教学目标:
知识与技能:进一步掌握二项式定理和二项展开式的通项公式
过程与方法:能解决二项展开式有关的简单问题
情感、态度与价值观:教学过程中,要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果,而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。
教学重点:二项式定理及通项公式的掌握及运用
教学难点:二项式定理及通项公式的掌握及运用
授课类型:新授课
课时安排:3课时
教 具:多媒体、实物投影仪
内容分析:
二项式定理是初中乘法公式的推广,是排列组合知识的具体运用,是学习概率的重要基础.这部分知识具有较高应用价值和思维训练价值.中学教材中的二项式定理主要包括:定理本身,通项公式,杨辉三角,二项式系数的性质等.
通过二项式定理的学习应该让学生掌握有关知识,同时在求展开式、其通项、证恒等式、近似计算等方面形成技能或技巧;进一步体会过程分析与特殊化方法等等的运用;重视学生正确情感、态度和世界观的培养和形成.
二项式定理本身是教学重点,因为它是后面一切结果的基础.通项公式,杨辉三角,特殊化方法等意义重大而深远,所以也应该是重点.
二项式定理的证明是一个教学难点.这是因为,证明中符号比较抽象、需要恰当地运用组合数的性质2、需要用到不太熟悉的数学归纳法.
在教学中,努力把表现的机会让给学生,以发挥他们的自主精神;尽量创造让学生活动的机会,以让学生在直接体验中建构自己的知识体系;尽量引导学生的发展和创造意识,以使他们能在再创造的氛围中学习.
教学过程:
一、复习引入:
⑴;
⑵
⑶的各项都是次式,
即展开式应有下面形式的各项:,,,,,
展开式各项的系数:上面个括号中,每个都不取的情况有种,即种,的系数是;恰有个取的情况有种,的系数是,恰有个取的情况有种,的系数是,恰有个取的情况有种,的系数是,有都取的情况有种,的系数是,
∴.
二、讲解新课:
二项式定理:
⑴的展开式的各项都是次式,即展开式应有下面形式的各项:
,,…,,…,,
⑵展开式各项的系数:
每个都不取的情况有种,即种,的系数是;
恰有个取的情况有种,的系数是,……,
恰有个取的情况有种,的系数是,……,
有都取的情况有种,的系数是,
∴,
这个公式所表示的定理叫二项式定理,右边的多项式叫的二项展开式,⑶它有项,各项的系数叫二项式系数,
⑷叫二项展开式的通项,用表示,即通项.
⑸二项式定理中,设,则
三、讲解范例:
例1.展开.
解一: .
解二:
.
例2.展开.
解:
.
例3.求的展开式中的倒数第项
解:的展开式中共项,它的倒数第项是第项,
.
例4.求(1),(2)的展开式中的第项.
解:(1),
(2).
点评:,的展开后结果相同,但展开式中的第项不相同
例5.(1)求的展开式常数项;
(2)求的展开式的中间两项
解:∵,
∴(1)当时展开式是常数项,即常数项为;
(2)的展开式共项,它的中间两项分别是第项、第项,
,
例6.(1)求的展开式的第4项的系数;
(2)求的展开式中的系数及二项式系数
解:的展开式的第四项是,
∴的展开式的第四项的系数是.
(2)∵的展开式的通项是,
∴,,
∴的系数,的二项式系数.
例7.求的展开式中的系数
分析:要把上式展开,必须先把三项中的某两项结合起来,看成一项,才可以用二项式定理展开,然后再用一次二项式定理,,也可以先把三项式分解成两个二项式的积,再用二项式定理展开
解:(法一)
,
显然,上式中只有第四项中含的项,
∴展开式中含的项的系数是
(法二):
∴展开式中含的项的系数是.
例8.已知 的展开式中含项的系数为,求展开式中含项的系数最小值
分析:展开式中含项的系数是关于的关系式,由展开式中含项的系数为,可得,从而转化为关于或的二次函数求解
解:展开式中含的项为
∴,即,
展开式中含的项的系数为
,
∵, ∴,
∴
,∴当时,取最小值,但,
∴ 时,即项的系数最小,最小值为,此时.
例9.已知的展开式中,前三项系数的绝对值依次成等差数列,
(1)证明展开式中没有常数项;(2)求展开式中所有的有理项
解:由题意:,即,∴舍去)
∴
①若是常数项,则,即,
∵,这不可能,∴展开式中没有常数项;
②若是有理项,当且仅当为整数,
∴,∴ ,
即 展开式中有三项有理项,分别是:,,
例10.求的近似值,使误差小于.
解:,
展开式中第三项为,小于,以后各项的绝对值更小,可忽略不计,
∴,
一般地当较小时
四、课堂练习:
1.求的展开式的第3项.
2.求的展开式的第3项.
3.写出的展开式的第r+1项.
4.求的展开式的第4项的二项式系数,并求第4项的系数.
5.用二项式定理展开:
(1);(2).
6.化简:(1);(2)
7.展开式中的第项为,求.
8.求展开式的中间项
答案:1.
2.
3.
4.展开式的第4项的二项式系数,第4项的系数
5. (1);
(2).
6. (1);
(2)
7. 展开式中的第项为
8. 展开式的中间项为
五、小结 :二项式定理的探索思路:观察——归纳——猜想——证明;二项式定理及通项公式的特点
六、课后作业: P36 习题1.3A组1. 2. 3.4
七、板书设计(略)
八、教学反思:
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