第一节集__合
[知识能否忆起]
一、元素与集合
1．集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．
2．集合中元素与集合的关系：
元素与集合之间的关系有属于和不属于两种，表示符号为∈和?.
3．常见集合的符号表示：
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
表示
N
N*或N＋
Z
Q
R
4．集合的表示法：列举法、描述法、韦恩图．
二、集合间的基本关系
描述关系
文字语言
符号语言
集合间的基本关系
相等
集合A与集合B中的所有元素都相同
A＝B
子集
A中任意一元素均为B中的元素
A?B或B?A
真子集
A中任意一元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素A中没有
AB或BA
空集
空集是任何集合的子集
??B
空集是任何非空集合的真子集
?B(B≠?)
三、集合的基本运算
集合的并集
集合的交集
集合的补集
符号表示
A∪B
A∩B
若全集为U，则集合A的补集为?UA
图形表示
意义
{x|x∈A，或x∈B}
{x|x∈A，且x∈B}
{x|x∈U，且x?A}
[小题能否全取]
1．(2012·大纲全国卷)已知集合A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是矩形}，C＝{x|x是正方形}，D＝{x|x是菱形}，则( )
A．A?B B．C?B
C．D?C D．A?D
解析：选B 选项A错，应当是B?A.选项B对，正方形一定是矩形，但矩形不一定是正方形．选项C错，正方形一定是菱形，但菱形不一定是正方形．选项D错，应当是D?A.
2．(2012·浙江高考)设集合A＝{x|1＜x＜4}，集合B＝{x|x2－2x－3≤0}，则A∩(?RB)＝( )
A．(1,4) B．(3,4)
C．(1,3) D．(1,2)∪(3,4)
解析：选B 因为?RB＝{x|x＞3，或x＜－1}，所以A∩(?RB)＝{x|3＜x＜4}．
3．(教材习题改编)A＝{1,2,3}，B＝{x∈R|x2－ax＋1＝0，a∈A}，则A∩B＝B时a的值是( )
A．2 B．2或3
C．1或3 D．1或2
解析：选D 验证a＝1时B＝?满足条件；验证a＝2时B＝{1}也满足条件．
4.(2012·盐城模拟)如图，已知U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，集合A＝{2,3,4,5,6,8}，B＝{1,3,4,5,7}，C＝{2,4,5,7,8,9}，用列举法写出图中阴影部分表示的集合为________．
解析：阴影部分表示的集合为A∩C∩(?UB)＝{2,8}．
答案：{2,8}
5．(教材习题改编)已知全集U＝{－2，－1,0,1,2}，集合A＝，则?UA＝________.
解析：因为A＝，
当n＝0时，x＝－2；n＝1时不合题意；
n＝2时，x＝2；n＝3时，x＝1；
n≥4时，x?Z；n＝－1时，x＝－1；
n≤－2时，x?Z.
故A＝{－2,2,1，－1}，
又U＝{－2，－1,0,1,2}，所以?UA＝{0}．
答案：{0}
1.正确理解集合的概念
研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么．注意区分{x|y＝f(x)}、{y|y＝f(x)}、{(x，y)|y＝f(x)}三者的不同．
2．注意空集的特殊性
空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集．在解题时，若未明确说明集合非空时，要考虑到集合为空集的可能性．例如：A?B，则需考虑A＝?和A≠?两种可能的情况．
元素与集合
典题导入
[例1] (1)(2012·新课标全国卷)已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为( )
A．3 B．6
C．8 D．10
(2)已知集合M＝{1，m}，N＝{n，log2n}，若M＝N，则(m－n)2013＝________.
[自主解答] (1)∵B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，A＝{1,2,3,4,5}，
∴x＝2，y＝1；x＝3，y＝1,2；x＝4，y＝1,2,3；x＝5，y＝1,2,3,4.
∴B＝{(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)}，
∴B中所含元素的个数为10.
(2)由M＝N知
或
∴或
故(m－n)2 013＝－1或0.
[答案] (1)D (2)－1或0
由题悟法
1．研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性，对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性．
2．对于集合相等首先要分析已知元素与另一个集合中哪一个元素相等，分几种情况列出方程(组)进行求解，要注意检验是否满足互异性．
以题试法
1．(1)(2012·北京东城区模拟)设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，则P＋Q中元素的个数为( )
A．9 B．8
C．7 D．6
(2)已知集合A＝{a－2,2a2＋5a,12}，且－3∈A，则a＝________.
解析：(1)∵P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，∴当a＝0时，a＋b的值为1,2,6；当a＝2时，a＋b的值为3,4,8；当a＝5时，a＋b的值为6,7,11，
∴P＋Q＝{1,2,3,4,6,7,8,11}，∴P＋Q中有8个元素．
(2)∵－3∈A，
∴－3＝a－2或－3＝2a2＋5a.
∴a＝－1或a＝－.
当a＝－1时，a－2＝－3,2a2＋5a＝－3，
与元素互异性矛盾，应舍去．
当a＝－时，a－2＝－，2a2＋5a＝－3.
∴a＝－满足条件．
答案：(1)B (2)－
集合间的基本关系
典题导入
[例2] (1)(2012·湖北高考)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|04，即c＝4.
[答案] (1)D (2)4
由题悟法
1．判断两集合的关系常有两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．
2．已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系．解决这类问题常常需要合理利用数轴、Venn图帮助分析．
以题试法
2．(文)(2012·郑州模拟)已知集合A＝{2,3}，B＝{x|mx－6＝0}，若B?A，则实数m的值为( )
A．3 B．2
C．2或3 D．0或2或3
解析：选D 当m＝0时，B＝??A；
当m≠0时，由B＝?{2,3}可得
＝2或＝3，
解得m＝3或m＝2，
综上可得实数m＝0或2或3.
(理)已知集合A＝{y|y＝}，B＝{x||x－m|<2 013}，若A∩B＝A，则m的取值范围是( )
A．[－2 012,2 013] B．(－2 012,2 013)
C．[－2 013,2 011] D．(－2 013,2 011)
解析：选B 集合A表示函数y＝的值域，由t＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1，可得0≤y≤1，故A＝[0,1]．
集合B是不等式|x－m|<2 013的解集，解之得m－2 0130}，B＝{x|y＝lg(x－1)}，则(?UA)∩B等于( )
A．{x|x>2，或x<0} B．{x|10}＝{x|x>2，或x<0}，
B＝{x|y＝lg(x－1)}＝{x|x－1>0}＝{x|x>1}，
?UA＝{x|0≤x≤2}．
∴(?UA)∩B＝{x|15}，T＝{x|a0}，B＝{x|x≥1}，则A∩(?UB)＝________.
解析：由题意得?UB＝(－∞，1)，
又因为A＝{x|x＋2>0}＝{x|x>－2}，
于是A∩(?UB)＝(－2,1)．
答案：(－2,1)
10．(2012·武汉适应性训练)已知A，B均为集合U＝{1,2,3,4,5,6}的子集，且A∩B＝{3}，(?UB)∩A＝{1}，(?UA)∩(?UB)＝{2,4}，则B∩(?UA)＝________.
解析：依题意及韦恩图得，B∩(?UA)＝{5,6}．
答案：{5,6}
11．已知R是实数集，M＝，N＝{y|y＝}，则N∩(?RM)＝________.
解析：M＝{x|x<0，或x>2}，所以?RM＝[0,2]，
又N＝[0，＋∞)，所以N∩(?RM)＝[0,2]．
答案：[0,2]
12．(2012·吉林模拟)已知U＝R，集合A＝{x|x2－x－2＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，B∩(?UA)＝?，则m＝________.
解析：A＝{－1,2}，B＝?时，m＝0；B＝{－1}时，m＝1；B＝{2}时，m＝－.
答案：0,1，－
13．(2012·苏北四市调研)已知集合A＝{x|x2＋a≤(a＋1)x，a∈R}，存在a∈R，使得集合A中所有整数元素的和为28，则实数a的取值范围是________．
解析：不等式x2＋a≤(a＋1)x可化为(x－a)(x－1)≤0，由题意知不等式的解集为{x|1≤x≤a}．A中所有整数元素构成以1为首项，1为公差的等差数列，其前7项和为＝28，所以7≤a<8，即实数a的取值范围是[7,8)．
答案：[7,8)
14．(2012·安徽名校模拟)设集合Sn＝{1,2,3，…，n}，若X?Sn，把X的所有元素的乘积称为X的容量(若X中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为0)．若X的容量为奇(偶)数，则称X为Sn的奇(偶)子集．则S4的所有奇子集的容量之和为________．
解析：∵S4＝{1,2,3,4}，∴X＝?，{1}，{2}，{3}，{4}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,3,4}，{2,3,4}，{1,2,3,4}．其中是奇子集的为X＝{1}，{3}，{1,3}，其容量分别为1,3,3，所以S4的所有奇子集的容量之和为7.
答案：7
1．(2012·杭州十四中月考)若集合A＝，B＝{－2，－1,1,2}，全集U＝R，则下列结论正确的是( )
A．A∩B＝{－1,1} B．(?UA)∪B＝[－1,1]
C．A∪B＝(－2,2) D．(?UA)∩B＝[－2,2]
解析：选A ∵x∈，∴y∈[－1,1]，
∴A∩B＝{－1,1}．
2．设A是自然数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k2?A，且?A，那么k是A的一个“酷元”，给定S＝{x∈N|y＝lg(36－x2)}，设M?S，且集合M中的两个元素都是“酷元”，那么这样的集合M有( )
A．3个 B．4个
C．5个 D．6个
解析：选C 由36－x2>0，解得－65－a，∴a>3；
当B＝{2}时，解得a＝3，
综上所述，所求a的取值范围为{a|a≥3}．
1．现有含三个元素的集合，既可以表示为，也可表示为{a2，a＋b,0}，则a2 013＋b2 013＝________.
解析：由已知得＝0及a≠0，所以b＝0，于是a2＝1，即a＝1或a＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a＝1应舍去，因此a＝－1，故a2 013＋b2 013＝(－1)2 013＝－1.
答案：－1
2．集合S＝{a，b，c，d，e}，包含{a，b}的S的子集共有( )
A．2个 B．3个
C．5个 D．8个
解析：选D 包含{a，b}的S的子集有：{a，b}；{a，b，c}，{a，b，d}，{a，b，e}；{a，b，c，d}，{a，b，c，e}，{a，b，d，e}；{a，b，c，d，e}共8个．
3．某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组．已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26、15、13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有________人．
解析：由题意知，同时参加三个小组的人数为0，设同时参加数学和化学小组的人数为x，Venn图如图所示，
∴(20－x)＋6＋5＋4＋(9－x)＋x＝36，解得x＝8.
答案：8
4．已知集合A＝{x|x2＋2x＋a≤0}，B＝{x|a≤x≤4a－9}，若A，B中至少有一个不是空集，则a的取值范围是________．
解析：若A，B全为空集，则实数a满足4－4a<0且a>4a－9，即1
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