再议“用分类讨论的思想”解决高考题 2010年浙江理选择题最后一题即第10题的基本解法及变式练习 分类讨论，是最基本的数学思想方法之一，尤其在近几年高考题的大题中表现十分突出。有时，一个小题如选择、填空，也要用到分类讨论的思想方法。下面的题目是 高考2010年浙江理选择题最后一题即第10题，就是很好的一个例子： 设函数集合
，平面的点集
。则在同一直角坐标系中，P中函数
的图像恰好经过Q中两个点的函数的个数是 （ B ） A．4 B．6 C．8 D． 10 解析：∵
的值有4种取法，
的值有 3 种取法，∴ P中函数有12个；同理，Q中的点也有12个。 为探索答案，要具体写出这些函数的表达式和点的坐标，用“分类讨论”的思想方法去逐一检验。 将P中12个函数分组如下：
时：
，
时：

；
时：
；
时：
。 Q中的12个点为：
；
；
；
。 下面分四种情况讨论。 ①
的定义域为
，所以，
只能与D结合， 因为：
，所以：
；同理可知：
；
。所以，
中，没有一个可以同时经过Q中的两个点。 ②
的定义域是
，所以，
只能与C或D结合。 ∵

，∴
；
；
。 ∵
，∴
；
；
。 观察之可得结果为 ：
和
。 即分别表明：函数
同时经过了点
和点
； 函数
同时经过了 点
和点
。 ③
的定义域是
，故
可以分别与
三组结合。 ∵
， ∴

；
∵
∴


。 ∵
，∴
。 观察之可得结果为 ：
和
。即分别表示
两点都在函数
的图像上；
两点都在函数
的图像上。 ④ 由于函数
的定义域为
，故知 A、B、C、D 四组均可以和函数
结合。 ∵
，∴ 只有
； ∵
，∴ 只有
； ∵
，∴
； ∵
，∴ 只有
。 观察之可得结果为：
、
、
。 综合以上四种情况，满足条件的函数是：
。共计6个。故答案为
。 最后，做完本题要反思一下，一方面总结解题方法，积累经验；另一方面对题目进行挖掘和“变式练习”，如可以对本题的结果先归纳一下（见附表），再据此编拟新的题目。 附表（1）P中函数以过Q中的点的个数之分布情况 恰好经过Q中1个点的函数 
 恰好经过Q中2个点的函数 
 恰好经过Q中3个点的函数 
  附表（2）Q中的点在P中函数图像上的次数之分布情况 A1 A2 A3 B1 B2 B3 C1 C2 C3 D1 D2 D3  1 1 0 2 2 1 2 2 1 2 3 1  由以上两个表，可“变式练习”为： （1）原题条件不变，问：集合P中经过Q中点的个数最多的函数是（ C ） A．
B．
C．
D．
（2）原题条件不变，若Q中的点在P中函数图像上的次数的最大值为
，则
等于（C） A．1 B．2 C．3 D．4 （3）原题条件不变，若Q中存在一个点，该点在P中函数图像上的次数最多，则这个点的坐标是（ C ） A．
B．
C．
D．
大家还可以设计出其它“变式练习”。 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

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