＝PA·PB?
分析：由AP·PB，联想到相交弦定理，想到延长 CP交⊙O于D，于是有PC·PD＝PA·PB．又根据条件OP⊥PC．易 证得PC＝PD问题得证．
探究：1、相交弦定理是两弦相交于圆内一点．如果两弦延长交于圆外一点P，那么该点到割线与圆交点的四条线段PA，PB，PC，PD的长之间有什么关系？
2、当其中一条割线绕交点旋转到与圆的两交点重合为一点时，猜想：由圆外这点到割线与圆的两交点的两条线段长和该点的切线长PA，PB，PT之间又有什么关系？
3、用语言表达上述结论．
切割线定理? 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．
推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．（也叫做割线定理）
四．范例讲解二[来源：高考%资源网 KS%5U]
例1?： 已知：⊙O的割线PAB交⊙O于点A和B，PA=6厘米，AB=8厘米， PO=10.9厘米，求⊙O的半径．
（分析：由于PO既不是⊙O的切线也不是割线，故须将PO延长交⊙O于D，构成了圆的一条割线，而OD又恰好是⊙O的半径，于是运用切割线定理的推论，问题得解． ）
例2：如图7-90，两个以O为圆心的同心圆，AB切大圆于B，AC切小圆于C，交大圆于D、E．AB=12，AO=15，AD=8．求：两圆的半径．
五．课堂练习二
1、P为⊙O外一点，OP与⊙O交于点A，割线PBC与⊙O交于点B、C，且PB=BC．OA=7，PA=2，求PC的长．
2、已知：如图7-92，⊙O和⊙O′都经过A和B，PQ切⊙O于P，交⊙O′于Q、M，交AB的延长线于N．求证：PN2=NM·NQ．
六．课堂反思：
观察图形，要证的数量关系中，线段属于不同的两圆，NP是⊙O的切线，NMQ是⊙O′的割线，能够把这两条线联系在一起的是两圆的公共割线NBA．具备了在两圆中运用切割线定理及其推论的条件．
例：如图7-93，四边形ABCD内接于⊙O，AB长7cm，CD=10cm，AD∶BC=1∶2，延长BA、CD相交于E，从E引圆的切线EF．求EF的长．
分析：此题中EF是⊙O的切线，由切割线定理：EF2=ED·EC=EA·EB，故要求EF的长，须知ED或EA的长，而四边形ABCD内接于⊙O，可
EB长为2x，应用割线定理，可求得x，于是EF可求．
证明：四边形ABCD内接于⊙O
△EAD∽△ECBEB=2x
x(x+10)=(2x-7)·2xx=8
EF2=8×(8+10)EF=12
答：EF长为12cm．
高二数学选修4-1
六 和圆有关的比例线段·?习题课
班级 姓名 学号 [来源：高考%资源网 KS%5U]
教学目标：
1．理解相交弦定理及其推论；掌握切割线定理及其推论，并初步学会运用它们进行计算和证明；
2．掌握切线长定理及构造相似三角形证明切割线定理的方法与技巧，培养学生从几何图形归纳出几何性质的能力
3．能够用运动的观点学习切割线定理及其推论，培养学生辩证唯物主义的观点．
教学重点：正确理解相交弦定理及其推论．切割线定理及其推论，它是以后学习中经常用到的重要定理．
教学难点： 定理的灵活运用以及定理与推论问的内在联系
教学活动：
一．切线长概念
??? 切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。 二。切线长定理
对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。
三．利用切线长定理解题
例1. 如图1，正方形ABCD的边长为1，以BC为直径。在正方形内作半圆O，过A作半圆切线，切点为F，交CD于E，求DE：AE的值。
解
图1
? 例2 ：如图7，在直角三角形ABC中，∠A＝90°，以AB边为直径作⊙O，交斜边BC于点D，过D点作⊙O的切线交AC于E。
??? 求证：BC＝2OE。
??? 点悟：由要证结论易想到应证OE是△ABC的中位线。而OA＝OB，只须证AE＝CE。 图7
??? 证明：连结OD。??? ∵AC⊥AB，AB为直径
??? ∴AC为⊙O的切线，又DE切⊙O于D
??? ∴EA＝ED，OD⊥DE
??? ∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB
在Rt△ABC中，∠C＝90°－∠B
∵∠ODE＝90°???
∴???
∴∠C＝∠EDC??? ∴ED＝EC??? ∴AE＝EC???
∴OE是△ABC的中位线??? ∴BC＝2OE
?? 例3： 如图8，在正方形ABCD中，AB＝1，是以点B为圆心，AB长为半径的圆的一段弧。点E是边AD上的任意一点（点E与点A、D不重合），过E作所在圆的切线，交边DC于点F，G为切点。??? 当∠DEF＝45°时，求证点G为线段EF的中点；
??? 解：由∠DEF＝45°，得??? ，
∴∠DFE＝∠DEF??? ∴DE＝DF??
? 又∵AD＝DC??? ∴AE＝FC
??? 因为AB是圆B的半径，AD⊥AB，所以AD切圆B于点A；同理，CD切圆B于点C。
又因为EF切圆B于点G，所以AE＝EG，FC＝FG。
??? 因此EG＝FG，即点G为线段EF的中点。 图8
四、反馈测试
一、选择题[来源：高考%资源网 KS%5U]
1. 已知：PA、PB切⊙O于点A、B，连结AB，若AB＝8，弦AB的弦心距3，则PA＝（??? ）
?? ?A. ???????????????? B. ????????????????? C. 5????????????????????? D. 8
2. 下列图形一定有内切圆的是（??? ）
??? A. 平行四边形???? B. 矩形?? ? C. 菱形????????????????? D. 梯形
3. 已知：如图1直线MN与⊙O相切于C，AB为直径，
∠CAB＝40°，则∠MCA的度数（??? ）
A. 50°???????????? B. 40°????????????? C. 60°???????????????? D. 55°
图1
4. 圆内两弦相交，一弦长8cm且被交点平分，另一弦被交点分为1：4，则另一弦长为（??? ）
??? A. 8cm????????????????? B. 10cm??????????????? C. 12cm??????????????? D. 16cm
5. 在△ABC中，D是BC边上的点，AD，BD＝3cm，DC＝4cm，如果E是AD的延长线与△ABC的外接圆的交点，那么DE长等于（??? ）
??? A. ???????????? B. ??? C. ??????????????????????? D.
6. PT切⊙O于T，CT为直径，D为OC上一点，直线PD交⊙O于B和A，B在线段PD上，若CD＝2，AD＝3，BD＝4，则PB等于（??? ）
??? A. 20??????????????????? B. 10???????????????????? C. 5?????????????? D.
?二、填空题
?7. AB、CD是⊙O切线，AB∥CD，EF是⊙O的切线，它和AB、CD分别交于E、F，则∠EOF＝_____________度。
?8. 已知：⊙O和不在⊙O上的一点P，过P的直线交⊙O于A、B两点，若PA·PB＝24，OP＝5，则⊙O的半径长为_____________。
?9. 若PA为⊙O的切线，A为切点，PBC割线交⊙O于B、C，若BC＝20，，则PC的长为_____________。
?10. 正△ABC内接于⊙O，M、N分别为AB、AC中点，延长MN交⊙O于点D，连结BD交AC于P，则_____________。
三、解答题
?11. 如图2，△ABC中，AC＝2cm，周长为8cm，F、K、N是△ABC与内切圆的切点，DE切⊙O于点M，且DE∥AC，求DE的长。
图2
12. 如图3，已知P为⊙O的直径AB延长线上一点，PC切⊙O于C，CD⊥AB于D，求证：CB平分∠DCP。
图3
?13. 如图4，已知AD为⊙O的直径，AB是⊙O的切线，过B的割线BMN交AD的延长线于C，且BM＝MN＝NC，若AB，求⊙O的半径。
[来源：高考%资源网 KS%5U]
图4
五．总结、扩展
1．要经常复习学过的知识，把新旧知识结合起来，不断提高综合运用知识的能力．
2．学习例题时，不要就题论题，而是注重研究思路、体会和掌握方法，学会分析问题和解决问题的一般方法．
3．学会分析一些基本图形的结构及所具有的基本关系式．
4．总结规律：本课以方程的思想方法为指导，利用代数方法，即通过方程或方程组的求解解决所求问题，设未知数时，可直接或间接设，列方程或方程组时，寻求已知量与未知量之间的关系．而几何定理是列方程的根据．
六．课后反思
[来源：高考%资源网 KS%5U] w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
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