空间向量
1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘．
2．了解空间向量的基本定理；理解空间向量坐标的概念；掌握空间向量的坐标运算．
3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两点间的距离公式．
理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；掌握空间向量的数量积的坐标形式；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直.
第1课时 空间向量及其运算
空间向量是平面向量的推广．在空间，任意两个向量都可以通过平移转化为平面向量．因此，空间向量的加减、数乘向量运算也是平面向量对应运算的推广．
本节知识点是：
1．空间向量的概念，空间向量的加法、减法、数乘运算和数量积；
(1) 向量：具有 和 的量．
(2) 向量相等：方向 且长度 ．
(3) 向量加法法则： ．
(4) 向量减法法则： ．
(5) 数乘向量法则： ．
2．线性运算律
(1) 加法交换律：a＋b＝ ．
(2) 加法结合律：(a＋b)＋c＝ ．
(3) 数乘分配律：(a＋b)＝ ．
3．共线向量
(1)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相 或 ．
(2) 共线向量定理：对空间任意两个向量a、b(b0)，a∥b等价于存在实数，使 ．
(3) 直线的向量参数方程：设直线l过定点A且平行于非零向量a，则对于空间中任意一点O，点P在l上等价于存在，使 ．
4．共面向量
(1) 共面向量：平行于 的向量．
(2) 共面向量定理：两个向量a、b不共线，则向量P与向量a、b共面的充要条件是存在实数对()，使P ．
共面向量定理的推论： ．
5．空间向量基本定理
(1) 空间向量的基底： 的三个向量．
(2) 空间向量基本定理：如果a，b，c三个向量不共面，那么对空间中任意一个向量p，存在一个唯一的有序实数组，使 ．
空间向量基本定理的推论：设O，A，B，C是不共面的的四点，则对空间中任意一点P，都存在唯一的有序实数组，使 ．
6．空间向量的数量积
(1) 空间向量的夹角： ．
(2) 空间向量的长度或模： ．
(3) 空间向量的数量积：已知空间中任意两个向量a、b，则a·b＝ ．
空间向量的数量积的常用结论：
(a) cos〈a、b〉＝ ；
(b) (a(2＝ ；
(c) ab ．
(4) 空间向量的数量积的运算律：
(a) 交换律a·b＝ ；
(b) 分配律a·(b＋c)＝ ．
例1．已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，点F是侧面CDD1C1的中心，若，求x－y的值.
解：易求得
变式训练1. 在平行六面体中，M为AC与BD的交点，若a，b，c，则下列向量中与相等的向量是 ( )
A．(a＋b＋c B．a＋b＋c
C．a(b＋c D．(a(b＋c
解：A
例2. 底面为正三角形的斜棱柱ABC－A1B1C1中，D为AC的中点，
求证：AB1∥平面C1BD.
证明：记则∴,∴共面.
∵B1平面C1BD, AB1//平面C1BD.
变式训练2：正方体ABCD－EFGH中，M、N分别是对角线AC和BE上的点，且AM＝EN．
(1) 求证：MN∥平面FC；
(2) 求证：MN⊥AB；
(3) 当MA为何值时，MN取最小值，最小值是多少？
解：(1) 设
(2)
(3) 设正方体的边长为a,
也即，
例3. 已知四面体ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD， G、H分别是△ABC和△ACD的重心．
求证：(1) AD⊥BC； (2) GH∥BD．
证明：(1) AD⊥BC．因为ABCD，，而．
所以AD⊥BC．
(2) 设E、F各为BC和CD的中点．欲证GH∥BD，只需证GH∥EF，＝()＝．
变式训练3：已知平行六面体，E、F、G、H分别为棱的中点．求证：E、F、G、H四点共面．
解：＝
＝＝＝，
所以共面，即点E、F、G、H共面．
例4. 如图，平行六面体AC1中，AE＝3EA1，AF＝FD，AG＝，过E、F、G的平面与对角线AC1交于点P，求AP:PC1的值．
解：设
∴
又∵E、F、G、P四点共面，∴
∴ ∴AP︰PC1＝3︰16
变式训练4：已知空间四边形OABC中，M为BC的中点，N为AC的中点，P为OA的中点，Q为OB的中点，若AB＝OC，求证．
证明：法一：
故
法二：·＝(＋)·(＋)
＝·
＝＝0
1．立体几何中有关垂直和平行的一些命题，可通过向量运算来证明．对于垂直，一般是利用a⊥ba·b＝0进行证明．对于平行，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明．
2．运用向量求解距离问题，其一般方法是找出代表相应距离的线段所对向量，然后计算这个向量对应的模．而计算过程中只要运用好加法法则，就总能利用一个一个的向量三角形，将所求向量用有模和夹角的已知向量表示出来，从而求得结果．
3．利用向量求夹角(线线夹角、线面夹角、面面夹角)有时也很方便．其一般方法是将所求的角转化为求两个向量的夹角，而求两个向量的夹角则可以利用公式cosθ＝．
4．异面直线间的距离的向量求法：已知异面直线l1、l2，AB为其公垂线段，C、D分别为l1、l2上的任意一点，为与共线的向量，则｜｜＝.
5．设平面α的一个法向量为，点P是平面α外一点，且Po∈α，则点P到平面α的距离是d＝.
第2课时 空间向量的坐标运算
设a＝，b＝
(1) a±b＝
(2) a＝ ．
(3) a·b＝ ．
(4) a∥b ；ab ．
(5) 设
则＝ ， ．
AB的中点M的坐标为 ．
例1. 若＝(1,5,－1)，＝(－2,3,5)
（1）若(k+)∥(－3)，求实数k的值；
（2）若(k+)⊥(－3)，求实数k的值；
（3）若取得最小值，求实数k的值．
解：(1)；
(2)； (3)
变式训练1. 已知为原点，向量∥，求．
解：设，
∵∥，∴，，
∴，即
解此方程组，得。
∴，。
例2. 如图，直三棱柱，底面中，CA＝CB＝1，，棱，M、N分别A1B1、A1A是的中点．
(1) 求BM的长；
(2) 求的值；
(3) 求证：．
解：以C为原点建立空间直角坐标系.
(1) 依题意得B（0，1，0），M（1，0，1）．.
(2) 依题意得A1（1，0，2），B（0，1，0），C（0，0，0），B1（0，1，2）.
.
(3) 证明：依题意得C1（0，0，2），N.
变式训练2. 在四棱锥P－ABCD中， 底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB＝，BC＝1，PA＝2，E为PD的中点．
(1) 在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，并求出N点到AB和AP的距离；
(2) 求(1) 中的点N到平面PAC的距离．
解：(1) 建立空间直角坐标系A－BDP，则A、B、C、D、P、E的坐标分别是A(0, 0, 0)、B(, 0, 0)、C(, 1, 0)、D(0, 1, 0)、P(0, 0, 2)、E(0, , 1)，依题设N(x, 0, z)，则＝(－x, , 1－z)，由于NE⊥平面PAC，
∴
即
，即点N的坐标为(, 0, 1)，
从而N到AB、AP的距离分别为1，.
(2) 设N到平面PAC的距离为d，则d＝
＝.
例3. 如图，在底面是棱形的四棱锥中，，点E在上，且:＝2:1．
(1) 证明 平面；
(2) 求以AC为棱，与为面的二面角的大小；
(3) 在棱PC上是否存在一点F，使∥平面？证明你的结论．
解：（1）证明略；
（2）易解得；
（3）解 以A为坐标原点，直线分别为y轴、z轴，过A点垂直于平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系（如图）．由题设条件，相关各点的坐标为
所以，，
，设点F是棱上的点，，其中，则．令得
解得，即时，．亦即，F是PC的中点时，共面，又平面，所以当F是PC的中点时，∥平面．
例4. 如图，多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEFG所截而得，其中AB＝4，BC＝1，BE＝3，CF＝4.
(1) 求和点G的坐标；
(2) 求GE与平面ABCD所成的角；
(3) 求点C到截面AEFG的距离．
解：(1) 由图可知：A(1，0，0)，B(1，4，0)，
E(1，4，3)，F(0，4，4) ∴
又∵，设G(0，0，z)，则(－1，0，z)
＝(－1，0，1) ∴z＝1 ∴G(0，0，1)
(2)平面ABCD的法向量
，设GE与平面ABCD成角为，则
∴
(3)设⊥面AEFG，＝(x0，y0，z0)
∵⊥，⊥，而＝(－1，0，1)，＝(0，4，3)
∴
取z0＝4，则＝(4，－3，4)
∵
即点C到截面AEFG的距离为．
变式训练4. 如图四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PG⊥平面ABCD，垂足为G，G在AD上，且PG＝4，，BG⊥GC，GB＝GC＝2，E是BC的中点．
(1)求异面直线GE与PC所成的角的余弦值；
(2)求点D到平面PBG的距离；
(3)若F点是棱PC上一点，且DF⊥GC，求的值．
解：(1)以G点为原点，为x轴、y轴、
z轴建立空间直角坐标系，则B(2，0，0)，C(0，2，0)，
P(0，0，4)，故E(1，1，0)，＝(1，1，0)， ＝(0，2，4)。，
∴GE与PC所成的余弦值为．
(2)平面PBG的单位法向量n＝(0，±1，0) .
∵，
∴点D到平面PBG的距离为n |＝.
(3)设F(0，y，z)，则。
∵，∴，
即，
∴ , 又，即(0，，z－4)＝λ(0，2，－4)， ∴z=1，
故F(0，，1) ，，∴。
对于以下几类立体几何问题：(1) 共线与共面问题；(2) 平行与垂直问题；(3) 夹角问题；(4) 距离问题；(5) 探索性问题．
运用向量来解决它们有时会体现出一定的优势．用空间向量解题的关键步骤是把所求向量用某个合适的基底表示，本节主要是用单位正交基底表示，就是适当地建立起空间直角坐标系，把向量用坐标表示，然后进行向量与向量的坐标运算，最后通过向量在数量上的关系反映出向量的空间位置关系，从而使问题得到解决．在寻求向量间的数量关系时，一个基本的思路是列方程，解方程．
空间向量章节测试题
1．在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB=2，A A1=1，则点A到平面A1BC的距离为（ ）
A． B． C． D．
2．在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB=BB1,则AB1与C1B所成的角的大小为
A.60o B. 90o C.105o D. 75o
3．正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AA1与CC1的中点，则直线ED与D1F所成角的大小是 （ ）
A． B。 C。 D。
4． 设E，F是正方体AC1的棱AB和D1C1的中点，在正方体的12条面对角线中，与截面A1ECF成60°角的对角线的数目是 （ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
5．棱长都为2的直平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，∠BAD=60°，则对角线A1C与侧面DCC1D1所成角的正弦值为 （ ）
A． B． C． D．
6． 在棱长为2的正方体中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是、AD的中点，那么异面直线OE和所成的角的余弦值等于 （ ）
A． B． C． D．
7． 棱长为a的正四面体中，高为H，斜高为h，相对棱间的距离为d，则a、H、h、d的大小关系正确的是 （ ）
A．a>H>h>d B．a>d>h>H C．a>h>d>H D．a>h>H>d
8．将正方形ABCD沿对角线BD折起，使平面ABD⊥平面CBD，E是CD中点，则的大小为 （ ）
A. B. C. D.
9．三棱锥A—BCD的高AH = 3，H是底面△BCD的重心．若AB=AC，二面角A—BC—D为60°，G是△ABC的重心，则HG的长为 （ ）
A． B． C． D．
10．PA，PB，PC是从P引出的三条射线，每两条的夹角都是60o，则直线PC与平面PAB所成的角的余弦值为 （ ）
A． B。 C。 D。
11．已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为 。
12。如图，正方体的棱长为1，C、D分别是两条棱的中点， A、B、M是顶点，那么点M到截面ABCD的距离是 .
13．正四棱锥P-ABCD的所有棱长都相等，E为PC中点，则直线AC与截面BDE所成的角为 ．
14．已知边长为的正三角形ABC中，E、F分别为BC和AC的中点，PA⊥面ABC，且PA=2，设平面过PF且与AE平行，则AE与平面间的距离为 ．
15．如右下图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB= 4， AD =3， AA1= 2．E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB= FB=1．
（1）求二面角C-DE-C1的正切值；
（2）求直线EC1与FD1所成的余弦值．
16．如图，三棱锥P—ABC中， PC平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD平面PAB．
(I) 求证：AB平面PCB；
(II) 求异面直线AP与BC所成角的大小；
(III)求二面角C-PA-B的大小的余弦值．
17．如图所示，已知在矩形ABCD中，AB=1，BC=a（a>0），PA⊥平面AC，且PA=1．
（1）试建立适当的坐标系，并写出点P、B、D的坐标；
（2）问当实数a在什么范围时，BC边上能存在点Q，
使得PQ⊥QD？
（3）当BC边上有且仅有一个点Q使得PQ⊥QD时，
求二面角Q-PD-A的大小．
空间向量章节测试题答案
1．B。
2． B。
3． A。
4． C。提示：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系，并设正方体的棱长为1，则A1(1，0，0)，E(1，，0)，C(0，1，0)．设平面A1ECF的法向量为n=(x，y，z)，则由=0及=0，可得x=z=y，于是可取n=(1，，1)．
，，而且可计算得到这四个向量与向量n所成的角为30°，于是这四个向量与平面A1ECF所成的角为60°．而其它的面对角线所在的向量均不满足条件．
5 D。
6． C。
7． C。
8．A。
9． D。
10． D
11．。
12． 。
13．设AC与BD相交于点O，则与所成的角即∠EOC为所求．易得大小为45°．
14．
15．（1）如图，以A为原点，分别为x轴，y轴，z轴的正向建立空间直角坐标系A-xyz，则有D(0，3，0)、D1(0，3，2)、E(3，0，0)、F(4，1，0)、C1(4，3，2)．
于是，，
．
设向量与平面C1DE垂直，则有
．
∴其中z＞0．
取n0=(-1，-1，2)，则n0是一个与平面C1DE垂直的向量．
∵向量=（0，0，2）与平面CDE垂直，
∴n0与所成的角θ为二面角C-DE-C1的平面角．
∵，
∴．
（2）设EC1与FD1所成角为(，则
．
16． (1) ∵PC⊥平面ABC,平面ABC，
∴PCAB.∵CD平面PAB，平面PAB，
∴CDAB．又，∴AB平面PCB．
∴二面角C-PA-B的大小的余弦值为．
(2) 由(I) AB平面PCB，∵PC=AC=2，
又∵AB=BC，可求得BC=．以B为原点，
如图建立坐标系．则Ａ（０,,０），Ｂ（0,0,0）， C（,０,0），P（,０,2）．
=(,－,2)，=(,0,0)．
则=×+0+0=2．
=== ．
∴异面直线AP与BC所成的角为．
（3）设平面PAB的法向量为m= (x，y，z)．=(0, －,0),=(,－,2)，
则 即解得令z= -1,得 m= (，0，-1)．
设平面PAC的法向量为n=(x(, y(, z().＝(0,0,－2), =(,－,0)，
则 即解得 令x(=1, 得 n= (1，1，0)．
=. ∴二面角C-PA-B的大小的余弦值为．
17．（1）以A为坐标原点，AB、AD、AP分
别为x、y、z轴建立坐标系如图所示．
∵PA=AB=1，BC=a，
∴P（0，0，1），B（1，1，0），
D（0，a，0）．
（2）设点Q（1，x，0），则
．
由，得x2-ax+1=0．
显然当该方程有实数解时，BC边上才存在点Q，使得PQ⊥QD，故⊿=a2-4≥0．
因a>0，故a的取值范围为a≥0．
（3）易见，当a=2时，BC上仅有一点满足题意，此时x=1，即Q为BC的中点．
取AD的中点M，过M作MN⊥PD，垂足为N，连结QM、QN．则M（0，1，0），P（0，0，1），D（0，2，0）．
∵D、N、P三点共线，
∴．
又，且，
故．
于是．
故．
∵，
∴．
∴∠MNQ为所求二面角的平面角．
∵，
∴所求二面角为．
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