高考数学备战策略
策略一 梳理知识 提高分析问题能力
——以“函数的概念与性质”为例
理解函数的概念要做到：
第一，用集合的观点看待函数，而不仅仅是运动变化的观点；
第二，要从函数的三要素进行分析，要全面认识函数的表示方法，而不仅仅是解析式；
第三，要有范围的意识，这是学习函数之后在高中阶段应有的素养，不仅是在函数学习中要时刻注意先明确定义域，在进行研究，而且在其他版块的学习中时刻要有范围意识，使得思维严谨，避免错误．
学习函数的性质要灵活理解条件结论的相对关系，比如函数的单调性，其中涉及到三个关系：①定义域D的某个子区间内任意两个自变量的值的大小关系：如 x1>x2；②函数值的大小关系：如f(x1) > f(x2)；③函数的单调性：如函数在定义域D的某个子区间内单调递增．在这三个关系的基础上可以建立三组关系：①②③；①③②；②③①．这三组关系是定义的不同表达形式，是灵活解题的依据．
学习函数的性质还要从具体拓展到一般，进行系统性的研究，这样才能真正理解性质，灵活的应用．比如，对于函数奇偶性的学习，可以进行如表1所示的系统性的归纳整理．
注意，奇偶性的定义此处不赘述，只抽取其中解析式满足的关系和函数图像具有的特征进行研究．
表1
解析式满足的关系
函数图像具有的特征
f(-x)= f(x)
关于x轴对称
f(-x)=- f(x)
关于原点中心对称
f(a-x)= f(a+x)
关于直线x= a轴对称
f(a-x)=- f(a+x)
关于点（a，0）中心对称
f(a-x)= f(b+x)
关于直线x= 轴对称
f(a-x)=- f(b+x)
关于点（，0）中心对称
y=f(a-x)与y= f(a+x)关于y轴对称
……
学习函数的性质还要注意彼此之间的联系．比如，对于函数的周期性，不但要了解其定义中给出的基本表达式（定义略，此处只抽取其中的解析式）：f(x +T)= f(x)．还要注意其变式：如果f(x +a)= -f(x)，那么T= 2a；如果f(x +a)=，那么T= 2a；等等．此外还要注意周期性与奇偶性的关系：如果一个函数具有两个相邻的对称中心(a,0),(b,0)，那么该函数是周期函数，且周期为T=2| b - a |；如果一个函数具有两个相邻的对称轴x= a, x= b，那么该函数是周期函数，且周期为T=2| b - a |；如果一个函数有一对相邻的对称中心(a,0)和对称轴x= b，那么该函数是周期函数，且周期为T=4| b - a |；等等．
例1 (2009山东卷理)函数的图像大致为( )
要使函数有意义，需使，其定义域为，因此排除选项C和D．
将所给解析式化解得到．因为当时函数为减函数，所以排除选项B，故选A．
例2 (2009山东卷理)定义在R上的函数f(x)满足
f(x)= ，则f（2009）的值为( )
A.-1 B. 0 C.1 D. 2
计算特殊点的函数值：
，，，
，，
，，，
观察得出：函数f(x)的值以6为周期重复性出现，
所以f（2009）= f（5）=1,故选C．
例3 (2009山东卷文)已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,则( )
A. B.
C. D.
依据：单调性．
一般思路：将所给自变量转化到一个区间内．
办法：运用函数的性质：奇偶性、周期性等转化．
条件的作用：周期函数（T=8）和化简．
，，．
条件奇函数的作用： ，于是；，．
最后，根据函数在区间[0,2]内的单调性、奇偶性求解：因为在区间[0,2]上是增函数，所以，所以，即．故选D．
例4 （2009全国卷Ⅰ理）函数的定义域为R，若与都是奇函数，则（ ）
A． 是偶函数 B． 是奇函数
C． D． 是奇函数
方法一：
根据奇偶性的定义：由于 与都是奇函数，于是有： ．
根据表1化简：，
可知函数的图像关于点，及点中心对称．
根据函数的周期性与对称性的关系：函数是周期函数，且其周期．
于是可得：
,，
即，是奇函数．故选D．
方法二：
类比、对比余弦函数求解。
策略二 归纳解法 提高解题能力
例1 2010年全国一卷理科19题
如图，四棱锥S-ABCD 中，SD底面ABCD，AB∥DC，ADDC，AB=AD=1,DC=SD=2，E为棱SB上的一点，平面EDC平面SBC.
(Ⅰ) 证明：SE=2EB；
(Ⅱ) 求二面角A-DE-C的大小。
解法一
（Ⅰ）连结BD，取DC中点G，连结BG。
由此知 . 即 为等腰直角三角形，
故 。
又平面.故
所以 ，。
（解法1）过B作于K，
平面平面，
故面，。
=，面，
平面，。
（解法2）又面 ，
平面平面
过D作于， 则平面
又面面，平面，，
与重合，面， 。
（解法3）面面，面面，
面面，
面，。
，，
或（）
。
(Ⅱ)（解法1）
由，知
故为等腰三角形。
取中点，连结，
则。
连结，则∥，
∴ 。
所以，是二面角的平面角 。
连结，，,
，
所以二面角的大小为 。
(Ⅱ)（解法2）
如图分别延长、交于点，
连结。
由(Ⅰ)知，，
∴ ，，
则为二面角的平面角
在中，， ，
。
同理 。
即二面角的大小为。
注：
也可以通过来求：
，
，
二面角的大小为 。
（解法二）：
以为坐标原点，射线为轴正半轴，
建立如图所示的直角坐标系 ，
设,则，,。
(Ⅰ)（解法1）
，。
设平面SBC的法向量为
由,得，，
故,令,则,,
。
又设,
则 ，
,。
设平面的法向量
由，得
， ，
故，。
令,
则，
由平面平面, 得, ，
, 。
故
（Ⅰ）（解法2）
取的三等分点。
面
∴ 在上，即与重合
(Ⅱ)（解法1）
由(Ⅰ)知，取中点,
则,
故,
由此得,
又,故,
由此得，
向量与的夹角等于二面角的平面角，
，
所以，二面角的大小为。
（Ⅱ）（解法2）
设面的法向量
由
设面的法向量，
同理可知 ，
，
∴ 二面角的大小为。
例2 2009年全国卷Ⅰ理科数学18题：
四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，，，．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）设与平面所成的角为，求二面角的大小．
(I)解法1（利用相似，三垂线定理）
如图，作，垂足为，连接,
由题设知底面，
且为中点，由知，,
从而，于是 ．
由三垂线定理知，．
解法2 （利用三角函数，三垂线定理）如图，作，垂足为，连接, 由题设知底面．
在RtΔOCD中OD= ，
sin∠DOC==
在RtΔBCE中OE= ，
cos∠BCE=
在ΔOCF中∠OCF+∠COF= 所以．由三垂线定理知，
解法3（利用平面向量坐标法） 作，垂足为，连接, 由题设知底面，
因为面BCDE为矩形，所以以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，建立平面直角坐标系，则C（0，0），E（，2），O（0，1），D（，0）．
∴，
所以,即．
由三垂线定理知，．
解法4（利用空间向量坐标法） 作，垂足为，则底面， 且为中点，以为坐标原点，射线为轴正向，建立如图所示直角坐标系.设，由已知条件有
=
所以，得 ．
解法5（利用向量基底法） 作，垂足为，连接, 由题设知底面，
=
=0+0+
=
=+0+0+
=-2+·
=0，
所以．
解法6 （利用异面直线所成角）作，垂足为，则底面， 且为中点, 过作，交的延长线于，连接，设，
则，，，所以 ，所以 ，因此
例3 2007年全国Ⅰ卷理22：
已知数列中，，．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）（略）．
（Ⅰ）解法一（待定系数法构造等差）
由题设：，
令 ，所以， ，
所以，
即数列是首项为， 公比为的等比数列，
所以
,
解法二（直接构造等差）
由题设：
，
．
所以，数列是首项为，公比为的等比数列，
，
即的通项公式为,
解法三（构造等差，利用逐差求和法）
由题设：，
两边同除以，得：，
即：．
……
解法四（递推法）
……
解法五（猜想证明）
，
，
=，
=，
猜想，代入得：
，
所以 ，
解法六（求差构造等比数列及方程）
①
②
①－②得 ， ，
所以，是首项为，公比为的等比数列．
所以， ．
又，
所以， ，
模版题
策略三 总结反思 积累解题策略
——模特元定界 深圳中学郭慧请
所谓“模”，就是思考问题中所涉及的数学模型是什么，是否有不同的模型可供选择，哪个数学模型是自己最熟悉的，在使用这个数学模型时要特别注意什么.
例1 某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a + b的最大值为（ ）
A. B. C. 4 D.
所谓“特”，就是问题的特殊情形是什么，问题在特殊情形下的结论怎样，能否用特殊情形检验自己的结论的正确性.
例2 2007重庆22题：如图，中心在原点的椭圆的右焦点为，右准线的方程为：．
（1）求椭圆的方程；
（2）在椭圆上任取三个不同点，，，使，证明：为定值，并求此定值．
所谓“元”，就是问题中的数学对象是几元的，问题中的条件是几阶的，问题中条件的“阶数”与数学对象的“元数”是一个怎样的关系，能否由这个关系寻找到问题的解决途径.
确定数学对象的要素称为该数学对象的元.
数学对象的独立元个数的最大值称为该数学对象的元数. 若某个对象的元数是n ,则称该对象为 n元对象．
例3 （1）在等比数列{an}中，若a1 + a2=20，a3+ a4=40，则该数列的前6项的和Sn等于（ ）
A.80 B.120 C.140 D.180
(2) 在等差数列{an}中，若a3+ a4+ a5+ a6+ a7=450，则a2+ a8的值是（ ）
A.45 B.75 C.180 D.300
所谓“定”，就是问题中数学对象的确定性，这常常涉及到数学对象的“元数”与问题中的条件“阶数”的关系，高考中的数学对象通常是确定的，或在条件的约束下是“一元数学对象”，因此，问题往往可以转化为研究一元函数，或有一个独立变元的方程，等等.
例4 已知是实数，函数，如果函数在区间上有零点，求的取值范围．
解法1（方程根的分布）：函数在区间[-1，1]上有零点，即方程=0在[-1，1]上有解，a=0时，不符合题意，所以a≠0。
方程f(x)=0在[-1，1]上有解<=>或或或或a≥1．
所以实数a的取值范围是或a≥1．
解法2（分离变量法）：a=0时，不符合题意，所以a≠0。
=0在[-1，1]上有解在[-1，1]上有解在[-1，1]上有解。
问题转化为求函数[-1，1]上的值域。
设t=3-2x，x∈[-1，1]，则，t∈[1,5],，
设，时，，此时函数g(t)单调递减，时，>0,此时函数g(t)单调递增，∴y的取值范围是，∴=0在[-1，1]上有解∈或．
所谓“界”，就是变化的数学对象的“临界”是什么，比如两个变量通常呈“不等”，但它们就是以“相等”作为“临界”的；再如变量的变化范围（如定义域、值域等等）通常以“最大”、“最小”为界.因此，通常以研究“临界”情形而决定其它情形，这也是分类讨论中要特别注意的情形.
例5 若实数x，y满足，则的取值范围是（ ）
A.（0，1） B. C. D.
例6 在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB、AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合（如图所示）.将矩形折叠，使A点落在线段DC上.
（Ⅰ）若折痕所在直线的斜率为k，试写出折痕所在直线的方程；
（Ⅱ）求折痕的长的最大值.
解:（I） （1）当时,此时A点与D点重合, 折痕所在的直线方程;
（2）当时，将矩形折叠后A点落在线段CD上的点为G(a,1);
所以A与G关于折痕所在的直线对称，有.
故G点坐标为，从而折痕所在的直线与OG的交点坐标（线段OG的中点）为,折痕所在的直线方程，即.
由（1）（2）得折痕所在的直线方程为：.
（II）⑴当时，折痕的长为2;
⑵当时,
①如下图，折痕所在的直线与边AD、BC的交点坐标为
这时，，
②如下图，折痕所在的直线与边AD、AB的交点坐标为
这时，，
令解得 ，
∵
∴
③如下图，折痕所在的直线与边CD、AB的交点坐标为
这时，，
综上述，
所以折痕的长度的最大值
策略四 深入探究 高观点下看试题
在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1,1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于.
(Ⅰ)求动点P的轨迹方程；
(Ⅱ)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。
策略五 认真、落实、规范 提高高考数学得分
一、认真审题，正确解答
例1 2001年全国Ⅰ理科17题：解关于x的不等式，（a∈R）．
错误解法：原不等式变形为，
化简得：，即x+a<0，解得x <- a．
教训：最后痛失12分，与自己心目中的大学失之交臂．
经验：审题是解题的第一步，要做到慢（速度慢，甚至要无声的读题）、实（可以用铅笔勾画核心词、关键条件）、准（正确理解题意）、辨（分清考题与做过的题目的关系，尤其是似曾熟悉的题目，一定要辨别清楚）．
二、基础扎实，正确应用
例2 2009年全国Ⅰ卷文科17题：设等差数列{}的前n项和为，公比是正数的等比数列{}的前n项和为，已知的通项公式．
错误：考生将写成；
将等比数列的通项公式写成或者；
等比等差混淆；
将写成，丢掉等等．
高考怎么能得高分？
一个学生的话留给我深刻的印象：
“会做的题做对就是高分．”
如何保证会做的题做对？基础过关是关键．
要做到：记忆（记住公式、定理、法则、基本方法如配方法、待定系数法、添加辅助线法等）、理解（理解公式中各量的含义，定理产生的背景，及其对应的基本图形等）、应用（会用基本知识解题、能在复杂的情景中辨别基本知识，确定解题的依据和思路，熟练应用基本技能和基本方法解题）．
三、计算准确，规范答题
例1 2009年全国Ⅰ卷文科第17题：
考生在计算过程中将4cosB=3sinB化简为；
例2 2009年全国Ⅰ卷理科第21题，考生在计算过程中由得到；还有考生书写不规范将写成，等等．
例3 2009年全国Ⅰ卷理科第17题，
考生将sinAcosB-sinBcosA=sinC，化简为
sinAcosB-sinBcosA=-sin（A+B）．
例4 2009年全国Ⅰ卷文科第17题有的考生给出的解答过程是：
依题得：
．
书写不规范，而且其中的②式有误，所以结果虽然正确，但是不能得满分．
下考场后的经典感言：其实我会做，就是做错了！
教训：实在是悔恨不能重来一次．
如何克服这种现象？
要做到：踏实（踏踏实实认认真真计算每一道应该计算的题目，切忌眼高手低，切忌侥幸心理：平时不老老实实计算，期盼着在考场上能算对，那是痴人妄想），规范（规范书写，不要偷懒），坚持（持之以恒，养成准确计算、规范书写的好习惯）．
四、思维灵活，及时调整
1.避免思维定势
例1 如图，直线l是一条河，P，Q两地相距8千米，到l的距离分别为2千米、5千米，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，向P，Q两地供水．现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则下图中铺设的管道最短的是（ ）
A B C D
例2 2009年全国Ⅰ卷理科第17题：在ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c ，已知，且，求b．
2007年全国Ⅰ卷理科第17题：设锐角三角形的内角的对边分别为，．（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）求的取值范围．
对比分析：2007年的试题中陷阱重重，考查了三角函数解答题中常见的易错点，所用的公式也比较多；2009年的试题只要用正余弦定理通过化简即可求解．
实际情况：2009年的试题比2007年的试题得分低．
有一些数学成绩比较好的学生后面的题目做的比较好，但是这个题目却丢了分．
原因分析：在考场上一时不知该如何着手解答这个题目．
2.应用数学思想方法
例3 2007年全国Ⅰ卷理科第21题：已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于两点，过的直线交椭圆于两点，且，垂足为．（Ⅰ）设点的坐标为，证明：；（Ⅱ）略．
运用数形结合思想及整体求解策略可得：椭圆的半焦距，由知点在以线段为直径的圆上，故，所以，．
要做到：定势而灵活（掌握一些常规题型的解法，但是又不被这些解法束缚，能具体问题具体分析，灵活应用），运用思想方法（数学思想方法决定了解决数学试题的策略，它是蕴含于数学知识及解题过程中，要善于概括总结，并将之迁移应用至其他的数学内容中，提高解题能力），培养分析能力（数学因其抽象而应用广泛，数学方法也需要从具体问题中抽象概括出来，并运用在其他题目的分析解答过程中，才能提高分析能力）．
策略六 组织复习，提高得分
一、专题化训练
知识专题：
方法专题：
思想专题：函数与方程思想；数形结合思想；分类与整合思想；化归与转化思想；特殊与一般思想；有限与无限思想；或然与必然思想．
题型专题：分类再做高考题
二、有效进行试卷讲评，有效纠错
纠错：基点、需求，时间分配，分析原因
检验：变式、拓展
巩固：复习
三、消灭易错点
易错题专集
四、组织几轮复习效果好
第一轮要扎实，轮数不要太多。
五、考前精典训练
命制3套精典题：基础、有效、适合、信心．
策略七 调整心态，沉着应考
面临高考紧张是必然的，适度的紧张也是需要的，但是要．
调整心态，做到：
一是合理定位．面对高考试卷，不同的学生得到的是不同的分数，这个分数是多少主要取决于平时的数学学习情况，因此要想得高分在于平时的努力，不能寄希望于考场的发挥，根据平时的成绩给自己合理定位，可以减少临考时盲目追求高分导致的心理慌乱；
二是树立自信．通过平时的努力，及一次次的模拟考试，考生应该看到自己的优势，树立自信．自信心能帮助考生在考场上发挥出正常或更好的水平；
三是明确竞争对象．很多考生一直陷入在与几十万考生的竞争中，增加了备考的压力．事实上，每一位考生的竞争对象都是你自己，只要平时努力了，并能克服自己的不足，那么每一天的你就会比前一天进步，你就会取得好成绩．
一个建议
研究！
研究什么？怎么研究？
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
【点此下载】