高中数学教学设计大赛 获奖作品汇编 （上 部） 目 录 1、集合与函数概念实习作业…………………………………… 2、指数函数的图象及其性质…………………………………… 3、对数的概念………………………………………………… 4、对数函数及其性质（1）…………………………………… 5、对数函数及其性质（2）…………………………………… 6、函数图象及其应用…………………………………… 7、方程的根与函数的零点…………………………………… 8、用二分法求方程的近似解…………………………………… 9、用二分法求方程的近似解…………………………………… 10、直线与平面平行的判定…………………………………… 11、循环结构 ………………………………………………… 12、任意角的三角函数（1）………………………………… 13、任意角的三角函数（2）…………………………………… 14、函数
的图象………………………… 15、向量的加法及其几何意义……………………………………… 16、平面向量数量积的物理背景及其含义（1）……………… 17、平面向量数量积的物理背景及其含义（2）…………………… 18、正弦定理（1）…………………………………………………… 19、正弦定理（2）…………………………………………………… 20、正弦定理（3）…………………………………………………… 21、余弦定理……………………………………………… 22、等差数列……………………………………………… 23、等差数列的前n项和……………………………………… 24、等比数列的前n项和……………………………………… 25、简单的线性规划问题……………………………………… 26、拋物线及其标准方程……………………………………… 27、圆锥曲线定义的运用……………………………………… 前 言 为了更好地贯彻落实和科课程标准有关要求，促进广大教师学习现代教学理论，进一步激发广大教师课堂教学的创新意识，切实转变教学观念，积极探索新课程理念下的教与学，有效解决教学实践中存在的问题，促进课堂教学质量的全面提高，在2007年由福建省普通教育教学研究室组织，举办了一次教学设计大赛活动。这次活动数学学科高中组共收到有49篇教学设计文章。获奖文章推荐评审专家组本着公平、公正的原则，经过认真的评审，全部作品均评出了相应的奖项；专家组还为获得一、二等奖的作品撰写了点评。本稿收录的作品全部是参加此次福建省教学设计竞赛获奖作者的文章。按照征文的规则，我们对入选作品的格式作了一些修饰，并经过适当的整合，以飨读者。 在此还需要说明的是，为了方便阅读，获奖文章的排序原则，并非按照获奖名次的前后顺序，而是按照高中数学新课程必修1—5的内容顺序，进行编排的。部分体现大纲教材内容的文章则排在后面。 不管你获得的是哪个级别的奖项,你们都可以有成就感,因为那是你们用心、用汗浇灌出的果实,它记录了你们奉献于数学教育事业的心路历程.书中每一篇的教学设计都耐人寻味,都能带给我们许多遐想和启迪.你们是优秀的,在你们未来悠远的职业里程中,只要努力,将有更多的辉煌在等待着大家。谢谢你们! 编者 2008-3-23 于福州 1、集合与函数概念实习作业 一、教学内容分析 《普通高中课程标准实验教科书·数学（1）》（人教A版）第44页。-----《实习作业》。本节课程体现数学文化的特色，学生通过了解函数的发展历史进一步感受数学的魅力。学生在自己动手收集、整理资料信息的过程中，对函数的概念有更深刻的理解；感受新的学习方式带给他们的学习数学的乐趣。 二、学生学习情况分析 该内容在《普通高中课程标准实验教科书·数学（1）》（人教A版）第44页。学生第一次完成《实习作业》，积极性高，有热情和新鲜感，但缺乏经验，所以需要教师精心设计，做好准备工作，充分体现教师的“导演”角色。特别在分组时注意学生的合理搭配（成绩的好坏、家庭有无电脑、男女生比例、口头表达能力等），选题时，各组之间尽量不要重复，尽量多地选不同的题目，可以让所有的学生在学习共享的过程中受到更多的数学文化的熏陶。 三、设计思想 《标准》强调数学文化的重要作用，体现数学的文化的价值。数学教育不仅应该帮助学生学习和掌握数学知识和技能，还应该有助于学生了解数学的价值。让学生逐步了解数学的思想方法、理性精神，体会数学家的创新精神，以及数学文明的深刻内涵。 四、教学目标 1．了解函数概念的形成、发展的历史以及在这个过程中起重大作用的历史事件和人物； 2．体验合作学习的方式，通过合作学习品尝分享获得知识的快乐； 3．在合作形式的小组学习活动中培养学生的领导意识、社会实践技能和民主价值观。 五、教学重点和难点 重点：了解函数在数学中的核心地位，以及在生活里的广泛应用； 难点：培养学生合作交流的能力以及收集和处理信息的能力。 六、教学过程设计 【课堂准备】 1．分组：4～6人为一个实习小组，确定一人为组长。教师需要做好协调工作，确保每位学生都参加。 2．选题：根据个人兴趣初步确定实习作业的题目。教师应该到各组中去了解选题情况，尽量多地选择不同的题目。 参考题目：（1）函数产生的社会背景；（2）函数概念发展的历史过程；（3）函数符号的故事；（4）数学家（如：开普勒、伽利略、笛卡儿、牛顿、莱布尼兹、贝努利、欧拉、柯西、狄里克雷、罗巴契夫斯基等）与函数；（5）也可自拟题目 3．分配任务：根据个人情况和优势，经小组共同商议，由组长确定每人的具体任务。 4．搜集资料：针对所选题目，通过各种方式（相关书籍----《函数在你身边》、《世界函数通史》、《世界著名科学家传记》等；相关网页---WWW.pep.com.cn、http://www.i3721.com/cz/tbjak/qnj/bsdb8njsxxc/ 200605/43459.html等）搜集素材，包括文字、图片、数据以及音像资料等，并记录相关资料，写出实习报告。 实习报告 年 月 日 题目   组长及参加人员   教师审核意见及等级   正文   备注 （指出参考文献或相关网页）  5．投影仪、多媒体； 6．把各组的实习报告，贴在班级的学习栏内，让学生学习交流。 【教学过程】 1．出示课题：交流、分享实习报告 2．交流、分享：（由数学科代表主持。小组推荐中心发言人；以下记录均为发言概述） （1）学生1：函数小史 数学史表明，重要的数学概念的产生和发展，对数学发展起着不可估量的作用。有些重要的数学概念对数学分支的产生起着奠定性的作用。我们刚学过的函数就是这样的重要概念。在笛卡尔引入变量以后，变量和函数等概念日益渗透到科学技术的各个领域。最早提出函数（function）概念的，是17世纪德国数学家莱布尼茨。最初莱布尼茨用“函数”一词表示幂。1755年，瑞士数学家欧拉把给出了不同的函数定义。中文数学书上使用的“函数”一词是转译词。是我国清代数学家李善兰在翻译《代数学》（1895年）一书时，把“function”译成“函数”的。 我们可以预计到，关于函数的争论、研究、发展、拓广将不会完结，也正是这些影响着数学及其相邻学科的发展。 （2）教师带头鼓掌并简单评价 （3）学生2： 函数概念的纵向发展 ： 该同学从早期函数概念——几何观念下的函数到十八世纪函数概念——代数观念下的函数讲述了函数概念的发展。其中包括18世纪中叶著名的数学家欧拉对函数概念发展的贡献。接着又讲述了十九世纪函数概念——对应关系下的函数。以及现代函数概念——集合论下的函数。函数概念的定义经过三百多年的锤炼、变革，形成了函数的现代定义形式。 （4）教师带头鼓掌并简单评价 （5）学生3：我国数学家李国平与函数 学生3描述了数学家中国科学院数学物理学部委员．李国平（1910—1996），的身世和他的成长历程。李国平1933年毕业于中山大学数学天文系。后历任中国科学院数学计算技术研究所所长，中国科学院武汉数学物理研究所所长，中国数学会理事，中国科学院学部委员等职务。学生还通俗地讲述了李国平先生在微分方程复变函数论领域的卓越贡献。 （6）教师带头鼓掌并简单评价 （7）学生4：函数概念对数学发展的影响 该学生从历史上重要数学概念对数学发展的作用是不可估量的事实出发，讲述了函数概念对数学发展的深刻影响，可以说是贯穿古今、旷日持久、作用非凡，回顾函数概念的历史发展，看一看函数概念不断被精炼、深化、丰富的历史过程，是一件十分有益的事情，它不仅有助于我们提高对函数概念来龙去脉认识的清晰度，而且更能帮助我们领悟数学概念对数学发展，数学学习的巨大作用． 函数概念来源于代数学中不定方程的研究．由于罗马时代的丢番图对不定方程已有相当研究，所以函数概念至少在那时已经萌芽．该学生说道，早在函数概念尚未明确提出以前，数学家已经接触并研究了不少具体的函数，比如对数函数、三角函数、双曲函数等等．1673年前后笛卡儿在他的解析几何中，已经注意到了一个变量对于另一个变量的依赖关系，但由于当时尚未意识到需要提炼一般的函数概念，因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分的时候，数学家还没有明确函数的一般意义． 从以上函数概念发展的全过程中，我们体会到，联系实际、联系大量数学素材，研究、发掘、拓广数学概念的内涵是何等重要． （8）教师带头鼓掌并简单评价 （9）学生5：函数概念的历史演变过程 该学生说，数学的抽象完全舍弃了事物的质的内容，而仅仅保留了它们的量的属性，即数学抽象的目的只是数量关系和空间形式．这就决定了数学与其它自然科学的区别，也决定了数学的特殊性．如果在两个集合元素之间存在有确定的对应关系，就称为是一个映射． 上述函数概念的历史演变过程，就是一系列弱抽象的过程．学生展示了下表：
 （10）教师带头鼓掌并简单评价 3．课堂小结： 4．实习作业的评定： 实习作业评价参考意见 级别 标准  很好 1．小组配合默契（有计划、任务分配合理、每人积极认真） 2．报告材料丰富、可靠、线索清晰 3．拥有自己的独立见解  好 1．小组配合良好 2．报告材料丰富、可靠、线索较清晰 3．有一定的独立见解  一般 1．小组配合一般 2．报告材料一般、线索基本清晰 3．有一定的分析  较差 1．小组配合欠佳 2．报告材料贫乏、线索不够清晰  七、教学反思 实习作业是新课程的一个亮点。是培养学生的团队精神，体验合作学习的方式的重要途径。但事实上，实习作业很容易被教师所忽视，所以想通过该教学设计引起教师们的重视。在高一刚开始的时候，如何做好第一次实习作业，是很关键的。就我们学校条件和学生情况，完全可以做好实习作业的，事实证明学生做得很好。可以通过这次实习作业，让学生体验合作学习的方式，通过合作学习品尝分享获得知识的快乐。再者，通过对数学家的了解，感受数学家的精神，增加学好数学的信心，为今后的学习打下好的基础。 福鼎市第一中学 曹齐平 点 评 该教学设计具有一定的创新性，在教师的引导下，以学生合作学习的模式，探讨函数概念的形成、发展的历史以及在这个过程中起重大作用的历史事件和人物。通过学生的自主学习、探究活动，学生经历收集信息，整理资料，并从中提取有用信息的过程，让学生体验数学知识发现和创造的历程，对于提高学生的数学表达和交流的能力具有一定意义。 但该设计中教师的主导地位体现得不够，教师对学生的评价不够具体（只有鼓掌）。 2、指数函数的图象及其性质 教学内容分析 本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学（1）》（人教A版）第二章第一节第二课（2.1.2）《指数函数及其性质》。根据我所任教的学生的实际情况，我将《指数函数及其性质》划分为两节课（探究图象及其性质，指数函数及其性质的应用），这是第一节课“探究图象及其性质”。 指数函数是重要的基本初等函数之一，作为常见函数，它不仅是今后学习对数函数和幂函数的基础，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，所以指数函数应重点研究。 学生学习况情分析 指数函数是在学生系统学习了函数概念，基本掌握了函数的性质的基础上进行研究的，是学生对函数概念及性质的第一次应用。教材在之前的学习中给出了两个实际例子（GDP的增长问题和炭14的衰减问题），已经让学生感受到指数函数的实际背景，但这两个例子背景对于学生来说有些陌生。本节课先设计一个看似简单的问题，通过超出想象的结果来激发学生学习新知的兴趣和欲望。 三、设计思想 1.函数及其图象在高中数学中占有很重要的位置。如何突破这个即重要又抽象的内容，其实质就是将抽象的符号语言与直观的图象语言有机的结合起来，通过具有一定思考价值的问题，激发学生的求知欲望――持久的好奇心。我们知道，函数的表示法有三种：列表法、图象法、解析法，以往的函数的学习大多只关注到图象的作用，这其实只是借助了图象的直观性，只是从一个角度看函数，是片面的。本节课，力图让学生从不同的角度去研究函数，对函数进行一个全方位的研究，并通过对比总结得到研究的方法，让学生去体会这种的研究方法,以便能将其迁移到其他函数的研究中去。 2.结合参加我校组织的两个课题《对话——反思——选择》和《新课程实施中同伴合作和师生互动研究》的研究，在本课的教学中我努力实践以下两点： ⑴.在课堂活动中通过同伴合作、自主探究培养学生积极主动、勇于探索的学习方式。 ⑵.在教学过程中努力做到生生对话、师生对话，并且在对话之后重视体会、总结、反思，力图在培养和发展学生数学素养的同时让学生掌握一些学习、研究数学的方法。 3.通过课堂教学活动向学生渗透数学思想方法。 四、教学目标 根据任教班级学生的实际情况，本节课我确定的教学目标是：理解指数函数的概念，能画出具体指数函数的图象；在理解指数函数概念、性质的基础上，能应用所学知识解决简单的数学问题；在教学过程中通过类比，回顾归纳从图象和解析式这两种不同角度研究函数性质的数学方法，加深对指数函数的认识，让学生在数学活动中感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要；同时通过本节课的学习，使学生获得研究函数的规律和方法；培养学生主动学习、合作交流的意识。 五、教学重点与难点 教学重点：指数函数的概念、图象和性质。 教学难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳指数函数的性质。 六、教学过程： （一）创设情景、提出问题(约3分钟) 师：如果让1号同学准备2粒米，2号同学准备4粒米，3号同学准备6粒米，4号同学准备8粒米，5号同学准备10粒米，……按这样的规律，51号同学该准备多少米？ 学生回答后教师公布事先估算的数据：51号同学该准备102粒米，大约5克重。 师：如果改成让1号同学准备2粒米，2号同学准备4粒米，3号同学准备8粒米，4号同学准备16粒米，5号同学准备32粒米，……按这样的规律，51号同学该准备多少米？ 【学情预设：学生可能说很多或能算出具体数目】 师：大家能否估计一下，51号同学该准备的米有多重？ 教师公布事先估算的数据：51号同学所需准备的大米约重1.2亿吨。 师：1.2亿吨是一个什么概念？根据2007年9月13日美国农业部发布的最新数据显示，2007～2008年度我国大米产量预计为1.27亿吨。这就是说51号同学所需准备的大米相当于2007～2008年度我国全年的大米产量！ 【设计意图：用一个看似简单的实例，为引出指数函数的概念做准备；同时通过与一次函数的对比让学生感受指数函数的爆炸增长，激发学生学习新知的兴趣和欲望。】 在以上两个问题中，每位同学所需准备的米粒数用
表示，每位同学的座号数用
表示，
与
之间的关系分别是什么？ 学生很容易得出y=2x（

）和
（

） 【学情预设：学生可能会漏掉
的取值范围，教师要引导学生思考具体问题中
的范围。】 （二）师生互动、探究新知 1．指数函数的定义 师：其实，在本章开头的问题2中，也有一个与
类似的关系式
（
） ⑴让学生思考讨论以下问题（问题逐个给出）：（约3分钟） ①
（

）和
（
）这两个解析式有什么共同特征？ ②它们能否构成函数？ ③是我们学过的哪个函数？如果不是，你能否根据该函数的特征给它起个恰当的名字？ 【设计意图：引导学生从具体问题、实际问题中抽象出数学模型。学生对比已经学过一次函数、反比例函数、二次函数，发现
，
是一个新的函数模型，再让学生给这个新的函数命名，由此激发学生的学习兴趣。】 引导学生观察，两个函数中，底数是常数，指数是自变量。 师：如果可以用字母
代替其中的底数，那么上述两式就可以表示成
的形式。自变量在指数位置，所以我们把它称作指数函数。 ⑵让学生讨论并给出指数函数的定义。（约6分钟） 对于底数的分类，可将问题分解为： ①若
会有什么问题？（如
，
则在实数范围内相应的函数值不存在） ②若
会有什么问题？（对于
，
都无意义） ③若
又会怎么样？（
无论
取何值,它总是1,对它没有研究的必要.） 师：为了避免上述各种情况的发生,所以规定
且
. 在这里要注意生生之间、师生之间的对话。 【学情预设： ①若学生从教科书中已经看到指数函数的定义，教师可以问，为什么要求
；
为什么不行？ ②若学生只给出
，教师可以引导学生通过类比一次函数（
）、反比例函数（
）、二次函数（
）中的限制条件， 思考指数函数中底数的限制条件。】 【设计意图 ：①对指数函数中底数限制条件的讨论可以引导学生研究一个函数应注意它的实际意义和研究价值； ②讨论出
，也为下面研究性质时对底数的分类做准备。】 接下来教师可以问学生是否明确了指数函数的定义，能否写出一两个指数函数？教师也在黑板上写出一些解析式让学生判断，如
，
，
。 【学情预设：学生可能只是关注指数是否是变量，而不考虑其它的。】 【设计意图 ：加深学生对指数函数定义和呈现形式的理解。】 2．指数函数性质 ⑴提出两个问题（约3分钟） ①目前研究函数一般可以包括哪些方面； 【设计意图：让学生在研究指数函数时有明确的目标：函数三个要素（对应法则、定义域、值域、）和函数的基本性质（单调性、奇偶性）。】 ②研究函数（比如今天的指数函数）可以怎么研究？用什么方法、从什么角度研究？ 可以从图象和解析式这两个不同的角度进行研究；可以从具体的函数入手（即底数取一些数值）；当然也可以用列表法研究函数，只是今天我们所学的函数用列表法不易得出此函数的性质，可见具体问题要选择适当的方法来研究才能事半功倍！还可以借助一些数学思想方法来思考。 【设计意图：①让学生知道图象法不是研究函数的唯一方法，由此引导学生可以从图象和解析式(包括列表)不同的角度对函数进行研究； ②对学生进行数学思想方法（从一般到特殊再到一般、数形结合、分类讨论）的有机渗透。】 ⑵分组活动，合作学习（约8分钟） 师：好，下面我们就从图象和解析式这两个不同的角度对指数函数进行研究。 ①让学生分为两大组，一组从解析式的角度入手（不画图）研究指数函数，一组借助电脑通过几何画板的操作从图象的角度入手研究指数函数； ②每一大组再分为若干合作小组（建议4人一小组）； ③每组都将研究所得到的结论或成果写出来以便交流。 【学情预设：考虑到各组的水平可能有所不同，教师应巡视，对个别组可做适当的指导。】 【设计意图：通过自主探索、合作学习不仅让学生充当学习的主人更可加深对所得到结论的理解。】 ⑶交流、总结（约10～12分钟） 师：下面我们开一个成果展示会! 教师在巡视过程中应关注各组的研究情况，此时可选一些有代表性的小组上台展示研究成果，并对比从两个角度入手研究的结果。 教师可根据上课的实际情况对学生发现、得出的结论进行适当的点评或要求学生分析。这里除了研究定义域、值域、单调性、奇偶性外，再引导学生注意是否还有其它性质？ 师：各组在研究过程中除了定义域、值域、单调性、奇偶性外是否还得到一些有价值的副产品呢？（如过定点（0，1），
与
的图象关于y轴对称） 【学情预设： ①首先选一从解析式的角度研究的小组上台汇报； ②对于从图象的角度研究的，可先选没对底数进行分类的小组上台汇报； ③问其它小组有没不同的看法，上台补充，让学生对底数进行分类，引导学生思考哪个量决定着指数函数的单调性，以什么为分界，教师可以马上通过电脑操作看函数图象的变化。】 【设计意图： ①函数的表示法有三种：列表法、图象法、解析法，通过这个活动，让学生知道研究一个具体的函数可以也应该从多个角度入手，从图象角度研究只是能直观的看出函数的一些性质，而具体的性质还是要通过对解析式的论证；特别是定义域、值域更是可以直接从解析式中得到的。 ②让学生上台汇报研究成果，让学生有种成就感，同时还可训练其对数学问题的分析和表达能力，培养其数学素养； ③对指数函数的底数进行分类是本课的一个难点，让学生在讨论中自己解决分类问题使该难点的突破显得自然。】 师：从图象入手我们很容易看出函数的单调性、奇偶性、以及过定点（0，1），但定义域、值域却不可确定；从解析式（结合列表）可以很容易得出函数的定义域、值域，但对底数的分类却很难想到。 教师通过几何画板中改变参数
的值，追踪
的图象，在变化过程中，让全体学生进一步观察指数函数的变化规律。 师生共同总结指数函数的图象和性质，教师可以边总结边板书。 图 象    定义域 R  值 域 
 性 质 过定点（0，1）   非奇非偶   在R上是减函数 在R上是增函数  （三）巩固训练、提升总结（约8分钟） 1．例：已知指数函数
的图象经过点
，求
的值。 解：因为
的图象经过点
，所以
即
，解得
，于是
。 所以
。 【设计意图：通过本题加深学生对指数函数的理解。】 师：根据本题，你能说出确定一个指数函数需要什么条件吗？ 师：从方程思想来看，求指数函数就是确定底数，因此只要一个条件，即布列一个方程就可以了。 【设计意图：让学生明确底数是确定指数函数的要素，同时向学生渗透方程的思想。】 2．练习：⑴在同一平面直角坐标系中画出
和
的大致图象，并说出这两个函数的性质； ⑵求下列函数的定义域：①
，②
。 3．师：通过本节课的学习，你对指数函数有什么认识？你有什么收获？ 【学情预设：学生可能只是把指数函数的性质总结一下，教师要引导学生谈谈对函数研究的学习，即怎么研究一个函数。】 【设计意图：①让学生再一次复习对函数的研究方法（可以从也应该从多个角度进行），让学生体会本课的研究方法,以便能将其迁移到其他函数的研究中去。 ②总结本节课中所用到的数学思想方法。 ③强调各种研究数学的方法之间有区别又有联系，相互作用，才能融会贯通。】 4．作业：课本59页习题2．1A组第5题。 七、教学反思 1．本节课改变了以往常见的函数研究方法，让学生从不同的角度去研究函数，对函数进行一个全方位的研究，不仅仅是通过对比总结得到指数函数的性质，更重要的是让学生体会到对函数的研究方法,以便能将其迁移到其他函数的研究中去，教师可以真正做到“授之以渔”而非“授之以鱼”。 2．教学中借助信息技术可以弥补传统教学在直观感、立体感和动态感方面的不足，可以很容易的化解教学难点、突破教学重点、提高课堂效率，本课使用几何画板可以动态地演示出指数函数的底数的动态过程，让学生直观观察底数对指数函数单调性的影响。 3．在教学过程中不断向学生渗透数学思想方法，让学生在活动中感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要，部分学生还能自觉得运用这些数学思想方法去分析、思考问题。 福州十一中 胡鹏程 点评： 本节是指数函数及其性质概念课，胡老师在教学设计中，让人印象深刻的是以学生为主体，注重学法指导，重视新旧知识的契合，关注知识的类比，学习方法的迁移。胡老师能够抓住学生的好奇心，将娱乐“计算米粒”与数学有机地结合在一起，提高了学生学习本节知识的兴趣。在观察“准备米粒”得到
和章开头
（
）函数关系式后，巧妙而不失时机地引导学生从具体问题中抽象出数学模型
，发现指数在变化，这与以前所学函数（一次函数、二次函数、反比例函数）都不一样，把变化的量用
表示，不变的量用a表示；通过让学生给函数命名，举几个指数函数例子这个小环节，增强学生对指数函数本质的理解，激发学习兴趣，概念的得到可谓“润物细无声”。接着，胡老师在设计中还注重对学生探索能力的培养，让学生类比一次函数（
）、反比例函数（
）、二次函数（
）中的限制条件，给出指数函数的定义及底数
的取值范围。 在研究指数函数的性质时，胡老师能够紧扣第一章的函数知识，让学生在研究指数函数时有明确的目标：函数三个要素（对应法则、定义域、值域、）和函数的基本性质（单调性、奇偶性）。通过提问的方法，让学生明白研究函数可以从图象和解析式这两个不同的角度进行出发，将学生的注意力引向本节的第二个知识点——图象及其性质。设计中将学生进行分组，通过学生的自主探究、合作学习，侧重对解析式、作图象探索。学生的上台报告，老师借助几何画板的直观图形，以形助数，以数定形，数形结合的数学方法，收到了较好的研究效果。 3、对数的概念 一、教学内容分析 本节课是新课标高中数学A版必修①中第二章对数函数内容的第一课时，也就是对数函数的入门。对数函数对于学生来说是一个全新的函数模型，学习起来比较困难。而对数函数又是本章的重要内容，在高考中占有一定的分量，它是在指数函数的基础上，对函数类型的拓广，同时在解决一些日常生活问题及科研中起十分重要的作用。通过本节课的学习，可以让学生理解对数的概念，从而进一步深化对对数模型的认识与理解，为学习对数函数作好准备。同时，通过对数概念的学习，对培养学生对立统一，相互联系、相互转化的思想，培养学生的逻辑思维能力都具有重要的意义。 二、学生学习情况分析 现阶段大部分学生学习的自主性较差，主动性不够，学习有依赖性，且学习的信心不足，对数学存在或多或少的恐惧感。通过对指数与指数幂的运算的学习，学生已多次体会了对立统一、相互联系、相互转化的思想，并且探究能力、逻辑思维能力得到了一定的锻炼。因此，学生已具备了探索发现研究对数定义的认识基础，故应通过指导，教会学生独立思考、大胆探索和灵活运用类比、转化、归纳等数学思想的学习方法。 三、设计思想 学生是教学的主体,本节课要给学生提供各种参与机会。为了调动学生学习的积极性，使学生化被动为主动。本节课我利用多媒体辅助教学,教学中我引导学生从实例出发，从中认识对数的模型，体会引入对数的必要性。在教学重难点上，我步步设问、启发学生的思维,通过课堂练习、探究活动,学生讨论的方式来加深理解,很好地突破难点和提高教学效率。让学生在教师的引导下，充分地动手、动口、动脑，掌握学习的主动权。 四、教学目标 1、理解对数的概念,了解对数与指数的关系；掌握对数式与指数式的互化；理解对数的性质，掌握以上知识并形成技能。 2、通过事例使学生认识对数的模型，体会引入对数的必要性；通过师生观察分析得出对数的概念及对数式与指数式的互化。 3、通过学生分组探究进行活动，掌握对数的重要性质。通过做练习，使学生感受到理论与实践的统一。 4、培养学生的类比、分析、归纳能力，严谨的思维品质以及在学习过程中培养学生探究的意识。 五、教学重点与难点 重点 ：（1）对数的概念；（2）对数式与指数式的相互转化。 难点 ：（1）对数概念的理解；（2）对数性质的理解。 六、教学过程设计 教学环节 教学程序及设计 设计意图  创 设 情 境 引 入 新 课 引例（3分钟） 1、一尺之棰，日取其半，万世不竭。 （1）取5次，还有多长？ （2）取多少次，还有0.125尺? 分析: (1)为同学们熟悉的指数函数的模型,易得
(2)可设取x次,则有
抽象出:

2、2002年我国GPD为a亿元，如果每年平均增 长8%，那么经过多少年GPD是2002年的2倍？ 分析:设经过x年,则有
抽象出:

让学生根据题意，设未知数，列出方程。这两个例子都出现指数是未知数x的情况，让学生思考如何表示x，激发其对对数的兴趣，培养学生的探究意识。生活及科研中还有很多这样的例子，因此引入对数是必要的。   讲 授 新 课
 讲 授 新 课 讲 授 新 课 一、对数的概念（3分钟） 一般地，如果a(a>0且a≠1)的b次幂等于N, 就是
=N 那么数 b叫做 a为底 N的对数,记作
，a叫做对数的底数,N叫做真数。 注意：①底数的限制:a>0且a≠1 ②对数的书写格式
 正确理解对数定义中底数的限制，为以后对数函数定义域的确定作准备。同时注意对数的书写，避免因书写不规范而产生的错误。   二、对数式与指数式的互化：（5分钟）
 幂底数 ← a → 对数底数 指数 ← b → 对数 幂 ← N → 真数 思考： ①为什么对数的定义中要求底数a>0且a≠1？ ②是否是所有的实数都有对数呢？ 负数和零没有对数  让学生了解对数与指数的关系，明确对数式与指数式形式的区别，a、b和N位置的不同，及它们的含义。互化体现了等价转化这个重要的数学思想。   三、两个重要对数（2分钟） ①常用对数： 以10为底的对数
,简记为: lgN ②自然对数： 以无理数e=2.71828…为底的对数的对数
简记为: lnN . (在科学技术中,常常使用以e为底的对数) 注意：两个重要对数的书写  这两个重要对数一定要掌握，为以后的解题以及换底公式做准备。   课堂练习（7分钟） 1 将下列指数式写成对数式： （1）
（2）
（3）
（4）
2 将下列对数式写成指数式： （1）
（2）
（3）
3 求下列各式的值： （1）
（2）
 本练习让学生独立阅读课本P69例1和例2后思考完成，从而熟悉对数式与指数式的相互转化，加深对对数的概念的理解。并要求学生指出对数式与指数式互化时应注意哪些问题。培养学生严谨的思维品质。   四、对数的性质（12分钟） 探究活动1 求下列各式的值： （1）
0 （2）
0 （3）
0 （4）
0 思考：你发现了什么？ “1”的对数等于零，即
类比：
 探究活动由学生独立完成后，通过思考，然后分小组进行讨论，最后得出结论。通过练习与讨论的方式,让学生自己得出结论,从而更能好地理解和掌握对数的性质。培养学生类比、分析、归纳的能力。最后，将学生归纳的结论进行小结，从而得到对数的基本性质。   探究活动2 求下列各式的值： （1）
1 （2）
1 （3）
1 （4）
1 思考：你发现了什么？ 底数的对数等于“1”，即
类比：
   探究活动3 求下列各式的值： （1）
3 （2）
0.6 （3）
89 思考:你发现了什么? 对数恒等式:
   探究活动4 求下列各式的值: (1)
4 (2)
5 (3)
8 思考:你发现了什么? 对数恒等式:
   负数和零没有对数 小 “1”的对数等于零，即
底数的对数等于“1”，即
结 对数恒等式:
对数恒等式:
将学生归纳的结论进行小结，从而得到对数的基本性质。  巩 固 练 习 （10分钟） 1、课本P70 练习 2、提高训练 (1)已知x满足等式
，求
值 （2）求值：
巩固指数式与对数式的互化，巩固对数的基本性质及其应用。  归 纳 小 结 强 化 思 想 （3分钟） 1、 引入对数的必要性----对数的概念 一般地，如果a(a>0且a≠1)的b次幂等于N,就是
=N，那么数b叫做以a为底，N的对数。记作
　　 2 、指数与对数的关系
 3、对数的基本性质 负数和零没有对数

对数恒等式:

 总结是一堂课内容的概括，有利于学生系统地掌握所学内容。同时，将本节内容纳入已有的知识系统中，发挥承上启下的作用。为下一课时对数的运算打下扎实的基础。  作业布置 一、课本P82 习题2.2 A组 第1、2题 二、已知
，求
的值 三、求下列各式的值：




作业是学生信息的反馈，教师可以在作业中发现学生在学习中存在的问题，弥补教学中的不足。  板书设计 §2.2.1 对数的概念    引例1 引例2 一、对数的定义 二、对数式与指数式的互化 练习 三、对数的基本性质 四、小结 五、作业布置    七、教学反思 本教学设计先由引例出发，创设情境，激发学生对对数的兴趣；在讲授新课部分，通过结合多媒体教学以及一系列的课堂探究活动，加深学生对对数的认识；最后通过课堂练习来巩固学生对对数的掌握。 古田一中 林宁宁 点评： 对数概念是高中数学课程的重要内容。本文目标的制订具体、适宜，且明确地体现在每一教学环节中，教学思路设计符合教学内容实际和学生实际，层次脉络较清晰。强调对数的概念的理解，对数式与指数式的相互转化，对书写规格等做了要求，有利于学生作业的规范化，培养学生严谨的思维品质。高中新课程在教学方面所倡导的新的教学理念，对于促进课堂教学中学生学习方式的变革起到了巨大作用。然而，这些理念在指导我们重建课堂教学时也表现出限定的有效性。只有对此有客观和充分的认识，我们才不至于生搬硬套，适得其反，从一个极端走向另一个极端。教无定法，重在得法，只要能激发学生的学习兴趣，提高学生的学习积极性，有助于学生思维能力的培养，有利于所学知识的掌握和运用，达到课堂教学的效果，都应该是好的教学方法。 4、对数函数及其性质（1） 教材分析 本小节选自《普通高中课程标准数学教科书-数学必修（一）》（人教版）第二章基本初等函数（1）2.2.2对数函数及其性质（第一课时），主要内容是学习对数函数的定义、图象、性质及初步应用。对数函数是继指数函数之后的又一个重要初等函数，无论从知识或思想方法的角度对数函数与指数函数都有许多类似之处。与指数函数相比，对数函数所涉及的知识更丰富、方法更灵活，能力要求也更高。学习对数函数是对指数函数知识和方法的巩固、深化和提高，也为解决函数综合问题及其在实际上的应用奠定良好的基础。虽然这个内容十分熟悉，但新教材做了一定的改动，如何设计能够符合新课标理念，是人们十分关注的，正因如此，本人选择这课题立求某些方面有所突破。 学生学习情况分析 刚从初中升入高一的学生，仍保留着初中生许多学习特点，能力发展正处于形象思维向抽象思维转折阶段，但更注重形象思维。由于函数概念十分抽象，又以对数运算为基础，同时，初中函数教学要求降低，初中生运算能力有所下降，这双重问题增加了对数函数教学的难度。教师必须认识到这一点，教学中要控制要求 的拔高，关注学习过程。 三、设计理念 本节课以建构主义基本理论为指导，以新课标基本理念为依据进行设计的，针对学生的学习背景，对数函数的教学首先要挖掘其知识背景贴近学生实际，其次，激发学生的学习热情，把学习的主动权交给学生，为他们提供自主探究、合作交流的机会，确实改变学生的学习方式。 四、教学目标 1．通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型； 2．能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点； 3．通过比较、对照的方法，引导学生结合图象类比指数函数，探索研究对数函数的性质，培养学生运用函数的观点解决实际问题。 五、教学重点与难点 重点是掌握对数函数的图象和性质，难点是底数对对数函数值变化的影响． 六、教学过程设计 教学流程：背景材料→ 引出课题 → 函数图象→ 函数性质 →问题解决→归纳小结 （一）熟悉背景、引入课题 1．让学生看材料： 材料1（幻灯）：马王堆女尸千年不腐之谜：一九七二年，马王堆考古发现震惊世界，专家发掘西汉辛追遗尸时，形体完整，全身润泽，皮肤仍有弹性，关节还可以活动，骨质比现在六十岁的正常人还好，是世界上发现的首例历史悠久的湿尸。大家知道，世界发现的不腐之尸都是在干燥的环境风干而成，譬如沙漠环境，这类干尸虽然肌肤未腐，是因为干燥不利细菌繁殖，但关节和一般人死后一样，是僵硬的，而马王堆辛追夫人却是在湿润的环境中保存二千多年，而且关节可以活动。人们最关注有两个问题，第一：怎么鉴定尸体的年份？第二：是什么环境使尸体未腐？其中第一个问题与数学有关。
图 4—1 （如图 4—1在长沙马王堆“沉睡”近2200年的古长沙国丞相夫人辛追，日前奇迹般地“复活”了） 那么，考古学家是怎么计算出古长沙国丞相夫人辛追“沉睡”近2200年？上 面已经知道考古学家是通过提取尸体的残留物碳14的残留量p，利用
估算尸体出土的年代，不难发现：对每一个碳14的含量的取值，通过这个对应关系， 生物死亡年数t都有唯一的值与之对应，从而t是P的函数； 如图4—2材料2（幻灯）：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个 ……， 如果要求这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到细胞1万个，10万个 ……，不难发现：分裂次数y就是要得到的细胞个数x的函数,即
； 图 4—2 1.引导学生观察这些函数的特征：含有对数符号，底数是常数，真数是变量，从而得出对数函数的定义：函数
，且
叫做对数函数，其中
是自变量，函数的定义域是（0，+∞）． 注意： 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别．如：
，
都不是对数函数． 对数函数对底数的限制：
，且
． 3．根据对数函数定义填空； 例1 （1）函数 y=logax2的定义域是___________ (其中a>0,a≠1) (2) 函数y=loga(4-x) 的定义域是___________ (其中a>0,a≠1) 说明：本例主要考察对数函数定义中底数和定义域的限制，加深对概念的理解，所以把教材中的解答题改为填空题，节省时间，点到为止，以避免挖深、拓展、引入复合函数的概念。 [设计意图：新课标强调“考虑到多数高中生的认知特点，为了有助于他们对函数概念本质的理解，不妨从学生自己的生活经历和实际问题入手”。因此，新课引入不是按旧教材从反函数出发，而是选择从两个材料引出对数函数的概念，让学生熟悉它的知识背景，初步感受对数函数是刻画现实世界的又一重要数学模型。这样处理，对数函数显得不抽象，学生容易接受，降低了新课教学的起点] （二）尝试画图、形成感知 1．确定探究问题 教师：当我们知道对数函数的定义之后，紧接着需要探讨什么问题？ 学生1：对数函数的图象和性质 教师：你能类比前面研究指数函数的思路，提出研究对数函数图象和性质的方法吗？ 学生2：先画图象，再根据图象得出性质 教师：画对数函数的图象是否象指数函数那样也需要分类？ 学生3：按
和
分类讨论 教师：观察图象主要看哪几个特征？ 学生4：从图象的形状、位置、升降、定点等角度去识图 教师：在明确了探究方向后，下面，按以下步骤共同探究对数函数的图象： 步骤一：（1）用描点法在同一坐标系中画出下列对数函数的图象

（2）用描点法在同一坐标系中画出下列对数函数的图象

步骤二：观察对数函数
、
与
、
的图象特征 ，看看它们有那些异同点。 步骤三：利用计算器或计算机，选取底数

，且
的若干个不同的值，在同一平面直角坐标系中作出相应对数函数的图象。观察图象，它们有哪些共同特征？ 步骤四：规纳出能体现对数函数的代表性图象 步骤五：作指数函数与对数函数图象的比较 2．学生探究成果 （1）如图 4—3、4—4较为熟练地用描点法画出下列对数函数
、
、
、
的图象

（2）如图4—5学生选取底数
=1/4、1/5、1/6、1/10、4、5、6、10，并推荐几位代表上台演示‘几何画板’，得到相应对数函数的图象。由于学生自己动手，加上‘几何画板’的强大作图功能，学生非常清楚地看到了底数
是如何影响函数
，且
图象的变化。 （3）有了这种画图感知的过程以及学习指数函数的经验，学生很明确y = loga x （a>1）、y = loga x (01） y = loga x (01时，图象沿x轴正向逐步上升；当01），当a值增大，图象的上升“程度”怎样？ 说明：这是学生探究中容易忽略的地方，通过补充学生对对数函数图象感性认识就比较全面。 [设计意图：旧教材是通过对称变换直接从指数函数的图象得到对数函数图象，这样处理学生虽然会接受了这个事实，但对图象的感觉是肤浅的；这样处理也存在着函数教学忽视图象、性质的认知过程而注重应用的“功利”思想。因此，本节课的设计注重引导学生用特殊到一般的方法探究对数函数图象的形成过程，加深感性认识。同时，帮助学生确定探究问题、探究方向和探究步骤，确保探究的有效性。这个环节，还要借助计算机辅助教学作用，增强学生的直观感受] （三）理性认识、发现性质 1．确定探究问题 教师：当我们对对数函数的图象有了直观认识后，就可以进一步研究对数函数的性质，提高我们对对数函数的理性认识。同学们，通常研究函数的性质有哪些途径？ 学生：主要研究函数的定义域、值域、单调性、对称性、过定点等性质。 教师：现在，请同学们依照研究函数性质的途径，再次联手合作，根据图象特征探究出对数函数的定义域、值域、单调性、对称性、过定点等性质 2．学生探究成果 在学生自主探究、合作交流的的基础上填写如下表格： 函 数 y = loga x （a>1） y = loga x (01时，y>0 00 x>1时，y<0  [设计意图：发现性质、弄清性质的来龙去脉，是为了更好揭示对数函数的本质属性，传统教学往往让学生在解题中领悟。为了扭转这种方式，我先引导学生回顾指数函数的性质，再利用类比的思想，小组合作的形式通过图象主动探索出对数函数的性质。教学实践表明：当学生对对数函数的图象已有感性认识后，得到这些性质必然水到渠成] （四）探究问题、变式训练 问题一：（幻灯）（教材p79 例8） 比较下列各组数中两个值的大小： (1) log 23.4 , log 28.5 （2）log 0.31.8 , log 0.32.7 （3）log a5.1 , log a5.9 ( a＞0 , 且a≠1 ) 独立思考：1。构造怎样的对数函数模型？2。运用怎样的函数性质？ 小组交流：（1）
是增函数 （2） 是减函数 （3）y = loga x，分
和
分类讨论 变式训练：1. 比较下列各题中两个值的大小: ⑴ log106 log108 　　 ⑵ log0.56 log0.54 ⑶ log0.10.5 log0.10.6 ⑷ log1.50.6 log1.50.4 2．已知下列不等式，比较正数m，n 的大小： (1) log 3 m < log 3 n (2) log 0.3 m > log 0.3 n (3) log a m < loga n (0 log a n (a>1) 问题二：（幻灯）（教材p79 例9）溶液酸碱度的测量。 溶液酸碱度是通过pH刻画的。pH的计算公式为pH= —lg[ ]，其中 [ ]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升。（1）根据对数函数性质及上述pH的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系；（2）已知纯静水中氢离子的浓度为[ ] = - 摩尔/升，计算纯静水的pH 独立思考：解决这个问题是选择怎样的对数函数模型？运用什么函数性质？ 小组交流：pH=-lg[ ]=lg[ ]=lg1/[ ], 随着[ ]的增大，pH 减小，即溶液中氢离子浓度越大，溶液的酸碱度就越大 [设计意图：1。这个环节不做为本节课的重头戏，设置探究问题只是从另一层面上提升学生对性质的理解和应用。问题一是比较大小，始终要紧扣对数函数模型，渗透函数的观点（数形结合）解决问题的思想方法；2。旧教材在图象与性质之后，通常操练类似比较大小等技巧性过大的问题，而新教材引出问题二，还是强调“数学建模”的思想，并且关注学科间的联系，这种精神应予领会。当然要预计到，实际教学中学生理解这道应用题题意会遇到一些困难，教师要注意引导] （五）归纳小结、巩固新知 1．议一议：（1）怎样的函数称为对数函数？ （2）对数函数的图象形状与底数有什么样的关系？ （3）对数函数有怎样的性质？ 2．看一看：对数函数的图象特征和相关性质 对数函数的图象特征 对数函数的相关性质  



 函数图象都在y轴右侧 函数的定义域为（0，＋∞）  图象关于原点和y轴不对称 非奇非偶函数  向y轴正负方向无限延伸 函数的值域为R  函数图象都过定点（1，0）   自左向右看， 图象逐渐上升 自左向右看， 图象逐渐下降 增函数 减函数  第一象限的图象纵坐标都大于0 第一象限的图象纵坐标都大于0 

 第二象限的图象纵坐标都小于0 第二象限的图象纵坐标都小于0 

  （六）作业布置、课后自评 必做题：教材P82习题2．2（A组） 第7、8、9、12题． 选做题：教材P83习题2．2（B组） 第2题． 七、教学反思 从教二十多年，每每设计函数的教学，始终存有困惑的感慨，同时也有遇旧如新的喜悦。函数始终是高中数学教学的主线，对数函数始终是高中数学的难点。高中新课改的春风，带来了函数教学设计上的创新，促使我们在学生学习方法上、教学内容的组织上、教学辅助手段上率先尝试，但这只是一个起点，目前教学条件还受到制约，如图形计算器未能普及、课时紧容量大，都影响函数的正常教学，通过这次活动希望能引起大家的广泛关注并深入探讨！ 【参考文献】1。普通高中数学课程标准，人教社，2003 2．章建跃，数学课堂教学设计研究。数学通报，2006.7 宁德市霞浦县第六中学 郭星波 点评： 本文教学目标的设计定位准确，教学重点、难点明确。从两个实际问题引出对数函数的概念，让学生了解知识产生的背景，初步感受对数函数是刻画现实世界的一个重要数学模型。教学设计注重引导学生用特殊到一般的方法探究对数函数图象的形成过程，加深感性认识。同时，帮助学生确定探究问题、探究方向和探究步骤，确保探究的有效性。同时借助计算机辅助教学，增强学生的直观感受。 教给学生方法比教给学生知识更重要。本设计能在前一节刚学过指数函数的图象与性质的基础上，通过类比，以旧引新，自然过渡到本节的学习，用研究指数函数的图象与性质的方法来研究对数函数的图象与性质。在教学过程中，教师能引导学生确定探究问题、探究方向和探究步骤，确保了探究的有效性；让学生动手画图、观察图象，启发学生思考、实验、分析、归纳，注重探究的过程与方法。在这里，教师成为课堂教学的组织者与学生学习的促进者，而学生成为学习的主人，学会了学习，学到了 “对比联系”、“数形结合”及“分类讨论”的思想方法。 另外，教学情景的设置、教学例题的选用，以及信息技术来动态演示，都令人耳目一新，体现了教师的良好的素养及丰厚的学科功底。 5、对数函数及其性质（2） 一、教学内容分析 《普通高中课程标准数学教科书·必修（1）》（人民教育出版社）高中一年级第二单元2.2.2《对数函数的图象和性质》第一课时。 函数是高中数学的主体内容——变量数学的主要研究对象之一，是中学数学的重点知识，研究函数的一般理论和基本方法，用函数的思想方法解决实际问题，是函数教学的主要目标。必修(Ⅰ)2.2.2对数函数及其性质，按课标要求教学时间为3个学时，本节课为第1课时，本节课教学是学生在学过正比例函数、一次函数、二次函数、反比例函数和指数函数的基础上进一步学习的一种新函数，对对数函数概念的理解，图象和性质的掌握和应用有利于学生对初等函数认识的系统性，有利于进一步加深对函数思想方法的理解。为后面进一步探究对数函数的应用及指数函数、对数函数的综合应用起到承上启下的作用。 二、学情与教材分析 对数函数是高中引进的第二个初等函数，是本章的重点内容。学生在前面的函数性质、指数函数学习的基础上，用研究指数函数的方法，进一步研究和学习对数函数的概念、图象和性质以及初步应用，有利于学生进一步完善初等函数的认识的系统性，加深对函数的思想方法的理解，在教学过程中，虽然学生的认知水平有限，但只要让学生体验对数函数来源于实践，通过教师课件的演示，通过数形结合，让学生感受y=logax(a>0且a≠1)中，a取不同的值时反映出不同的函数图象，让学生观察、小组讨论、发现、归纳出图象的共同特征、函数图象的规律，进而探究学习对数函数的性质。 最后将对数函数、指数函数的图象和性质进行比较，以便加深对对数函数的概念、图象和性质的理解，同时也为后面教学作准备。 三、设计思想 在本节课的教学过程中，通过古遗址上死亡生物体内碳14含量与生物死亡年代关系的探索，引出对数函数的概念。通过对底数
的分类讨论，探究总结出对数函数的图象与性质，使学生经历从特殊到一般的过程，体验知识的产生、形成过程，通过例题的分析与练习，进一步培养学生自主探索，合作交流的学习方式，通过学生经历直观感知，观察、发现、归纳类比，抽象概括等思维过程，落实培养学生积极探索学习习惯，提高学生的数学思维能力的新课程理念。 四、教学目标 1、通过对对数函数概念的学习，培养学生实践能力，使学生理解对数函数的概念，激发学生的学习兴趣。 2、通过对对数函数有关性质的研究，渗透数形结合、分类讨论的数学思想。培养观察、分析、归纳的思维能力和交流能力，增强学习的积极性。掌握对数函数的图象与性质，并会初步应用。 3、培养学生自主学习、数学交流能力和数学应用意识。通过联系观点分析，解决两数比较大小的问题。 五、教学重点和难点 重点：1、对数函数的定义、图象、性质。 2、对数函数的性质的初步应用。 难点：底数a对对数函数图象、性质的影响。 六、教学过程设计 问题与情境 师生活动 设计意图  活动一： 1、你能说出指数函数的概念、图象、性质吗？ 2、（课件演示） 看2.2.1的例6，在t=log 5730
P中，请同学们用计算器计算，在古遗址上生物体内碳14的含量P，与之相对应生物死亡年代t的值，完成下表： P 0.5 0.3 0.01  t     3、你能归纳出这类函数的一般式吗？  生：回答问题1。 师：组织学生计算，注意引导学生从函数的实际出发，解释两个变量之间的关系。 教师提出问题，注意引导学生把解析式概括到y=logax形式。 学生思考，归纳概括函数特征。  通过回顾旧知识，使知识得到联系。 创设问题情境，让学生从生活中发现问题，激发学生的学习兴趣。 初步建立对数函数模形。  活动二： 归纳给出对数函数的概念 你知道为什么
且
和
吗？  师：(板书)一般地，我们把函数
且
叫做对数函数，其中x是自变量，定义域为
。 教学引导学生用对数的定义分析、回答。  抽象出对数函数的一般形式，让学生感受从特殊到一般的数学思维方法，发展学生抽象思维能力。  活动三： 1、你能用描点法画出
和
的图象吗？ 2、从画出的图象中，你能发现解析式的区别在哪里？图象有什么不同和联系？  生：独立画图，同学间交流。 师：课堂巡视，个别辅导，展示画得较好的个别同学图象。图5—1 图5—1 生：个别同学尝试回答。 师：引导学生发现、观察、对比底数不同对函数图象的影响。  会用描点法画出这两个函数的图象。 为对数函数的图象和性质作铺垫。  活动四： 1、你知道下列函数： （1）

，
， （2）
，
，
　图象吗？观察并回答有什么共同点和不同点？ 2、你能思考并归纳出

且
中，当
和
时，两种图象的特点吗？  生：独立思考，小组讨论。 师：用多媒体课件展示各个函数的图象。 生：观察图象讨论、交流合作，归纳出对数函数的共同性质。 师：注意引导学生从函数性质去分析。  通过学生讨论，培养学生交流合作能力。 获得对数函数的图象和性质。 明确底数a是确定对数函数的要素，渗透分类讨论思想。  给出对数函数y=logax(a>0且a≠1)的图象和性质。 

 图 象    定义域 
 值域 R  过定点（1，0）   在
上为增函数 当
当
当在
上为减函数 当
当
  通过对数函数图象的观察，分析总结出对数函数的性质，有利于加深学生对性质的理解和掌握，使学生经历从特殊到一般的过程，体验知识的产生形成过程，逐步培养学生的抽象概括能力。  活动五： 练习，
，1、画出函数
和
图象，并且说明这两个函数图象有什么不同点和相同点？  生：独立完成。 师：课堂巡视，注意收集学生存在的问题，集中讲评。  掌握对数函数图象的画法。  活动六： 例1、求下列函数的定义域：。 （1）
　　 （2）
 师：（分析）函数的定义域必须使函数的解析式有意义，根据
中
中，所以①中
，即
0；②

。 师：(板书)解：(1)

，即函数
的定义域为
。(2)


，即函数
的定义域为
。 生：认真听讲，积极思考，叙述解例1的步骤。  明确真数大于0的条件，掌握解题步骤。  练习：
,2，求下列函数的定义域： (1)
(2)
(3)
(4)
 师：请4个同学上台板演。 生：独立完成。 师：课堂巡视，个别辅导，对学生完成情况进行点评。  函数图象性质，得到进一下的巩固和提高。  活动七： 例2，比较下列各组数中两个值的大小。 (1)
　　
(2)
　　
(3)
　　
(4)
　　
 师：(分析)请同学们观察(1)(2)两题，这两个对数底数相同，因此(1)可认为是
中，x取3.4和8.5时的函数值。(2)可认为是
中，x取1.8和2.7的函数值。由
单调性可以比较，(3)中底数不相同，真数也不相同，结合函数图象，如何共同探索出比较方法，(4)根据函数的单调性，可寻找中间量1进行比较。 (板书)解： (1)∵
在(0，+∞)上是 增函数，且3.4<8.5， ∴
； (2) ∵
在(0，+∞) 上是减函数，且1.8<2.7；　　　　　　　　 ∴
(3)由
图象可知：
由
图象可知，
， ∴
； (4)∵

， ∴
。  利用对数函数的单调性，进行两个函数对数值的大小比较，函数的性质得到初步应用。 补充的（3）（4）两小题是为了更好地共同探索出各种比较方法。  练习：P81 3 比较下列各题中的两个值的大小。 (1)
　
(2)
　
(3)
　
(4)
　
 师：请4个同学上台板演，其余同学独立完成。教师在巡视中，个别辅导。结合学生完成情况，有针对性的点评。  使学生进一步应用对数函数的性质。  活动八： (补充思考题)看谁能解答下题。 设
，则实数
取值范围是（　） A、
　　　　B、
C、
　D、
 师：鼓励学生大胆尝试。 教师注意引导学生用分类讨论思想，应用函数性质去解答。  本题是让部分学有余力的同学积极去完成。 培养学生探索精神。渗透分类讨论思想。  小结： 1、你能归纳出这节课的学习内容吗？ 2、对数函数及其性质和指数函数及其性质有什么区别和联系？ 3、你能谈谈这节课的收获和体会吗？  小组讨论，合作交流，由学生代表总结表达，教师补充。  学生在教学反思中，整理知识，进一步巩固和提高对数函数及其性质。  七、教学反思 函数内容是学生学习上的一个难点，本节课的教学设计能通过实例，渗透数学方法和思想，与指数函数的类比学习，注重学生探究学习的过程。能够根据教学内容、学生的认知规律和教学设计的情意原则、过程原则进行设计，突出教师的指导和学生自主探究、合作交流的学习理念，使学生对概念的产生、图象的形成过程有了较深入的理解。通过对对数函数的图象和性质的研究，对底数a的分类讨论，以达到突破难点的目的。通过例题的分析和讲解、学生的练习，使函数的图象和性质得到初步应用。活动八补充的思考题是让层度较好的同学去完成，如果课堂时间不允许，可将此部份内容留给学生课后去完成。 漳平二中邓荣庆 点评 本节课是根据学生认知规律设计教学，通过学生实践使学生理解对数函数的概念，其过程是主要的，通过对函数
和
的描点法函数图象的产生，更重要的是对函数
(a>0且a≠1)的底数a的变化，进行观察、分析、归纳等探究活动，形成了对数函数
(a>0且a≠1)的底数a>1和00时，函数在区间（a，b）内没有零点吗? 探求2：如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，并且有f（a）·f（b）<0时，函数在区间（a，b）内有零点，但是否只一个零点？ 探求3：如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，并且函数在区间（a，b）内有零点时一定有f（a）·f（b）<0 ？ 探求4：如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象不是一条连续不断的曲线，函数在区间（a，b）内有零点时一定有f（a）·f（b）<0 ？
图5（反例） 师：总结两个条件： 1）函数y＝ f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线 2）在区间[a，b]上有f（a）·f（b）<0 一个结论：函数y＝ f（x）在区间[a，b]内单调则函数在这个区间内有且只有一个零点 补充：什么时候只有一个零点？ （观察得出）函数y＝f（x）在区间[a，b]内单调时只有一个零点 例2．求函数
的零点个数．问题： 1）你可以想到什么方法来判断函数零点个数？ 2）判断函数的单调性，由单调性你能得该函数的单调性具有什么特性？ 第三阶段设计意图： 教师引导学生理解函数零点存在定理，分析其中各条件的作用,应用例1，例2加深对定理的理解 3、练习尝试(可根据时间和学生对知识的接受程度适当调整) 1．求函数
，并画出它的大致图象． 2．利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根： （1）
；（2）
； 3．利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间： （1）
；（2）
； [师生互动] 师：多媒体演示；结合图象考察零点所在的大致区间与个数，结合函数的单调性说明零点的个数；让学生认识到函数的图象及基本性质（特别是单调性）在确定函数零点中的重要作用． 生：建议学生使用计算器求出函数的大致区间，培养学生的估算能力，也为下一节的用二分法求方程的近似解做准备。 第四阶段设计意图：利用练习巩固新知识，加深理解，为用二分法求方程的近似解做准备 4、探索研究(可根据时间和学生对知识的接受程度适当调整) 讨论：请大家给方程
的一个解的大约范围，看谁找得范围更小？ [师生互动] 师：把学生分成小组共同探究，给学生足够的自主学习时间，让学生充分研究，发挥其主观能动性。也可以让各组把这几个题做为小课题来研究，激发学生学习潜能和热情。老师用多媒体演示，直观地演示根的存在性及根存在的区间大小情况。 生：分组讨论，各抒己见。在探究学习中得到数学能力的提高 第五阶段设计意图： 一是为用二分法求方程的近似解做准备 二是小组探究合作学习培养学生的创新能力和探究意识，本组探究题目就是为了培养学生的探究能力，此组题目具有较强的开放性，探究性，基本上可以达到上述目的。 5课堂小结： 零点概念 零点存在性的判断 零点存在性定理的应用注意点：零点个数判断以及方程根所在区间 6作业回馈 教材P108习题3．1（A组）第1、2题； 思考：总结函数零点求法要注意的问题；思考可以用求函数零点的方法求方程的近似解吗？ 教学程序设计框图： 分析教材设计意图，探讨教学规律； 探索合理教学思想，提出教学建议。 七、教学反思 本设计遵循了由浅入深、循序渐进的原则，分三步来展开这部分的内容。第一步，从学生认为较简单的一元二次方程与相应的二次函数入手，由具体到一般，建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系，然后将其推广到一般方程与相应的函数的情形。第二步，在用二分法求方程近似解的过程中，通过函数图象和性质研究方程的解，体现函数与方程的关系。第三步，在函数模型的应用过程中，通过建立函数模型以及模型的求解，更全面地体现函数与方程的关系逐步建立起函数与方程的联系。本节只是函数与方程的关系建立的第一步，教学中忌面面具到，延展太深。 恰当使用信息技术：本节的教学中应当充分使用信息技术。实际上，一些内容因为涉及大数字运算、大量的数据处理、超越方程求解以及复杂的函数作图，因此如果没有信息技术的支持，教学是不容易展开的。因此，教学中会加强信息技术的使用力度，合理使用多媒体和计算器。 泉州九中陈美珠 点评 本节课在尝试解答五次方程失败后，教师用浓缩的数学史的简介活跃了课堂气氛，使学生受到数学文化的熏陶，并产生探索新知识的欲望。紧接着，借助二次函数的图象与x轴是否有交点的事实与一元二次方程的根的关系出发，建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系，然后将其推广到一般方程与相应的函数的情形，引入了函数零点的定义，体现了从具体到一般的思维过程。随后，利用函数图像和几个填空题引导探索函数零点的存在，初步得到函数零点存在的判定方法，体现了数形结合的思想方法。为了多角度深刻理解函数零点存在定理的内涵，教师构造了4个探究问题。4个探究问题是本节课亮点，例子设计精巧，层层递进，由此引发了学生积极的思考、探索与交流。 设计中体现了师生主动参与体验的有机结合，激发了学生探索新知的兴趣，重点突出，容量适中，由浅入深，环环相扣。整个教学过程教师只是指导、点评，充分展示知识发生、发展的过程，由学生自主建构，在此过程中获得对知识的亲身体验，把教学的主动权给了学生，鼓励学生自主探索、研究性学习，使学生成为真正意义上的学习主人。 值得商讨的是，在给出函数零点的概念后，要让学生明确“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切的联系，但不能将它们混为一谈。这是个难点，教师未能在此有所突破。 8、用二分法求方程的近似解 一、教学内容分析 本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学1必修本（A版）》的第三章3.1.2用二分法求方程的近似解．本节课要求学生根据具体的函数图象能够借助计算机或信息技术工具计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系；它既是本册书中的重点内容，又是对函数知识的拓展，既体现了函数在解方程中的重要应用，同时又为高中数学中函数与方程思想、数形结合思想、二分法的算法思想打下了基础，因此决定了它的重要地位． 二、学生学习情况分析 学生已经学习了函数，理解函数零点和方程根的关系, 初步掌握函数与方程的转化思想．但是对于求函数零点所在区间，只是比较熟悉求二次函数的零点，对于高次方程和超越方程对应函数零点的寻求会有困难．另外算法程序的模式化和求近似解对他们是一个全新的问题． 三、设计思想 倡导积极主动、勇于探索的学习精神和合作探究式的学习方式；注重提高学生的数学思维能力，发展学生的数学应用意识；与时俱进地认识“双基”，强调数学的内在本质，注意适度形式化；在教与学的和谐统一中体现数学的文化价值；注重信息技术与数学课程的合理整合. 四、教学目标 通过具体实例理解二分法的概念，掌握运用二分法求简单方程近似解的方法，从中体会函数的零点与方程根之间的联系及其在实际问题中的应用；能借助计算器用二分法求方程的近似解，让学生能够初步了解逼近思想；体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一；通过具体实例的探究，归纳概括所发现的结论或规律，体会从具体到一般的认知过程． 五、教学重点和难点 1．教学重点：用“二分法”求方程的近似解，使学生体会函数零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识． 2．教学难点：方程近似解所在初始区间的确定，恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解． 六、教学过程设计 （一）创设情境，提出问题 问题1：在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障．这是一条10km长的线路，如何迅速查出故障所在？ 如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多．每查一个点要爬一次电线杆子．10km长，大约有200多根电线杆子呢． 想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？ 以实际问题为背景，以学生感觉较简单的问题入手，激活学生的思维，形成学生再创造的欲望．注意学生解题过程中出现的问题，及时引导学生思考，从二分查找的角度解决问题． [学情预设] 学生独立思考，可能出现的以下解决方法： 思路1：直接一个个电线杆去寻找． 思路2：通过先找中点，缩小范围，再找剩下来一半的中点． 老师从思路2入手，引导学生解决问题： 如图，维修工人首先从中点C．查用随身带的话机向两个端点测试时，发现AC段正常，断定故障在BC段，再到BC段中点D，这次发现BD段正常，可见故障在CD段，再到CD中点E来查．每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，如此查下去，不用几次，就能把故障点锁定在一两根电线杆附近． 师：我们可以用一个动态过程来展示一下（展示多媒体课件）． 在一条线段上找某个特定点，可以通过取中点的方法逐步缩小特定点所在的范围（即二分法思想）． [设计意图] 从实际问题入手，利用计算机演示用二分法思想查找故障发生点，通过演示让学生初步体会二分法的算法思想与方法, 说明二分法原理源于现实生活，并在现实生活中广泛应用． （二）师生探究,构建新知 问题2：假设电话线故障点大概在函数
的零点位置，请同学们先猜想它的零点大概是什么？我们如何找出这个零点？ ? 1．利用函数性质或借助计算机、计算器画出函数图象，通过具体的函数图象帮助学生理解闭区间上的连续函数，如果两个端点的函数值是异号的，那么函数图象就一定与
轴相交，即方程
在区间内至少有一个解（即上节课的函数零点存在性定理，为下面的学习提供理论基础）．引导学生从“数”和“形”两个角度去体会函数零点的意义，掌握常见函数零点的求法，明确二分法的适用范围． 2．我们已经知道，函数
在区间（2，3）内有零点，且
＜0，
＞0.进一步的问题是，如何找出这个零点？ 合作探究：学生先按四人小组探究.（倡导学生积极交流、勇于探索的学习方式，有助于发挥学生学习的主动性） 生：如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值. 师：如何有效缩小根所在的区间？ 生1：通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围． 生2：是否也可以通过“取三等分点或四等分点”的方法逐步缩小零点所在的范围？ 师：很好，一个直观的想法是:如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，可以得到零点的近似值.其实“取中点”和“取三等分点或四等分点”都能实现缩小零点所在的范围.但是在同样可以实现缩小零点所在范围的前提下，“取中点”的方法比取“三等分点或四等分点”的方法更简便.因此，为了方便，下面通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围. 引导学生分析理解求区间
的中点的方法
． 合作探究：（学生2人一组互相配合，一人按计算器，一人记录过程．四人小组中的两组比较缩小零点所在范围的结果．） 步骤一：取区间(2，3)的中点2.5，用计算器算得
. 由
＞0，得知
，所以零点在区间(2.5，3)内。 ? 步骤二：取区间(2.5，3)的中点2.75，用计算器算得
.因为
，所以零点在区间(2.5，2.75)内.? 结论:由于(2，3)?
，所以零点所在的范围确实越来越小了. 如果重复上述步骤，在一定精确度下，我们可以在有限次重复上述步骤后，将所得的零点所在区间内的任一点作为函数零点的近似值．特别地，可以将区间端点作为函数零点的近似值． 引导学生利用计算器边操作边认识，通过小组合作探究，得出教科书上的表3—2，让学生有更多的时间来思考与体会二分法实质，培养学生合作学习的良好品质． [学情预设]学生通过上节课的学习知道这个函数的零点就是函数图象与x轴的交点的横坐标，故它的零点在区间（2，3）内．进一步利用函数图象通过“取中点”逐步缩小零点的范围，利用计算器通过将自变量改变步长减少很快得出表3—2，找出零点的大概位置． [设计意图]从问题1到问题2，体现了数学转化的思想方法，问题2有着承上启下的作用，使学生更深刻地理解二分法的思想，同时也突出了二分法的特点．通过问题2让学生掌握常见函数零点的求法，明确二分法的适用范围． 3.问题3：对于其他函数，如果存在零点是不是也可以用这种方法去求它的近似解呢？ 引导学生把上述方法推广到一般的函数，经历归纳方法的一般性过程之后得出二分法及用二分法求函数
的零点近似值的步骤． 对于在区间
，
上连续不断且满足
·

的函数
，通过不断地把函数
的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 注意引导学生分化二分法的定义（一是二分法的适用范围，即函数
在区间
，
上连续不断，二是用二分法求函数的零点近似值的步骤）． 给定精确度
，用二分法求函数
的零点近似值的步骤如下： 1、确定区间
，
，验证
·

，给定精确度
； 2、求区间
，
的中点
； 3、计算
： （1）若
=
，则
就是函数的零点； （2）若
·
<
，则令
=
（此时零点
）； （3）若
·
<
，则令
=
（此时零点
）； 4、判断是否达到精确度
： 即若
，则得到零点零点值
（或
）；否则重复步骤2—4． 利用二分法求方程近似解的过程，可以简约地用下图表示． [学情预设] 学生思考问题3举出二次函数外，对照步骤观察函数
的图象去体会二分法的思想．结合二次函数图象和标有
、
、
的数轴理解二分法的算法思想与计算原理． [设计意图]以问题研讨的形式替代教师的讲解，分化难点、解决重点，给学生“数学创造”的体验，有利与学生对知识的掌握，并强化对二分法原理的理解．学生在讨论、合作中解决问题，充分体会成功的愉悦．让学生归纳一般步骤有利于提高学生自主学习的能力，让学生尝试由特殊到一般的思维方法．利用二分法求方程近似解的过程，用图表示，既简约又直观，同时能让学生初步体会算法的思想． （三）例题剖析，巩固新知 例：借助计算器或计算机用二分法求方程
的近似解（精确度0.1）. 两人一组，一人用计算器求值，一人记录结果；学生讲解缩小区间的方法和过程，教师点评. 本例鼓励学生自行尝试，让学生体验解题遇阻时的困惑以及解决问题的快乐.此例让学生体会用二分法来求方程近似解的完整过程，进一步巩固二分法的思想方法. 思考： 问题（1）：用二分法只能求函数零点的“近似值”吗？ 问题（2）：是否所有的零点都可以用二分法来求其近似值？ 教师有针对性的提出问题，引导学生回答，学生讨论，交流. 反思二分法的特点，进一步明确二分法的适用范围以及优缺点，指出它只是求函数零点近似值的“一种”方法. [设计意图]及时巩固二分法的解题步骤,让学生体会二分法是求方程近似解的有效方法.解题过程中也起到了温故转化思想的作用． （四）尝试练习，检验成果 1、下列函数中能用二分法求零点的是（ ）. [设计意图]让学生明确二分法的适用范围. 2、用二分法求图象是连续不断的函数
在
∈(1,2)内零点近似值的过程中得到
,
,
,则函数的零点落在区间（ ）. (A)（1,1.25）??　(B)（1.25,1.5） (C)（1.5,2）　 (D) 不能确定 [设计意图]让学生进一步明确缩小零点所在范围的方法. 3．借助计算器或计算机，用二分法求方程
在区间（2，3）内的近似解（精确度0.1）. [设计意图] 进一步加深和巩固对用二分法求方程近似解的理解. （五）课堂小结，回顾反思 学生归纳，互相补充，老师总结： 1、理解二分法的定义和思想，用二分法可以求函数的零点近似值，但要保证该函数在零点所在的区间内是连续不断； 2、用二分法求方程的近似解的步骤. [设计意图]帮助学生梳理知识,形成完整的知识结构.同时让学生知道理解二分法定义是关键，掌握二分法解题的步骤是前提，实际应用是深化. （六）课外作业 1．[书面作业]第92页习题3.1A组3、4、5； 2．[知识链接]第91页阅读与思考“中外历史上的方程求解”． 3．[课外思考]:如果现在地处学校附近的地下自来水管某处破裂了,那么怎么找出这个破裂处,要不要把水泥板全部掀起? 板书设计 §3.1.2用二分法求方程的近似解 1．二分法的定义 2．用二分法求函数的零点近似值的步骤 3．用二分法求方程的近似解  七、教学反思 这节课既是一堂新课又是一堂探究课.整个教学过程,以问题为教学出发点, 以教师为主导，学生为主体，设计情境激发学生的学习动机，激励学生去取得成功，顺应合理的逻辑结构和认知结构，符合学生的认知规律和心理特点，重视思维训练，发挥学生的主体作用，注意数学思想方法的溶入渗透，满足学生渴望的奖励结构.整个教学设计中，特别注重以下几个方面： （1）重视学生的学习体验,突出他们的主体地位.训练了他们用从特殊到一般,再由一般到特殊的思维方式解决问题的能力.不断加强他们的转化类比思想. （2）注重将用二分法求方程的近似解的方法与现实生活中案例联系起来，让学生体会数学方法来源于现实生活，又可以解决生活中的问题. （3）注重学生参与知识的形成过程，动手、动口、动脑相结合，使他们“听”有所思，“学”有所获，增强学习数学的信心，体验学习数学的乐趣. （4）注重师生之间、同学之间互动，注重他们之间的相互协作，共同提高. 福建师大附中 周裕燕 点评： 本节课既是一堂新课又是一堂探究课.如何在数学课堂教学中体现新课程理念，本课例进行了有益的探索。整个教学设计过程,以问题为出发点,以教师为主导，学生为主体，设计的问题情境顺应合理的逻辑结构和认知结构，符合学生的认知规律和心理特点，有效地激发了学生的学习动机；重视思维训练，注意数学思想方法的溶入渗透。 本节课采用 “问题情境— 意义建构— 数学理论— 数学运用— 回顾反思” 的教学流程。周老师在课题引入时，以实际问题为背景，以学生感觉较简单的问题入手，“让学生找出电话线故障点，”有效地激发学生学习的欲望和探究的兴趣。采用探究教学方式，在师生共同探究的过程中，构建新的知识，既让学生了解数学概念和结论产生的过程，同时也培养了学生独立思考和勇于质疑的品质。此外，周老师在本课例的设计中，能很好地将现代信息技术与数学课程进行有机的整合，使“方法建构、技术运用、算法渗透”三者同步发展。 “用二分法求方程的近似解”是对函数知识的拓展，既体现了函数在解方程中的重要应用，同时又为高中数学中函数与方程思想、数形结合思想、二分法的算法思想打下了基础。周老师不仅注意到本节知识在这一章中的重要性，而且还注意将本节知识与现实生活中的案例联系起来，让学生体会数学方法来源于现实生活，又可以解决生活中的问题。 9、用二分法求方程的近似解 一、教学内容分析 本节选自《普通高中课程标准实验教科书 ·数学1》人教A版第三单元第一节第二课，主要是分析函数与方程的关系。教材分三步来进行：第一步，从学生认为较简单的一元二次方程与相应的二次函数入手，由具体到一般，建立一元二次方程的根与相应函数的零点的联系。然后推广为一般方程与相应函数的情形；第二步，在用二分法求方程近似解的过程中，通过函数图像和性质来研究方程的解，体现方程和函数的关系；第三步，在函数模型的应用过程中，通过函数模型以及模型的求解，更全面的体现函数与方程的关系，逐步建立起函数与方程的联系。 本节课是这一小节的第二节课，即用二分法求方程的近似解。它以上节课的“连续函数的零点存在定理”为确定方程解所在区间为依据，从求方程近似解这个侧面来体现“方程与函数的关系”；而且在“用二分法求函数零点的步骤”中渗透了算法的思想，为学生后续学习算法的内容埋下伏笔；充分体现新课程“渗透算学方法，关注数学文化以及重视信息技术应用”的理念。求方程近似解其中隐含“逼进”的数学思想，并且运用“二分法”来逼近目标是一种普通而有效的方法，其关键是逼近的依据。 二、学生学习情况分析 同学们有了第一节课的基础，对函数的零点具备基本的认识；而二分法来自生活，是由生活中抽象而来的，只要我们选材得当，能够激发学生的学习兴趣，达到渗透数学思想关注数学文化的目的，学生也能够很容易理解这种方法。其中运用“二分法”进行区间缩小的依据、总结出“运用二分法求方程的近似解”的步骤、将“二分法”运用到生活实际，是需要学生“跳跳”才能摘到的“桃子”。 三、设计理念 本节课倡导积极主动、勇于探索的学习方式，应用从生活实际——理论——实际应用的过程，应用数形结合、图表、信息技术，采用教师引导——学生探索相结合的教学方法，注重提高学生数学的提出问题、分析问题和解决问题的能力，让学生经历直观感知、观察发现、抽象与概括、符号表示、运算求解、数据处理、反思与建构等思维过程。 四、教学目标 1、理解二分法的概念，掌握运用二分法求简单方程近似解的方法；利用信息技术辅助教学，让学生用计算器自己验证求方程近似值的过程； 2、体会二分法的思想和方法，使学生意识到二分法是求方程近似解的一种方法；让学生能够了解近似逼近思想，培养学生能够探究问题的能力和创新能力，以及严谨的科学态度； 3、体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法；感受正面解决问题困难时，通过迂回的方法得到解决的快乐。 五、教学重点与难点 教学重点是能够借用计算器，用二分法求相应方程的近似解。根所在区间的确定及逼近的思想；难点是对二分法的理论支撑的理解，区间长度的缩小。 六、教学过程设计 1．教学基本流程图 2．教学情景设计 教学过程 教学设计 学情预设 设计意图 知识链接  创设情景 1、大家都看过李咏主持的<幸运52>吧,今天咱也试一回(出示游戏)。 2、竞猜中，“高了”、“低了”的含义是什么？如何确定价格的最可能的范围？ 3、如何才能更快的猜中商品的预定价格？ 4、“二分” 的思路是什么？ 1、教师从学生熟悉的电视节目，引导学生体会、分析、归纳迅速猜价的方法。 2、学生能够主动参与游戏，并且参与游戏的同学可以比较并总结经验。学生会有很多种方案出来。3、对于“问题2”学生能够顺利的得出“主持人的“高了，低了”的回答是判断价格所在区间的依据”这个结论。 4、此时教师通过“问题3”引导学生进行比较哪种方法更快更好。从中学生可以得到用二分法解决问题的思路——二分指的是将解所在区间平均地分为两个区间。 [设计意图：1、利用视屏与游戏的形式，学生会踊跃参与；商品价格竞猜也是学生熟悉的，竞猜的方法会很多样，可以进行竞赛； 2、通过问题2，启发学生寻找确定区间的依据，为后面探索“用二分法求方程近似解”的时候埋下伏笔； 3、通过游戏，让学生经历游戏过程，感受数学来自生活，激发学生的学习兴趣；引导学生善于发现身边的数学，培养学生的归纳演绎的能力；学会将实际情景转化为数学模型。4、通过比较不同的方法得出最快的竞猜的方法——二分法；]  组织探究 1、上节课我们学了什么定理，它的作用是什么？还有什么问题没有解决？ 2、已知函数
在区间（2，3）内存在一个零点；如何求出方程
在区间（2，3）的近似解（精确度为0.01）？与刚才的游戏是否有类似之处？ 3、精确度的含义是什么？怎样的区间才算满足设定的精确度？ 4、区间（2，3）的精确度为多少？ 5、如何将零点所在的范围缩小（即如何将精确度缩小）？缩小的依据是什么？ 6、如何利用今天“猜价格”——“二分法”的逼近思想来将缩小区间？ 7、近似解是多少？ 1、教师通过“问题1”对上节课的内容进行复习引入，点出今天的课题。并且有前面游戏作为伏笔，学生能够得出“连续函数零点存在定理”是判断方程的根所在区间的依据。2、通过“问题2”应用具体的题目引导学生进行思考。学生通过引导将方程的解与商品的价格联系到一起，运用刚才的游戏的经验，得到缩小区间的想法。 3、学生对精确度的概念可能有所遗忘。教师可以借助数轴解释说明精确度的含义，引导学生思考什么时候停止操作。 4、教师通过“问题4～6”引导学生将“二分法”与“零点存在定理”相结合得到正确的新的零点所在的区间。并确定结束的时间。 5、学生按照游戏的方法也就是按照“二分法”的思路，不断缩小零点存在的区间，进行具体操作，填出（附录1）中的表格。表格刚开始的前几行学生可能会比较慢，也有可能会出错；通过多次的重复以及经验的总结，后面的表格可以正确的、快速的回答出来；使得最后的“应用二分法求函数的零点”的方法的总结更加顺利。 6、对于“问题7”学生比较不容易得到比较简洁的结论。教师可以进行解释说明：“由于整个区间内的数均满足精确度的条件，因此区间内的所有数均可以作为近似解，但，区间端点a，b是已知的值，所以可以取a或b作为近似解。”，最后得到方程的近似解（附录1的表格后面的内容）。 [设计意图：1、开门见山，延续上一节课的内容继续深入的研究，使得知识有一个连接让学生能够很容易的将知识建构到旧的知识体系中。 2、运用问题1，将学生的思路与前面已解决的问题联系起来，引导学生层层深入，抽丝拨茧，学习如何分析问题、如何利用新的知识解决问题；培养分析问题、解决问题的能力，以及运用知识、驾驭知识的能力。 3、师生的互动有利于一边引导一边总结。将二分法应用于解决实际问题，即将新的知识应用于解决新的问题。培养学生实际应用的能力，解决问题的严谨性，总结知识的逻辑性。使得最后方法的总结能够顺利进行。 4、有了前面的商品的竞猜过程的经历，学生比较容易入手，分析比较容易到位，从而降低思维的难度。 知识连接：1、函数零点存在定理 如果函数
在区间
上图像是连续不断的一条曲线，并且有
，那么，函数
在区间内有零点，即存在
，使得
，这个c也就是方程
的根。 2、精确度是对同一个量的不同近似数的精确程度的度量。一般是：一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。]  归纳总结 我们刚才得求解过程中有哪些过程是一直重复出现的？ 2、我们取其一段，大家看如何用数学语言来描述？3、点明求方程的近似解的“二分法”：对于在区间（a，b）上连续不断、且f（a）·f（b）<0的函数y＝f（x），通过不断的把方程的解所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近近似解，进而得到近似解的方法叫二分法． 4、进一步提出问题：运用二分法求方程的近似解的步骤是什么？ 5、运用二分法的前提是什么（游戏的开始时要先做什么工作）？引例条件的内涵是什么？ 6、二分法的实质是什么？它有什么作用? 学生经过老师 “问题1～2” 的提示与引导，可以得到“取区间的中点，计算函数值，比较符号，确定新的区间”这样的相同的过程。 学生根据“二分法”的定义进行归纳总结：运用二分法求方程的近似解的步骤（附录2）。其中步骤① “画图或利用函数值的正负，确定初始区间(a,b)，验证f(a)f(b)<0”；学生很有可能会有遗漏。此时可以提出“问题5”引导学生回忆、思考，从而得到运用二分法的前提——即步骤①。 对于“问题六”较好的学生才能回答出来。 [设计意图：1、不断的引导，将刚才的解题过程经过“自然语言——数学语言——去其糟粕取其精华——具体步骤”的过程，帮助学生学会归纳总结的方法。 2、课间的及时总结有利于学生对当前所学的内容进行升华，了解自己掌握了什么知识，在后面的作题中可以有法可依，可以提高解题的正确率，增强自信。 3、问题六的设计是将学生的思维得到升华，不再停留在技能这一个层次，而是上升为数学思想方法的层次。 知识链接：1、运用二分法的前提是要先判断根在某个所在的区间。 2、二分法实际上是一种通过缩小区间长度寻找解的一种方法．]  巩固提高 1．练习：（1）（2）题为例题仿照题，由同桌协助完成.（3）（4）考察二分法的含义,由同学独立完成,可以寻求帮助.（附录4） 2．思考：两道题均为实际应用题,为学有余力的同学提高能力。（附录4） 3． 课后作业：习题3.1A组3、4；B组1、2。 练习1.（1）（2）经过同桌两位同学合作可以顺利完成。（3）（4）独立完成如果有困难的同学在同伴或老师的帮助下可以完成。 练习2实际应用：学有余力的同学与同伴合作探讨，也可以解决。 [设计意图：1、不同层次的题目，层层递进，不断提高学生的能力。不仅巩固新学的知识，而且让不同层次的学生得到不同的收获； 2、培养合作、互助精神； 3、培养学生应用与创新的能力，利用二分法的逼近思想解决实际问题。]  归纳总结 请同学们回顾一下本节课的教学过程，你觉得你已经掌握了哪些知识？ 教师通过点名提问，学生借助教师的帮助对整节课进行最后的归纳总结,得到以下两点（1）二分法是一种求一元方程近似解的通法。（2）利用二分法来解一元方程近似解的操作步骤（附录3）。 [设计意图：学生的归纳总结的能力不强需要不断的培养；课后的总结有利于学生对整节课的内容进行升华，了解自己掌握了什么知识，养成良好的学习习惯，建立自信心。]  教学反思 1.本节课有两条线，明线：“从生活实际、从学生熟知的现实生活、从学生喜爱的游戏——“竞猜商品的价格”入手，引导学生进入深层的思考——如何才能更快更好的赢得游戏？与学生一道进行新知识的探索过程——二分法的得来；再将二分法充分的运用在函数零点的求解上；最后将二分法求解函数零点的过程程序化”；暗线：“生活实际（特殊）——二分法的理论（一般）——二分法的应用（特殊），”。让学生经历知识的形成与应用过程，培养发现问题、提出问题、解决问题的能力，体现数学的基础性、时代性、典型性和可接受性，体会数学来自生活，应用于生活的最高境界，感受数学之美。2. 引入课题的方式，（1）从生活中常见现象——“商品价格的竞猜”引入；（2）开门见山——“继续前面的研究”引入。 （附录1）解：设
，先取区间的中点，再计算中点的函数值，接着应用“零点存在定理”确定零点所在的区间，从而缩小精确度，得到下表： 区 间 中点 中点函数值 精确度  2 3 2.5 -0.083709268 1  2.5 3 2.75 0.511600912 0.5  2.5 2.75 2.625 0.215080896 0.25  2.5 2.625 2.5625 0.065983344 0.125  2.5 2.5625 2.53125 -0.008786748 0.0625  2.53125 2.5625 2.546875 0.028617117 0.03125  2.53125 2.546875 2.5390625 0.009919918 0.015625  2.53125 2.5390625 2.53515625 0.000567772 0.007813  2.53125 2.53515625 2.533203125 -0.004109191 0.003906  2.533203125 2.53515625 2.534179688 -0.001770635 0.001953  2.534179688 2.53515625 2.534667969 -0.000601413 0.000977  2.534667969 2.53515625 2.534912109 -1.68157E-05 0.000488  所以，当精确度为0.01时，由于|2.539 062 5-2.531 25|=0.0078125<0.01，因此我们可以将x=2.25作为函数
零点的近似值，也即方程
根的近似值。 （附录2）二分法求解方程 f(x)=0[或g(x)= h(x)]近似解的基本步骤： ① 画图或利用函数值的正负，确定初始区间(a,b)，验证f(a)f(b)<0； ② 求区间(a,b)的中点
； ③ 计算f(x1)：若f(x1)=0，则x1就是函数f(x)的零点，x1就是f(x)=0的根，计算终止； 若f(a) f(x1)
0，则选择区间（a, x1）； 若f(a) f(x1)
0，则选择区间（x1，b）； ④ 循环操作②、③，直到当区间的精确度达到事先指定的精确度
（若是要求精确到
两端点精确到同一个近似值时才终止计算）。 （附录3）二分法的过程如下图： （附录4） 1．练习：（1）应用计算器，求方程x3+3x-1=0的一个正的近似解。 （2）应用计算器，求方程
的近似解。 （3）用二分法判断方程
的根的个数（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 （4）方程
的根的情况 ( ) A.仅有一根 B.有一正根一负根 C.有两负根 D.无实根 2．思考：(1)从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接点，现在某接点发生故障，需及时修理，为了尽快断定故障发生点，一般至少需要检查接点的个数为几个？ (2)一天，我们泉州七中校区与现代中学（分校）校区的电缆线路出了故障，（相距大约10km）电工是怎样检测的呢？ 3． 课后作业：习题3.1A组3、4；B组1、2。 泉州七中冯红果 点评： 一个有经验的的教师，应该对挖掘课本知识是非常重视的，挖掘课本知识的根本目的在于让学生学会探索性学习，培养学生的探索能力和创新精神。冯老师本节的教学设计，能够从知识结构、学生的认知结构展开，充分挖掘和体现了本课内容所蕴含的知识技能、思想方法、数学应用、数学文化的教育价值及学习研究解决问题的策略，立足“方程与函数的关系”，渗透了“算法”和“逼进”的数学思想，程序化的解决问题的策略。从生活游戏“猜价格”引入贴切，通过游戏直观感受二分法的思想，开门见山，延续上一节课的内容继续深入的研究，将本节的知识建构在旧知识的体系中。设计中不管是情境的创设，还是教师的引导和数学活动的设置，都能从学生的实际出发，让学生经历了直观感知、观察发现、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、反思建构等思维的全过程。在设计中还注意到数学的应用意识，思考题中把“二分法”应用到电缆线故障点的检修，提升了数学方法的重要性和普遍性，体现了数学与生活的联系。 纵观本节的整体设计，内容安排简洁精致有层次，教法选择合理丰富有重点，过程设计紧凑有序可操作。

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