第六节简单的三角恒等变换
[知识能否忆起]
半角公式(不要求记忆)
1．用cos α表示sin2，cos2，tan2.
sin2＝；cos2＝；tan2＝.
2．用cos α表示sin，cos，tan.
sin＝± ；cos＝± ；
tan＝± .
3．用sin α，cos α表示tan.
tan＝＝.
[小题能否全取]
1．(教材习题改编)已知cos α＝，α∈(π，2π)，则cos等于( )
A. B．－
C. D．－
解析：选B ∵cos α＝，α∈(π，2π)，∴∈，
∴cos＝－ ＝－ ＝－.
2．已知函数f(x)＝cos2－cos2，则f等于( )
A. B．－
C. D．－
解析：选B f(x)＝cos2－sin2＝－sin 2x，∴f＝－sin＝－.
3．已知tan α＝，则等于( )
A．3 B．6
C．12 D.
解析：选A ＝
＝2＋2tan α＝3.
4.＝________.
解析：＝＝＝.
答案：
5．若＝2 013，则＋tan 2α＝________.
解析：＋tan 2α＝＝
＝＝＝2 013.
答案：2 013
三角恒等变换的常见形式
三角恒等变换中常见的三种形式：一是化简；二是求值；三是三角恒等式的证明．
(1)三角函数的化简常见的方法有切化弦、利用诱导公式、同角三角函数关系式及和、差、倍角公式进行转化求解．
(2)三角函数求值分为给值求值(条件求值)与给角求值，对条件求值问题要充分利用条件进行转化求解．
(3)三角恒等式的证明，要看左右两侧函数名、角之间的关系，不同名则化同名，不同角则化同角，利用公式求解变形即可．
三角函数式的化简
典题导入
[例1] 化简.
[自主解答] 原式＝
＝＝
＝cos 2x.
由题悟法
三角函数式的化简要遵循“三看”原则
(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；
(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；
(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等．
以题试法
1．化简·.
解：法一：原式＝·
＝·
＝·
＝·＝.
法二：原式＝·
＝·
＝·＝.
三角函数式的求值
典题导入
[例2] (1)(2012·重庆高考)＝( )
A．－ B．－
C. D..
(2)已知α、β为锐角，sin α＝，cos＝－，则2α＋β＝________.
[自主解答] (1)原式＝
＝
＝＝sin 30°＝.
(2)∵sin α＝，α∈，
∴cos α＝，
∵cos(α＋β)＝－，α＋β∈(0，π)，
∴sin(α＋β)＝，
∴sin(2α＋β)＝sin[α＋(α＋β)]＝sin αcos(α＋β)＋cos αsin(α＋β)＝×＋×＝0.
又2α＋β∈.
∴2α＋β＝π.
[答案] (1)C (2)π
由题悟法
三角函数求值有三类
(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．
(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．
(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．
以题试法
2．(2012·广州一测)已知函数f(x)＝tan.
(1)求f的值；
(2)设α∈，若f＝2，求cos的值．
解：(1)f＝tan＝＝＝－2－.
(2)因为f＝tan＝tan(α＋π)＝tan α＝2，
所以＝2，即sin α＝2cos α.①
又sin2α＋cos2α＝1，②
由①②解得cos2α＝.
因为α∈，所以cos α＝－，sin α＝－.
所以cos＝cos αcos＋sin αsin＝－×＋×＝－.
三角恒等变换的综合应用
典题导入
[例3] (2011·四川高考)已知函数f(x)＝sin＋cos，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期和最小值；
(2)已知cos(β－α)＝，cos(β＋α)＝－，0＜α＜β≤，求证：[f(β)]2－2＝0.
[自主解答] (1)∵f(x)＝sin＋cos
＝sin＋sin＝2sin，
∴T＝2π，f(x)的最小值为－2.
(2)证明：由已知得cos βcos α＋sin βsin α＝，
cos βcos α－sin βsin α＝－.
两式相加得2cos βcos α＝0.
∵0＜α＜β≤，∴β＝.∴[f(β)]2－2＝4sin2－2＝0.
在本例条件不变情况下，求函数f(x)的零点的集合．
解：由(1)知f(x)＝2sin，
∴sin＝0，∴x－＝kπ(k∈Z)，
∴x＝kπ＋(k∈Z)．
故函数f(x)的零点的集合为.
由题悟法
三角变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式再研究性质，解题时注意观察角、名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题．
以题试法
3．已知函数f(x)＝2cos xcos－sin2x＋sin xcos x.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)当α∈[0，π]时，若f(α)＝1，求α的值．
解：(1)因为f(x)＝2cos xcos－sin2x＋sin xcos x
＝cos2 x＋sin xcos x－sin2x＋sin xcos x
＝cos 2x＋sin 2x＝2sin，
所以最小正周期T＝π.
(2)由f(α)＝1，得2sin＝1，
又α∈[0，π]，所以2α＋∈，
所以2α＋＝或2α＋＝，
故α＝或α＝.
1．在△ABC中，tan B＝－2，tan C＝，则A等于( )
A. B.
C. D.
解析：选A tan A＝tan[π－(B＋C)]
＝－tan(B＋C)＝－＝－
＝1.故A＝.
2.·等于( )
A．－sin α B．－cos α
C．sin α D．cos α
解析：选D 原式＝
＝＝cos α.
3．(2013·深圳调研)已知直线l: xtan α－y－3tan β＝0的斜率为2，在y轴上的截距为1，则tan(α＋β)＝( )
A．－ B.
C. D．1
解析：选D 依题意得，tan α＝2，－3tan β＝1，
即tan β＝－，tan(α＋β)＝＝＝1.
4．(2012·山东高考)若θ∈，sin 2θ＝，则sin θ＝( )
A. B.
C. D.
解析：选D 因为θ∈，所以2θ∈，
所以cos 2θ<0，所以cos 2θ＝－＝－.
又cos 2θ＝1－2sin2θ＝－，所以sin2θ＝，
所以sin θ＝.
5．(2012·河北质检)计算的值为( )
A．－2 B．2
C．－1 D．1
解析：选D
＝
＝
＝
＝
＝＝1.
6．定义运算＝ad－bc.若cos α＝，＝，0<β<α<，则β等于( )
A. B.
C. D.
解析：选D 依题意有sin αcos β－cos αsin β
＝sin(α－β)＝，
又0<β<α<，∴0<α－β<，
故cos(α－β)＝＝，
而cos α＝，∴sin α＝，
于是sin β＝sin[α－(α－β)]
＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)
＝×－×＝.
故β＝.
7．若tan＝3，则＝________.
解析：∵tan＝＝3，
∴tan θ＝－.
∴＝
＝＝＝3.
答案：3
8．若锐角α、β满足(1＋tan α)(1＋tan β)＝4，则α＋β＝________.
解析：由(1＋tan α)(1＋tan β)＝4，
可得＝，即tan(α＋β)＝.
又α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝.
答案：
9．计算：＝________.
解析：
＝
＝＝.
答案：
10．已知函数f(x)＝sin x＋cos x，f′(x)是f(x)的导函数．
(1)求f′(x)及函数y＝f′(x)的最小正周期；
(2)当x∈时，求函数F(x)＝f(x)f′(x)＋f2(x)的值域．
解：(1)由题意可知，f′(x)＝cos x－sin x＝－·sin，
所以y＝f′(x)的最小正周期为T＝2π.
(2)F(x)＝cos2x－sin2x＋1＋2sin xcos x
＝1＋sin 2x＋cos 2x
＝1＋sin.
∵x∈，∴2x＋∈，
∴sin∈.
∴函数F(x)的值域为[0,1＋ ]．
11．已知0<α<<β<π，tan＝，cos(β－α)＝.
(1)求sin α的值；
(2)求β的值．
解：(1)∵tan＝，
∴tan α＝＝＝，
由
解得sin α＝.
(2)由(1)知cos α＝
＝ ＝，
又0<α<<β<π，∴β－α∈(0，π)，
而cos(β－α)＝，
∴sin(β－α)＝＝ ＝，
于是sin β＝sin[α＋(β－α)]
＝sin αcos(β－α)＋cos αsin(β－α)
＝×＋×＝.
又β∈，∴β＝.
12．已知sin(2α＋β)＝3sin β，设tan α＝x，tan β＝y，记y＝f(x)．
(1)求证：tan(α＋β)＝2tan α；
(2)求f(x)的解析式．
解：(1)证明：由sin(2α＋β)＝3sin β，
得sin [(α＋β)＋α]＝3sin [(α＋β)－α]，
即sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α＝3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α，
∴sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α.
∴tan(α＋β)＝2tan α.
(2)由(1)得＝2tan α，即＝2x，
∴y＝，即f(x)＝.
1．(2012·郑州质检)已知曲线y＝2sincos与直线y＝相交，若在y轴右侧的交点自左向右依次记为P1，P2，P3，…，则||等于( )
A．π B．2π
C．3π D．4π
解析：选B 注意到y＝2sincos＝2sin2＝1－cos 2＝1＋sin 2x，又函数y＝1＋sin 2x的最小正周期是＝π，结合函数y＝1＋sin 2x的图象(如图所示)可知，||＝2π.
2.等于( )
A. B.
C．2 D.
解析：选C ＝
＝＝＝2.
3．(2012·江西重点高中模拟)已知函数f(x)＝sin＋sin＋cos 2x－m，若f(x)的最大值为1.
(1)求m的值，并求f(x)的单调递增区间；
(2)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若f(B)＝－1，且a＝b＋c，试判断三角形的形状．
解：(1)f(x)＝2sin 2x·cos＋cos 2x－m＝sin 2x＋cos 2x－m＝2sin－m.
又f(x)max＝2－m，所以2－m＝1，得m＝1.
由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)
得到kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
(2)由f(B)＝－1，得2sin－1＝－1，
所以B＝.
又a＝b＋c，则sin A＝sin B＋sin C，
sin A＝＋sin，即sin＝，
所以A＝，C＝，故△ABC为直角三角形．
1．求证：tan α＋＝.
证明：左边＝＋
＝
＝
＝
＝＝＝右边．
故原式得证．
2．已知f(x)＝sin2x－2sin·sin.
(1)若tan α＝2，求f(α)的值；
(2)若x∈，求f(x)的取值范围．
解：(1)f(x)＝(sin2x＋sin xcos x)＋2sin·cos
＝＋sin 2x＋sin
＝＋(sin 2x－cos 2x)＋cos 2x
＝(sin 2x＋cos 2x)＋.
由tan α＝2，
得sin 2α＝＝＝.
cos 2α＝＝＝－.
所以f(α)＝(sin 2α＋cos 2α)＋＝.
(2)由(1)得f(x)＝(sin 2x＋cos 2x)＋
＝sin＋.
由x∈，得≤2x＋≤π.
故－≤sin≤1，则0≤f(x)≤，
所以f(x)的取值范围是.
【点此下载】