简 易 逻 辑
1．理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；理解四种命题及其相互关系；掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义．
2．学会运用数形结合、分类讨论的思想方法分析和解决有关集合问题，形成良好的思维品质；学会判断和推理，解决简易逻辑问题，培养逻辑思维能力．
1．简易逻辑是一个新增内容，据其内容的特点，在高考中应一般在选择题、填空题中出现，如果在解答题中出现，则只会是中低档题．
2．集合、简易逻辑知识，作为一种数学工具，在函数、方程、不等式、排列组合及曲线与方程等方面都有广泛的运用，高考题中常以上面内容为载体，以集合的语言为表现形式，结合简易逻辑知识考查学生的数学思想、数学方法和数学能力，题型常以解答题的形式出现．
第1课时 逻辑联结词和四种命题
一、逻辑联结词
1． 可以 的语句叫做命题．命题由 两部分构成；
命题有 之分；数学中的定义、公理、定理等都是 命题．
2．逻辑联结词有 ，不含 的命题是简单命题．
由 的命题是复合命题．复合命题的构成形式有三种： ，(其中p，q都是简单命题)．
3．判断复合命题的真假的方法—真值表：“非p”形式的复合命题真假与p的 当p与q都真时，p且q形式的复合命题 ，其他情形 ；当p与q都 时，“p或q”复合形式的命题为假，其他情形 ．
二、四种命题
1．四种命题：原命题：若p则q；逆命题： 、否命题： 逆否命题： .
2．四种命题的关系：原命题为真，它的逆命题 、否命题 、逆否命题 ．原命题与它的逆否命题同 、否命题与逆命题同 ．
3．反证法：欲证“若p则q”为真命题，从否定其 出发，经过正确的逻辑推理导出矛盾，从而判定原命题为真，这样的方法称为反证法．
例1. 下列各组命题中，满足“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为真的是 （ ）
A．p:0＝；q:0∈
B．p：在ABC中，若cos2A＝cos2B，则A＝B； y＝sinx在第一象限是增函数
C．；不等式的解集为
D．p：圆的面积被直线平分；q：椭圆的一条准线方程是x＝4
解：由已知条件，知命题p假且命题q真.选项(A)中命题p、q均假，排除；选项(B)中，
命题p真而命题q假，排除；选项(D)中，命题p和命题q都为真，排除；故选(C)．
变式训练1：如果命题“p或q”是真命题，“p且q”是假命题.那么（ ）
A．命题p和命题q都是假命题
B．命题p和命题q都是真命题
C．命题p和命题“非q”真值不同
D．命题q和命题p的真值不同
解： D
例2. 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假:
(1) 若q<1，则方程x2＋2x＋q＝0有实根；
(2) 若ab＝0，则a＝0或b＝0；
(3) 若x2＋y2＝0，则x、y全为零.
解：(1)逆命题：若方程x2＋2x＋q＝0有实根，则q＜1，为假命题．否命题：若q≥1，则方程x2＋2x＋q＝0无实根，为假命题．逆否命题：若方程x2＋2x＋q＝0无实根，则q≥1，为真命题．
(2)逆命题：若a＝0或b＝0，则ab＝0，为真命题．
否命题：若ab≠0，则a≠0且b≠0，为真命题．
逆否命题：若a≠0且b≠0，则ab≠0，为真命题．
(3)逆命题：若x、y全为零，则x2＋y2＝0，为真命题．
否命题：若x2＋y2≠0，则x、y不全为零，为真命题．
逆否命题：若x、y不全为零，则x2＋y2≠0，为真命题．
变式训练2：写出下列命题的否命题，并判断原命题及否命题的真假：
（1）如果一个三角形的三条边都相等，那么这个三角形的三个角都相等；
（2）矩形的对角线互相平分且相等；
（3）相似三角形一定是全等三角形.
解：（1）否命题是：“如果一个三角形的三条边不都相等，那么这个三角形的三个角也不都相等”.
原命题为真命题，否命题也为真命题.
（2）否命题是：“如果四边形不是矩形，那么对角线不互相平分或不相等”
原命题是真命题，否命题是假命题.
（3）否命题是：“不相似的三角形一定不是全等三角形”.
原命题是假命题，否命题是真命题.
例3. 已知p：有两个不等的负根，q：无实根．若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围．
分析：由p或q为真，知p、q必有其一为真，由p且q为假，知p、q必有一个为假，所以，“p假且q真”或“p真且q假”.可先求出命题p及命题q为真的条件，再分类讨论．
解：p：有两个不等的负根．
q：无实根．
因为p或q为真，p且q为假，所以p与q的真值相反．
(ⅰ) 当p真且q假时，有；
(ⅱ) 当p假且q真时，有．
综合，得的取值范围是{或}．
变式训练3：已知a>0,设命题p:函数y=ax在R上单调递减，q：不等式x+|x-2a|>1的解集为R,若p和q中有且只有一个命题为真命题，求a的取值范围.
解 ： 由函数y=ax在R上单调递减知01的解集为R，只要ymin>1即可，而函数y在R上的最小值为2a，所以2a>1，即a>即q真a>若p真q假,则00,且<0,
∴方程ax2+bx+c=0有两个相异实根，且两根异号，即方程有一正根和一负根.
必要性：若一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根，则=b2-4ac>0,x1x2=<0,∴ac<0.
综上所述，一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
例3. 已知p： |1－|≤2，q：:x2－2x+1－m2≤0(m>0)，若是的必要而不充分条件，求实数m的取值范围.
解： 由题意知：命题：若┒p是┑q的必要而不充分条件的等价命题即逆否命题为：p是q的充分不必要条件.
p: |1－|≤2－2≤－1≤2－1≤≤3－2≤x≤10
q: x2－2x+1－m2≤0［x－(1－m)］［x－(1+m)］≤0*
∵p是q的充分不必要条件，
∴不等式|1－|≤2的解集是x2－2x＋1－m2≤0(m>0)解集的子集.
又∵m>0，∴不等式*的解集为1－m≤x≤1＋m
∴，∴m≥9，
∴实数m的取值范围是［9，+∞
变式训练3：已知集合和集合，求a的一个取值范围，使它成为的一个必要不充分条件.
解：，
由
所以是必要但不充分条件. 说明：此题答案不唯一.
例4. “函数y＝(a2＋4a－5)x2－4(a－1)x＋3的图象全在x轴的上方”，这个结论成立的充分必要条件是什么？
解：函数的图象全在轴上方，若是一次函数，则
若函数是二次函数，则：
反之若，由以上推导，函数的图象在轴上方，综上，充要条件是．
变式训练4：已知P＝{x | |x－1| | >2}，S＝{x | x2＋，的充要条件是，求实数的取值范围．
分析：的充要条件是，即任取，反过来，任取
据此可求得的值．
解：的充要条件是
∵P＝{x || x－1|＞2}}＝
S＝{x | x2＋(a＋1)x＋a＞0)}＝{x | (x＋a)(x＋1)＞0}
1．处理充分、必要条件问题时，首先要分清条件与结论，然后才能进行推理和判断．不仅要深刻理解充分、必要条件的概念，而且要熟知问题中所涉及到的知识点和有关概念．
2．确定条件为不充分或不必要的条件时，常用构造反例的方法来说明．
3．等价变换是判断充分、必要条件的重要手段之一，特别是对于否定的命题，常通过它的等价命题，即逆否命题来考查条件与结论间的充分、必要关系．
4．对于充要条件的证明题，既要证明充分性，又要证明必要性，从命题角度出发，证原命题为真，逆命题也为真；求结论成立的充要条件可以从结论等价变形（换）而得到，也可以从结论推导必要条件，再说明具有充分性．
5．对一个命题而言，使结论成立的充分条件可能不止一个，必要条件也可能不止一个．
简易逻辑章节测试题
一、选择题
1．设集合的 （ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
2.已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，那么p是q的 （ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.（2009·合肥模拟）已知条件p：（x+1）2>4，条件q:x>a,且的充分而不必要条件，则a的取值范围是 （ ）
A.a≥1 B.a≤1 C.a≥-3 D.a≤-3
4.“a=2”是“直线ax+2y=0平行于直线x+y=1”的 ( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
5.设集合M={x|x>2}，P={x|x<3},那么“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的 （ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.在下列电路图中，表示开关A闭合是灯泡B亮的必要但不充分条件的线路图是 （ ）
7.(2008·浙江理，3)已知a,b都是实数，那么“a2>b2”是“a>b”的 （ ）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
8.（2008·北京海淀模拟）若集合A={1，m2}，集合B={2，4}，则“m=2”是“A∩B={4}”的 （ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
9.若数列{an}满足=p（p为正常数，n∈N*），则称{an}为“等方比数列”.
甲：数列{an}是等方比数列；乙：数列{an}是等比数列，则 ( ）
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
10.命题p:若a、b R,则|a|+|b|>1是|a+b|>1的充分而不必要条件.命题q:函数y=的定义域是，则 （ ）
A．“p或q”为假 B．“p且q”为真
C．p真q假 D．p假q真
二、填空题
11．已知数列，那么“对任意的n∈N*，点都在直线上”是“为等差数列”的 条件．
12.设集合A={5,log2（a+3）}，集合B={a，b}，若A∩B={2}，则A∪B= .
13.已知条件p：|x+1|>2,条件q:5x-6>x2，则非p是非q的 条件.
14.不等式|x|0”的充分条件？如果存在，求出p的取值范围；
（2）是否存在实数p，使“4x+p<0”是“x2-x-2>0”的必要条件？如果存在，求出p的取值范围.
20．已知，设函数在R上单调递减，：不等式的解集为R，如果和有且仅有一个正确，求c的取值范围．
简易逻辑章节测试题答案
1．B
2.A
3.A
4.C
5.B
6.B
7. D
8.A
9.B
10. D
11．充分而不必要条件
12.{1，2，5}
13.充分不必要
14.a≥1
15.若①③则②（或若①②则④或若①③则④）
16．解 设A={x|(4x-3)2≤1},B={x|x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0},
易知A={x|≤x≤1},B={x|a≤x≤a+1}.
由p是q的必要不充分条件，从而p是q的充分不必要条件，即AB，∴
故所求实数a的取值范围是［0，］.
17．解方法一 若a=0，则方程变为-x+1=0,x=1满足条件，若a≠0，则方程至少有一个正根等价于
或
或-10.
综上：方程至少有一正根的充要条件是a>-1.
方法二 若a=0，则方程即为-x+1=0,
∴x=1满足条件；
若a≠0，∵Δ=(a2+a+1)2-4a(a+1)=(a2+a)2+2(a2+a)+1-4a(a+1)
=(a2+a)2-2a(a+1)+1=(a2+a-1)2≥0，∴方程一定有两个实根.
故而当方程没有正根时，应有解得a≤-1,
∴至少有一正根时应满足a>-1且a≠0,综上：方程有一正根的充要条件是a>-1.
18．解 设A={x|p}={x|x2-4ax+3a2<0,a<0}={x|3a0}={x|x2-x-6≤0}∪{x|x2+2x-8>0}
={x|-2≤x≤3}∪{x|x<-4或x>2}=
方法一 ∵的必要不充分条件,∴.
则而RB==RA=
∴
则综上可得-
方法二 由p是q的必要不充分条件，
∴p是q的充分不必要条件，
∴AB，∴a≤-4或3a≥-2,又∵a<0, ∴a≤-4或-≤a<0.
19．解（1）当x>2或x<-1时，x2-x-2>0,由4x+p<0,得x<-故-≤-1时，
“x<-”“x<-1”“x2-x-2>0”. ∴p≥4时，“4x+p<0”是“x2-x-2>0”的充分条件.
（2）不存在实数p满足题设要求.
20．解：函数在R上单调递减
不等式的解集为函数
，在R上恒大于1
函数在上的最小值为
不等式的解集为R
，如果p正确，且q不正确
则，如果p不正确，且q正确，则，所以c的取值范围为．
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