第四节基本不等式
[知识能否忆起]
一、基本不等式≤
1．基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
2．等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
二、几个重要的不等式
a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；＋≥2(a，b同号)．
ab≤2(a，b∈R)；2≤(a，b∈R)．
三、算术平均数与几何平均数
设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
四、利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则：
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2.(简记：积定和最小)
(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是.(简记：和定积最大)
[小题能否全取]
1．(教材习题改编)函数y＝x＋(x＞0)的值域为( )
A．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B．(0，＋∞)
C．[2，＋∞) D．(2，＋∞)
解析：选C ∵x＞0，∴y＝x＋≥2，当且仅当x＝1时取等号．
2．已知m>0，n>0，且mn＝81，则m＋n的最小值为( )
A．18 B．36
C．81 D．243
解析：选A ∵m>0，n>0，∴m＋n≥2＝18.当且仅当m＝n＝9时，等号成立．
3．(教材习题改编)已知01，则x＋的最小值为________．
解析：x＋＝x－1＋＋1≥4＋1＝5.
当且仅当x－1＝，即x＝3时等号成立．
答案：5
5．已知x＞0，y＞0，lg x＋lg y＝1，则z＝＋的最小值为________．
解析：由已知条件lg x＋lg y＝1，可得xy＝10.
则＋≥2 ＝2，故min＝2，当且仅当2y＝5x时取等号．又xy＝10，即x＝2，y＝5时等号成立．
答案：2
1.在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
2．对于公式a＋b≥2，ab≤2，要弄清它们的作用和使用条件及内在联系，两个公式也体现了ab和a＋b的转化关系．
3．运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a2＋b2≥2ab逆用就是ab≤；≥(a，b>0)逆用就是ab≤2(a，b>0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等．
利用基本不等式求最值
典题导入
[例1] (1)已知x＜0，则f(x)＝2＋＋x的最大值为________．
(2)(2012·浙江高考)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是( )
A. B.
C．5 D．6
[自主解答] (1)∵x＜0，∴－x＞0，
∴f(x)＝2＋＋x＝2－.
∵－＋(－x)≥2＝4，当且仅当－x＝，即x＝－2时等号成立．
∴f(x)＝2－≤2－4＝－2，
∴f(x)的最大值为－2.
(2)∵x＞0，y＞0，由x＋3y＝5xy得＝1.
∴3x＋4y＝·(3x＋4y)·＝＝＋≥＋×2＝5(当且仅当x＝2y时取等号)，∴3x＋4y的最小值为5.
[答案] (1)－2 (2)C
本例(2)条件不变，求xy的最小值．
解：∵x＞0，y＞0，则5xy＝x＋3y≥2，
∴xy≥，当且仅当x＝3y时取等号．
∴xy的最小值为.
由题悟法
用基本不等式求函数的最值，关键在于将函数变形为两项和或积的形式，然后用基本不等式求出最值．在求条件最值时，一种方法是消元，转化为函数最值；另一种方法是将要求最值的表达式变形，然后用基本不等式将要求最值的表达式放缩为一个定值，但无论哪种方法在用基本不等式解题时都必须验证等号成立的条件．
以题试法
1．(1)当x＞0时，则f(x)＝的最大值为________．
(2)(2011·天津高考)已知log2a＋log2b≥1，则3a＋9b的最小值为________．
(3)已知x＞0，y＞0，xy＝x＋2y，若xy≥m－2恒成立，则实数m的最大值是________．
解析：(1)∵x＞0，∴f(x)＝＝≤＝1，
当且仅当x＝，即x＝1时取等号．
(2)由log2a＋log2b≥1得log2(ab)≥1，
即ab≥2，∴3a＋9b＝3a＋32b≥2×3(当且仅当3a＝32b，即a＝2b时取等号)．
又∵a＋2b≥2≥4(当且仅当a＝2b时取等号)，
∴3a＋9b≥2×32＝18.
即当a＝2b时，3a＋9b有最小值18.
(3)由x＞0，y＞0，xy＝x＋2y≥2，得xy≥8，于是由m－2≤xy恒成立，得m－2≤8，即m≤10.故m的最大值为10.
答案：(1)1 (2)18 (3)10
基本不等式的实际应用
典题导入
[例2] (2012·江苏高考)如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－(1＋k2)x2(k＞0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．
(1)求炮的最大射程；
(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．
[自主解答] (1)令y＝0，得kx－(1＋k2)x2＝0，由实际意义和题设条件知x＞0，k＞0，
故x＝＝≤＝10，当且仅当k＝1时取等号．
所以炮的最大射程为10千米．
(2)因为a＞0，所以炮弹可击中目标?存在k＞0，使3.2＝ka－(1＋k2)a2成立
?关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根
?判别式Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0
?a≤6.
所以当a不超过6千米时，可击中目标．
由题悟法
利用基本不等式求解实际应用题的方法
(1)问题的背景是人们关心的社会热点问题，如“物价、销售、税收、原材料”等，题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．
(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解.以题试法
2．(2012·福州质检)某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．
(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入(x2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价．
解：(1)设每件定价为t元，
依题意，有t≥25×8，
整理得t2－65t＋1 000≤0，解得25≤t≤40.
因此要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．
(2)依题意，x＞25时，
不等式ax≥25×8＋50＋(x2－600)＋x有解，
等价于x＞25时，a≥＋x＋有解．
∵＋x≥2 ＝10(当且仅当x＝30时，等号成立)，∴a≥10.2.
因此当该商品明年的销售量a至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．
1．已知f(x)＝x＋－2(x＜0)，则f(x)有 ( )
A．最大值为0 B．最小值为0
C．最大值为－4 D．最小值为－4
解析：选C ∵x＜0，∴f(x)＝－ －2≤－2－2＝－4，当且仅当－x＝，即x＝－1时取等号．
2．(2013·太原模拟)设a、b∈R，已知命题p：a2＋b2≤2ab；命题q：2≤，则p是q成立的( )
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B 命题p：(a－b)2≤0?a＝b；命题q：(a－b)2≥0.显然，由p可得q成立，但由q不能推出p成立，故p是q的充分不必要条件．
3．函数y＝(x>1)的最小值是( )
A．2＋2 B．2－2
C．2 D．2
解析：选A ∵x>1，∴x－1>0.
∴y＝＝＝
＝＝x－1＋＋2
≥2 ＋2＝2＋2.
当且仅当x－1＝，即x＝1＋时，取等号．
4．(2012·陕西高考)小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a＝a，即a0，b>0，且不等式＋＋≥0恒成立，则实数k的最小值等于( )
A．0 B．4
C．－4 D．－2
解析：选C 由＋＋≥0得k≥－，而＝＋＋2≥4(a＝b时取等号)，所以－≤－4，因此要使k≥－恒成立，应有k≥－4，即实数k的最小值等于－4.
7．已知x，y为正实数，且满足4x＋3y＝12，则xy的最大值为________．
解析：∵12＝4x＋3y≥2，∴xy≤3.当且仅当即时xy取得最大值3.
答案：3
8．已知函数f(x)＝x＋(p为常数，且p＞0)若f(x)在(1，＋∞)上的最小值为4，则实数p的值为________．
解析：由题意得x－1＞0，f(x)＝x－1＋＋1≥2＋1，当且仅当x＝＋1时取等号，因为f(x)在(1，＋∞)上的最小值为4，所以2＋1＝4，解得p＝.
答案：
9．(2012·朝阳区统考)某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)．则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．
解析：每台机器运转x年的年平均利润为＝18－，而x＞0，故≤18－2＝8，当且仅当x＝5时，年平均利润最大，最大值为8万元．
答案：5 8
10．已知x＞0，a为大于2x的常数，
(1)求函数y＝x(a－2x)的最大值；
(2)求y＝－x的最小值．
解：(1)∵x＞0，a＞2x，
∴y＝x(a－2x)＝×2x(a－2x)
≤×2＝，当且仅当x＝时取等号，故函数的最大值为.
(2)y＝＋－≥2 －＝－.
当且仅当x＝时取等号．
故y＝－x的最小值为－.
11．正数x，y满足＋＝1.
(1)求xy的最小值；
(2)求x＋2y的最小值．
解：(1)由1＝＋≥2 得xy≥36，当且仅当＝，即y＝9x＝18时取等号，故xy的最小值为36.
(2)由题意可得x＋2y＝(x＋2y)＝19＋＋≥19＋2 ＝19＋6，当且仅当＝，即9x2＝2y2时取等号，故x＋2y的最小值为19＋6.
12．为了响应国家号召，某地决定分批建设保障性住房供给社会．首批计划用100万元购得一块土地，该土地可以建造每层1 000平方米的楼房，楼房的每平方米建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层，整层楼每平方米建筑费用提高20元．已知建筑第5层楼房时，每平方米建筑费用为800元．
(1)若建筑第x层楼时，该楼房综合费用为y万元(综合费用是建筑费用与购地费用之和)，写出y＝f(x)的表达式；
(2)为了使该楼房每平方米的平均综合费用最低，应把楼层建成几层？此时平均综合费用为每平方米多少元？
解：(1)由题意知建筑第1层楼房每平方米建筑费用为720元，
建筑第1层楼房建筑费用为720×1 000＝720 000(元)＝72 (万元)，
楼房每升高一层，整层楼建筑费用提高20×1 000＝20 000(元)＝2(万元)，
建筑第x层楼房的建筑费用为72＋(x－1)×2＝2x＋70(万元)，
建筑第x层楼时，该楼房综合费用为
y＝f(x)＝72x＋×2＋100＝x2＋71x＋100，
综上可知y＝f(x)＝x2＋71x＋100(x≥1，x∈Z)．
(2)设该楼房每平方米的平均综合费用为g(x)，则g(x)＝＝＝＝10x＋＋710≥2 ＋710＝910.
当且仅当10x＝，即x＝10时等号成立．
综上可知应把楼层建成10层，此时平均综合费用最低，为每平方米910元．
1．(2012·浙江联考)已知正数x，y满足x＋2≤λ(x＋y)恒成立，则实数λ的最小值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B 依题意得x＋2≤x＋(x＋2y)＝2(x＋y)，即≤2(当且仅当x＝2y时取等号)，即的最大值是2；又λ≥，因此有λ≥2，即λ的最小值是2.
2．设x，y，z为正实数，满足x－2y＋3z＝0，则的最小值是________．
解析：由已知条件可得y＝，
所以＝
＝
≥＝3，
当且仅当x＝y＝3z时，取得最小值3.
答案：3
3．某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．
(1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？
(2)某提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠，问该厂是否考虑利用此优惠条件？请说明理由．
解：(1)设该厂应每隔x天购买一次面粉，其购买量为6x吨，由题意可知，面粉的保管等其他费用为3[6x＋6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6×1]＝9x(x＋1)，
设平均每天所支付的总费用为y1元，
则y1＝＋1 800×6
＝＋9x＋10 809
≥2 ＋10 809＝10 989，
当且仅当9x＝，即x＝10时取等号．
即该厂应每隔10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少．
(2)因为不少于210吨，每天用面粉6吨，所以至少每隔35天购买一次面粉．
设该厂利用此优惠条件后，每隔x(x≥35)天购买一次面粉，平均每天支付的总费用为y2元，
则y2＝[9x(x＋1)＋900]＋6×1 800×0.90
＝＋9x＋9 729(x≥35)．
令f(x)＝x＋(x≥35)，x2＞x1≥35，
则f(x1)－f(x2)＝－＝.∵x2＞x1≥35，
∴x2－x1＞0，x1x2＞0,100－x1x2＜0，
故f(x1)－f(x2)＜0，f(x1)＜f(x2)，
即f(x)＝x＋，当x≥35时为增函数．
则当x＝35时，f(x)有最小值，此时y2＜10 989.
因此该厂应接受此优惠条件．
1．函数y＝a1－x(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny－1＝0(mn＞0)上，则＋的最小值为________．
解析：因y＝ax恒过点(0,1)，则A(1,1)，又A在直线上，所以m＋n＝1(mn＞0)．
故＋＝＝≥＝4，
当且仅当m＝n＝时取等号．
答案：4
2．已知直线x＋2y＝2分别与x轴、y轴相交于A、B两点，若动点P(a，b)在线段AB上，则ab的最大值是________．
解析：∵A(2,0)，B(0,1)，∴0≤b≤1，
由a＋2b＝2，得a＝2－2b，
ab＝(2－2b)b＝2(1－b)·b≤2·2＝.
当且仅当1－b＝b，即b＝时等号成立，此时a＝1，
因此当b＝，a＝1时，(ab)max＝.
答案：
3．若x，y∈(0，＋∞)，x＋2y＋xy＝30.
(1)求xy的取值范围；
(2)求x＋y的取值范围．
解：由x＋2y＋xy＝30，(2＋x)y＝30－x，
则2＋x≠0，y＝＞0,0＜x＜30.
(1)xy＝
＝
＝－x－＋32
＝－＋34≤18，当且仅当x＝6时取等号，
因此xy的取值范围是(0,18]．
(2)x＋y＝x＋＝x＋－1
＝x＋2＋－3≥8－3，当且仅当时等号成立，又x＋y＝x＋2＋－3＜30，因此x＋y的取值范围是[8－3,30)．
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