1．2 解一元二次方程的算法
1、方程的根是 ，方程的根是
2、用适当的数（式）填空，
（1） ＝（ ）2 （2）＝
3、已知是方程的一个根，则的值为 ，方程的另一个根为
4、已知方程的根的判别式等于5，则= ，此方程的两根 ，
5、如果分式的值为0，则的值为
1、选择方法，求解方程
例1 解方程 （1） （2）
解（1）法一（因式分解法） 原方程可化为
将方程左边因式分解，得
即 或
解得 ，
法二 （公式法）原方程可化为
∵，，
∴
解得，
（2）法一（因式分解）原方程可化为：
整理，得， 即
解得 ，
法二（开平方） 原方程可化为：
开平方，得 或
解得 ，
解题规律总结 因式分解法与公式法是我们解一元二次方程最常用的方法，因式分解就是把方程化成一元二次方程一般形式后，左边分解成两个一次因式乘积；公式法是万能法，配方法是开平方法的基础，开平方法适用于形如的方程。
2、巧用换元，化难为易
例2 若，求的值
解：设=,则等式为：，
整理，得，即
解得，，
∵，∴=3
解题规律总结 换元法是把含一个字母或几个字母的式子用一个新的字母来表示，由多元变一元，高次化低次，达到化繁为简的目的。如，可设y=x2.
3、不解方程，整体代入求值。
例4 已知，求的值。
解：∵， 即
∴=
=
=
=5
解题规律总结 求出x，再代入代数式求值是常用的方法。由于本题的x的值是无理数且有两个值，计算非常繁锁，实行构建，既达到降次目的，又避免了两次计算。
4、一元二次方程的判别式的应用
例4 已知关于的方程。
（1）此方程是否有实数根？说明理由。
（2）若等腰ABC的一边长，另两边长，恰好是方程的两个根，求ΔABC的周长。
解：（1）方程的判别式为
=
=
因为无论为何值，判别式恒为非负数，所方程总有实数根。
（2）若以边长为腰，则，中有一个为1，不妨设=1，
把x=1代入方程，得==1，且方程为。解得 ，，即.根据三角形三边关系，此时不能构成三角形。
若以为底，则，为腰，方程有两个相等的实数根，由（1）知，，
方程为，解得==2，三角形ABC的周长为5。
解题规律总结 判别式的应用分为两类情况，其一是已知根的情况确定待定系数的取值，通常是由条件写出一个等式或不等式；其二是判别根的存在性，解法是写出判别式，或者是利用配方法将判别式化变形。
例5 解方程
错解 方程两边同除以，得 ，方程的解是
错因 方程两边只能除以一个不等于0的数，所得方程才与原方程同解，显然可为0，造成失根。
正解 原方程可化为，即
解方程得 ，
例6 已知为非负整数，且方程有整数根，求方程的整数根
解 法一 ∵方程有整数根，
∴判别式，即
∵ 为非负整数，∴ 或或
如果，则，∴，
如果，则不是整数
如果，则，∴，
法二 由，得
∵ 为非负数，∴，，即
又∵ 是整数，∴ 可能为-3，-2，-1，0，
当时，；当时，；当时，；当时，；
所以，若，方程的两根为，
若，方程的两根为，
一、选择题
1、解一元二次方程，结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2、下列二次三项式是完全平方式的是（ ）
A． B． C． D．
3、若是方程的一个解，那么的值为（ ）
A．-3 B．-7 C．5 D．7
4、在下列方程中，没有实数根的方程是（ ）
A． B．
C． D．（为任意实数）
5、若与互为倒数，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
6、若关于x的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
二、填空题
7、若代数式的值为12，则
8、若关于x的方程有两个相等的实数根，则=
9、已知，那么关于x的一元二次方程的解是
10、为解方程，我们可以将视为一个整体，设,则，则方程可化为 …①，解此方程，得，。当时，，所以，；当时，，所以，
（1）在由原方程得到的方程①的过程中，利用换元法达到了 的目的，体现了转化的数学思想。
（2）方程，可令“”，则可化为 。
三、解答题
11、解方程
（1）4 （2）
（3） （4）
12、已知，当x为何值时，y的值与4x+1的值相等？当x为何值时，y的值与x-21的值互为相反数？
13、若方程x2+2x+1-m=0无实数根，试判断方程x2+mx+12m=1是否有实数根。
14、设，，都是实数，且满足条件，，求代数式的值。
知识链接
1．0或2、或 2 ．（1）4、2，（2）、 3． 、0
4．1、、 5．8
学法演练
1．B 2．C 3．B 4．B 5．C 6．D 7．7或－1 8．2 9．或 10．、降次、 11．（1）或，（2），（3），（4）或
12．由，得x=0或x=；由，得x=或x=1
13．由条件Δ1＝22－4(1-m)<0，m<0，Δ2＝m2-48m+4＞0，方程有两个不相等的实根。
14．，，，，
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