平面解析几何初步
1．掌握两条直线平行和垂直的条件，掌握两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系．
2．会用二元一次不等式表示平面区域．
3．了解简单的线性规划问题，了解线性规划的意义，并会简单的应用．
4．了解解析几何的基本思想，了解用坐标法研究几何问题的方法．
5．掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程的概念．
在近几年的高考试题中，两点间的距离公式、中点坐标公式、直线方程的点斜式、斜截式、一般式、斜率公式及两条直线的位置关系，圆的方程及直线与圆、圆与圆的位置关系是考查的热点.但由于知识的相互渗透，综合考查直线与圆锥曲线的关系一直是高考命题的大热门，应当引起特别注意，本章的线性规划内容是新教材中增加的新内容，近年来，在高考中经常考查，但基本上以中易题出现．考查的数学思想方法，主要是数形结合、分类讨论、方程的思想和待定系数法等．
第1课时 直线的方程
1．倾斜角:对于一条与x轴相交的直线,把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角α叫做直线的倾斜角．当直线和x轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为0°．倾斜角的范围为________．
斜率:当直线的倾斜角α≠90°时，该直线的斜率即k＝tanα；当直线的倾斜角等于90°时，直线的斜率不存在．
2．过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式 ．若x1＝x2，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°．
3．直线方程的五种形式
名称
方程
适用范围
斜截式
点斜式
两点式
截距式
一般式
例1. 已知直线(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1．① 当m＝ 时，直线的倾斜角为45°．②当m＝ 时，直线在x轴上的截距为1．③ 当m＝ 时，直线在y轴上的截距为－．④ 当m＝ 时，直线与x轴平行．⑤当m＝ 时，直线过原点．
解：(1) －1 ⑵ 2或－ ⑶ 或－2 ⑷－ ⑸
变式训练1.（1）直线3y＋x＋2=0的倾斜角是 （ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
（2）设直线的斜率k=2，P1（3，5），P2（x2，7），P（－1，y3)是直线上的三点，则x2，y3依次是 （ ）
A．－3，4 B．2，－3 C．4，－3 D．4，3
（3）直线l1与l2关于x轴对称，l1的斜率是－，则l2的斜率是 （ ）
A． B．－ C． D．－
（4）直线l经过两点（1，－2），（－3，4），则该直线的方程是 ．
解：（1）D．提示：直线的斜率即倾斜角的正切值是－．
（2）C．提示：用斜率计算公式．
（3）A．提示：两直线的斜率互为相反数．
（4）2y＋3x＋1=0．提示：用直线方程的两点式或点斜式.
例2. 已知三点A（1，-1），B（3，3），C（4，5）.
求证：A、B、C三点在同一条直线上.
证明 方法一 ∵A（1，-1），B（3，3），C（4，5），
∴kAB==2,kBC==2，∴kAB=kBC，
∴A、B、C三点共线.
方法二 ∵A（1，-1），B（3，3），C（4，5），
∴|AB|=2，|BC|=，|AC|=3，
∴|AB|+|BC|=|AC|，即A、B、C三点共线.
方法三 ∵A（1，-1），B（3，3），C（4，5），
∴=（2，4），=（1，2），∴=2.
又∵与有公共点B，∴A、B、C三点共线.
变式训练2. 设a，b，c是互不相等的三个实数，如果A（a，a3）、B（b，b3）、C（c，c3）在同一直线上，求证：a+b+c=0.
证明 ∵A、B、C三点共线，∴kAB=kAC，
∴，化简得a2+ab+b2=a2+ac+c2，
∴b2-c2+ab-ac=0，（b-c）（a+b+c）=0，
∵a、b、c互不相等，∴b-c≠0，∴a+b+c=0.
例3. 已知实数x,y满足y=x2-2x+2 (-1≤x≤1).
试求：的最大值与最小值.
解： 由的几何意义可知，它表示经过定点P（-2，-3）与曲线段AB上任一点（x,y)的直线的斜率k,如图可知：kPA≤k≤kPB,
由已知可得：A（1，1），B（-1，5），
∴≤k≤8，
故的最大值为8，最小值为.
变式训练3. 若实数x,y满足等式(x-2)2+y2=3，那么的最大值为 （ ）
A. B. C. D.
答案D
例4. 已知定点P(6, 4)与直线l1:y＝4x，过点P的直线l与l1交于第一象限的Q点，与x轴正半轴交于点M．求使△OQM面积最小的直线l的方程．
解：Q点在l1: y＝4x上，可设Q(x0，4x0)，则PQ的方程为：
令y＝0，得：x＝(x0>1)，∴ M(，0)
∴ S△OQM＝··4x0＝10·
＝10·[(x0－1)＋＋2]≥40
当且仅当x0－1＝即x0＝2取等号，∴Q(2，8)
PQ的方程为：，∴x＋y－10＝0
变式训练4.直线l过点M(2，1)，且分别交x轴y轴的正半轴于点A、B，O为坐标原点．
(1)当△AOB的面积最小时，求直线l的方程；
(2)当取最小值时，求直线l的方程．
解：设l：y－1＝k(x－2)(k＜0)
则A(2－，0)，B(0，1－2k)
①由S＝(1－2k)(2－)＝(4－4k－)
≥＝4
当且仅当－4k＝－，即k＝－时等号成立
∴△AOB的面积最小值为4
此时l的方程是x＋2y－4＝0
②∵|MA|·|MB|＝
＝＝2≥4
当且仅当－k＝－即k＝－1时等号成立
此时l的方程为x＋y－3＝0
（本题也可以先设截距式方程求解）
1．直线方程是表述直线上任意一点M的坐标x与y之间的关系式，由斜率公式可导出直线方程的五种形式．这五种形式各有特点又相互联系，解题时具体选取哪一种形式，要根据直线的特点而定．
2．待定系数法是解析几何中常用的思想方法之一，用此方法求直线方程，要注意所设方程的适用范围．如：点斜式、斜截式中首先要存在斜率，截距式中横纵截距存在且不为0，两点式的横纵坐标不能相同等（变形后除处）．
3．在解析几何中,设点而不求,往往是简化计算量的一个重要方法.
4．在运用待定数法设出直线的斜率时，就是一种默认斜率存在，若有不存在的情况时，就会出现解题漏洞，此时就要补救：较好的方法是看图，数形结合来找差距.
第2课时 直线与直线的位置关系
（一）平面内两条直线的位置关系有三种________．
1．当直线不平行坐标轴时，直线与直线的位置关系可根据下表判定
直线
条件
关系
l1：y＝k1x＋b1
l2：y＝k2x＋b2
l1：A1x＋B1y＋C1＝0
l2：A2x＋B2y＋C2＝0
平行
重合
相交
(垂直)
2．当直线平行于坐标轴时，可结合图形判定其位置关系．
（二）点到直线的距离、直线与直线的距离
1．P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0 的距离为______________．
2．直线l1∥l2，且其方程分别为：l1：Ax＋By＋C1＝0 l2：Ax＋By＋C2＝0，则l1与l2的距离为 ．
（三）两条直线的交角公式
若直线l1的斜率为k1，l2的斜率为k2，则
1．直线l1到l2的角θ满足 ．
2．直线l1与l2所成的角(简称夹角)θ满足 ．
（四）两条直线的交点：两条直线的交点的个数取决于这两条直线的方程组成的方程组的解的个数．
（五）五种常用的直线系方程.
① 过两直线l1和l2交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋(A2x＋B2y＋C2)＝0(不含l2).
② 与直线y＝kx＋b平行的直线系方程为y＝kx＋m (m≠b).
③ 过定点(x0, y0)的直线系方程为y－y0＝k(x－x0)及x＝x0.
④ 与Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程设为Ax＋By＋m＝0 (m≠C).
⑤ 与Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程设为Bx－Ay＋C1＝0 (AB≠0).
例2. 已知直线l经过两条直线l1：x＋2y＝0与l2：3x－4y－10＝0的交点，且与直线l3：5x－2y＋3＝0的夹角为，求直线l的方程．
解：由解得l1和l2的交点坐标为(2，－1)，因为直线l3的斜率为k3＝，l与l3的夹角为，所以直线l的斜率存在. 设所求直线l的方程为y＋1＝k(x－2)．
则tan＝＝＝1
k＝或k＝－，故所求直线l的方程为y＋1＝－(x－2)或y＋1＝(x－2)即7x＋3y＋11＝0或3x－7y－13＝0
变式训练2. 某人在一山坡P处观看对面山顶上的一座铁塔，如图所示，塔高BC=80（米），塔所在的山高OB=220（米），OA=200（米），图中所示的山坡可视为直线l，且点P在直线l上，l与水平地面的夹角为,tan=.试问，此人距水平地面多高时，观看塔的视角∠BPC最大（不计此人的身高）？
解 如图所示，建立平面直角坐标系，
则A（200，0），B（0，220），C（0，300）.
直线l的方程为y=(x-200)tan,则y=.
设点P的坐标为（x,y），则P（x, ）(x＞200).
由经过两点的直线的斜率公式
kPC=,
kPB=.
由直线PC到直线PB的角的公式得
tan∠BPC=
= (x＞200).
要使tan∠BPC达到最大，只需x+-288达到最小，由均值不等式
x+-288≥2-288,
当且仅当x=时上式取得等号.
故当x=320时，tan∠BPC最大.
这时，点P的纵坐标y为y==60.
由此实际问题知0＜∠BPC＜,所以tan∠BPC最大时，∠BPC最大.故当此人距水平地面60米高时，观看铁塔的视角∠BPC最大.
例3. 直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若A、B坐标分别为A(－4，2)、B(3，1)，求点C的坐标并判断△ABC的形状．
解：因为直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线，所以CA、CB所在直线关于y＝2x对称，而A(－4, 2)关于直线y＝2x对称点A1必在CB边所在直线上
设A1(x1，y1)则
得
即A1(4, －2)
由A1(4, －2)，B(3, 1)求得CB边所在直线的方程为：3x＋y－10＝0
又由 解得C(2, 4)
又可求得：kBC＝－3，kAC＝
∴kBC·kAC＝－1，即△ABC是直角三角形
变式训练3.三条直线l1：x+y+a=0，l2：x+ay+1=0，l3：ax+y+1=0能构成三角形，求实数a的取值范围。
解：a∈R且a≠±1，a≠-2（提示：因三条直线能构成三角形，故三条直线两两相交且不共点，即任意两条直线都不平行且三线不共点。
（1）若l1、l2、l3相交于同一点，则l1与l2的交点（-a-1，1）在直线l3上，于是a(-a-1)+1+1=0，此时a=1或a= -2。
（2）若l1∥l2，则-1 = - ，a=1。
（3）若l1∥l3，则-1 = - a，a=1。
（4）若l2∥l3，则- = -a，a= ±1。）
例4. 设点A(－3，5)和B(2，15)，在直线l：3x－4y＋4＝0上找一点p，使为最小，并求出这个最小值．
解：设点A关于直线l的对称点A'的坐标为(a，b)，则由AA′⊥l和AA′被l平分，
则解之得a＝3，b＝－3，∴A′＝(3，－3)．∴(|PA|＋|PB|)min＝|A′B|＝5
∵kA′B＝＝－18
∴A′B的方程为y＋3＝－18(x－3)
解方程组得P(，3)
变式训练4：已知过点A（1，1）且斜率为－m(m>0)的直线l与x、y轴分别交于P、Q两点，过P、Q作直线2x＋y＝0的垂线，垂足分别为R、S，求四边形PRSQ的面积的最小值．
解：设l的方程为y－1＝－m(x－1)，
则P（1＋，0），Q（0，1＋m）
从则直线PR：x－2y－＝0；
直线QS：x－2y＋2(m＋1)＝0 又PR∥QS
∴ | RS |＝＝
又| PR |＝，| QS |＝
而四边形PRSQ为直角梯形，
∴ SPRSQ＝×()×
＝(m＋＋)2－≥(2＋)2－
＝3.6
∴ 四边形PRSQ的面积的最小值为3.6．
1．处理两直线位置关系的有关问题时，要注意其满足的条件．如两直线垂直时，有两直线斜率都存在和斜率为O与斜率不存在的两种直线垂直．
2．注意数形结合，依据条件画出图形，充分利用平面图形的性质和图形的直观性，有助于问题的解决．
3．利用直线系方程可少走弯路，使一些问题得到简捷的解法．
4．解决对称问题中，若是成中心点对称的，关键是运用中点公式，而对于轴对称问题，一般是转化为求对称点，其关键抓住两点：一是对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中点在对称轴上，如例4
第3课时 线性规划
1．二元一次不等式表示的平面区域．
⑴ 一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)不含边界线，不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域(半平面)包括边界线．
⑵ 对于直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x、y)使得Ax＋By＋C的值符号相同．因此，如果直线Ax＋By＋C＝0一侧的点使Ax＋By＋C>0，另一侧的点就使Ax＋By＋C<0，所以判定不等式Ax＋By＋C>0(或Ax＋By＋C<0)所表示的平面区域时，只要在直线Ax＋By＋C＝0的一侧任意取一点(x0，y0)，将它的坐标代入不等式，如果该点的坐标满足不等式，不等式就表示该点所在一侧的平面区域；如果不满足不等式，就表示这个点所在区域的另一侧平面区域．
⑶ 由几个不等式组成的不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．
2．线性规划
⑴ 基本概念
名 称
意 义
线性约束条件
由x、y的一次不等式(或方程)组成的不等式组,是对x、y的约束条件
目标函数
关于x、y的解析式如：z＝2x＋y，z＝x2＋y2等
线性目标函数
关于x、y的一次解析式
可行解
满足线性约束条件x、y的解（x，y）叫做可行解
可行域
所有可行解组成的集合叫做可行域
最优解
使目标函数达到最大值或最小值的可行解
线性规划问题
求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题
⑵ 用图解法解决线性规划问题的一般步骤：
① 设出所求的未知数；② 列出约束条件(即不等式组)；③ 建立目标函数；④ 作出可行域和目标函数的等值线；⑤ 运用图解法即平行移动目标函数等值线，求出最优解．（有些实际问题应注意其整解性）
例1. 若△ABC的三个顶点为A(3，－1)，B(－1，1)，C(1，3)，写出△ABC区域（含边界）表示的二元一次不等式组．
解：由两点式得AB、BC、CA直线的方程并化简得AB：x＋2y－1＝0，BC：x－y＋2＝0，CA：2x＋y－5＝0
结合区域图易得不等式组为
变式训练1： △ABC的三个顶点为A(2，4)、B(－1，2)、C(1，0)，则△ABC的内部(含边界)可用二元一次不等式组表示为 ．
例2. 已知x、y满足约束条件 分别求：
⑴ z＝2x＋y
⑵ z＝4x－3y
⑶ z＝x2+y2的最大值、最小值？
解：在直角坐标系中作出表示不等式组的公共区域如图阴影部分．
其中A(4，1)，
B(－1，－6)，
C(－3，2)
(1) 作与直线2x＋y＝0平行的直线l1：2x＋y＝t，则当l1经过点A时，t取最大，l1经过点B时，t取最小．
∴zmax＝9 zmin＝－13
(2) 作与直线4x－3y＝0平行的直线l2：4x－3y＝t，则当l2过点C时，t最小，l2过点B时，t最大．
∴zmax＝14 zmin＝－18
(3) 由z＝x2＋y2，则表示点(x，y)到(0，0)的距离，结合不等式组表示的区域．知点B到原点的距离最大，当(x，y)为原点时距离为0．∴zmax＝37 zmin＝0
变式训练2：给出平面区域如下图所示，目标函数t＝ax－y，
(1) 若在区域上有无穷多个点(x，y)可使目标函数t取得最小值，求此时a的值．
(2) 若当且仅当x＝，y＝时，目标函数t取得最小值，求实数a的取值范围？
解：(1)由t＝ax－y得y＝ax－t
要使t取得最小时的(x，y)有无穷多个，
则y＝ax－t与AC重合．
∴a＝kAC＝＝－
(2)由KAC < a< KBC 得－< a<－.
例3. 某木器厂生产圆桌子和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种72立方米，第二种有56立方米，假设生产每种产品都需要用两种木料，生产一张圆桌需用第一种木料0.18立方米，第二种木料0.08立方米，可获利润6元，生产一个衣柜需用第一种木料0.09立方米，第二种0.28立方米，可获利10元，木器厂在现有木料条件下，圆桌和衣柜应各生产多少才能使所获利润最多？
解：设圆桌和衣柜的生产件数分别为x、y，所获利润为z，则：
即
则z＝6x＋10y作出可行域如图．
由
得
即M(350，100)
由图可知，当直线l：6x＋10y＝0平移到经过点M(350，100)时，z＝6x＋10y最大，即当x＝350，y＝100时，，z＝6x＋10y最大．
变式训练3：某厂要生产甲种产品45个，乙种产品55个，可用原料为A、B两种规格的金属板，每张面积分别为2m2和3m2，用A种可造甲种产品3个和乙种产品5个，用B种可造甲、乙两种产品各6个．问A、B两种产品各取多少块可保证完成任务，且使总的用料(面积)最小．
解：设A种取x块，B种取y块，总用料为z m2，则
z＝2x＋3y (x、y∈N)
可行域如图：
最优解为A(5，5)，x＝5，y＝5时，zmin＝25，即A、B两种各取5块时可保证完成任务，且总的用料(面积)最省为25m2．
例4. 预算用2000元购买单价为50元桌子和20元的椅子，希望桌子的总数尽可能的多，但解：椅子的总数不能少于桌子的总数，但不多于桌子数的1.5倍，问桌椅各买多少才合适？
设桌椅分别买x、y张，由题意得：
由
解得： ∴ 点A(，)
由 解得
∴ 点B(25，)
满足以上不等式组表示的区域是以A、B、O为顶点的△AOB及内部设x＋y＝z，即y＝－x＋z；当直线过点B时，即x＝25，y＝，z最大．∵ y∈z，∴y＝37
∴买桌子25张，椅子37张是最优选择．
变式训练4：A1、A2两煤矿分别有煤8万吨和18万吨，需通过外运能力分别为20万吨和16万吨的B1、B2两车站外运，用汽车将煤运到车站，A1的煤运到B1、B2的运费分别为3元/吨和5元/吨，A2的煤运到B1、B2的运费分别为7元/吨和8元/吨，问如何设计调运方案可使总运费最少？
解：设A1运到B1 x万吨，A2运到B1 y万吨，总运费为z万元，则A1运到B2(8－x)万吨，A2运到B2(18－y)万吨，z＝3x＋5(8－x)＋7y＋8(18－y) ＝184－2x－y，x、y满足
可行域如图阴影部分．
当x＝8时，y＝12时，zmin＝156
即A1的8万吨煤全运到B1，A2运到12万吨运到B1，剩余6万吨运到B2，这时总运费最少为156万元．
1．二元一次不等式或不等式组表示的平面区域：① 直线确定边界；② 特殊点确定区域．
2．线性规划实际上是“数形结合”的数学思想的体现，是一种求最值的方法．
3．把实际问题抽象转化为数学问题是本节的重难点，求解关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解．而在考虑约束条件时，除数学概念的条件约束外，还要深入其境、考虑实际意义的约束．
4．解线性规划问题的关键步骤是在图上完成的，所以作图尽可能精确，图上操作尽可能规范。但最优点不易辨别时，要逐一检查.
第4课时 曲线与方程
、
1．直接法求轨迹的一般步骤：建系设标，列式表标，化简作答（除杂）．
2．求曲线轨迹方程，常用的方法有：直接法、定义法、代入法（相关点法、转移法）、参数法、交轨法等．
例1. 如图所示，过点P（2，4）作互相垂直的直线l1、l2.若l1交x轴于A，l2交y轴于B，求线段AB中点M的轨迹方程.
解 ：设点M的坐标为（x,y）,
∵M是线段AB的中点，
∴A点的坐标为（2x,0），B点的坐标为（0，2y）.
∴=（2x-2，-4），=（-2，2y-4）.
由已知·=0，∴-2（2x-2）-4（2y-4）=0，
即x+2y-5=0.
∴线段AB中点M的轨迹方程为x+2y-5=0.
变式训练1：已知两点M（-2，0）、N（2，0），点P为坐标平面内的动点，满足||||+ ·=0，求动点P（x，y）的轨迹方程.
解 由题意：=（4，0），=（x+2,y）,
=（x-2,y）,
∵||||+·=0，
∴·+（x-2）·4+y·0=0，
两边平方，化简得y2=-8x.
例2. 在△ABC中，A为动点，B、C为定点，B,C且满足条件sinC-sinB=sinA,则动点A的轨迹方程是 （ ）
A.=1 (y≠0) B.=1 (x≠0)
C.=1（y≠0）的左支 D.=1（y≠0)的右支
答案D
变式训练2：已知圆C1：(x+3)2+y2=1和圆C2：（x-3）2+y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程.
解 如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和点B，根据两圆外切的充要条件，得
|MC1|-|AC1|=|MA|，
|MC2|-|BC2|=|MB|.
因为|MA|=|MB|，
所以|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=3-1=2.
这表明动点M到两定点C2，C1的距离之差是常数2.
根据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支（点M到C2的距离大，到C1的距离小），这里a=1,c=3,则b2=8,设点M的坐标为（x,y）,其轨迹方程为x2-=1 (x≤-1).
例3. 如图所示，已知P（4，0）是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，
且满足∠APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.
解 设AB的中点为R，坐标为（x1，y1），Q点坐标为（x，y），
则在Rt△ABP中，
|AR|=|PR|，
又因为R是弦AB的中点，依垂径定理有
Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2-|OR|2=36-（）.
又|AR|=|PR|=，
所以有（x1-4）2+=36-（）.
即-4x1-10=0.
因为R为PQ的中点，
所以x1=，y1=.
代入方程-4x1-10=0，得
·-10=0.
整理得x2+y2=56.
这就是Q点的轨迹方程.
变式训练3：设F（1，0），M点在x轴上，P点在y轴上，且=2，⊥，当点P
在y轴上运动时，求点N的轨迹方程.
解 设M（x0，0），P（0，y0），N（x，y），
由=2得（x-x0，y）=2（-x0，y0），
∴即
∵⊥,=(x0,-y0), =(1,-y0),
∴(x0,-y0)·（1，-y0）=0,∴x0+=0.
∴-x+=0,即y2=4x.故所求的点N的轨迹方程是y2=4x.
1．直接法求轨迹方程关键在于利用已知条件，找出动点满足的等量关系，这个等量关系有的可直接利用已知条件，有的需要转化后才能用．
2．回归定义是解决圆锥曲线轨迹问题的有效途径．
3．所求动点依赖于已知曲线上的动点的运动而运动，常用代入法求轨迹．
第5课时 圆的方程
1． 圆心为C(a、b)，半径为r的圆的标准方程为_________________．
2．圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(其中D2＋E2－4F>0)，圆心为 ，半径r＝ ．
3．二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的方程的充要条件是 ．
4．圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的参数方程为_________．x2＋y2＝r2的参数方程为________________．
5．过两圆的公共点的圆系方程：设⊙C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，⊙C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，则经过两圆公共点的圆系方程为 ．
例1. 根据下列条件，求圆的方程．
(1) 经过A(6，5)，B(0，1)两点，并且圆心在直线3x＋10y＋9＝0上．
(2) 经过P(－2，4)，Q(3，－1)两点，并且在x轴上截得的弦长为6．
解：(1)∵AB的中垂线方程为3x＋2y－15＝0
由 解得
∴圆心为C(7，－3)，半径r＝
故所求圆的方程为(x－7)2＋(y＋3)2＝65
(2)设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
将P、Q两点坐标代入得
令y＝0得x2＋Dx＋F＝0
由弦长|x1－x2|＝6得D2－4F＝36 ③
解①②③可得D＝－2，E＝－4，F＝－8或D＝－6，E＝－8，F＝0
故所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0
变式训练1：求过点A（2，－3），B（－2，－5），且圆心在直线x－2y－3=0上的圆的方程．
由A（2，－3），B（－2，－5），得直线AB的斜率为kAB= = ,
线段AB的中点为（0，－4），线段AB的中垂线方程为y＋4=－2x,即y＋2x ＋4=0,
解方程组得
∴圆心为（－1，－2），根据两点间的距离公式，得半径r==
所求圆的方程为（x＋1)2＋(y＋2)2=10
例2. 已知圆x2+y2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P，Q两点，且OP⊥OQ（O为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径.
解 方法一 将x=3-2y,
代入方程x2+y2+x-6y+m=0,
得5y2-20y+12+m=0.
设P（x1,y1）,Q(x2,y2),则y1、y2满足条件：
y1+y2=4,y1y2=
∵OP⊥OQ,∴x1x2+y1y2=0.
而x1=3-2y1,x2=3-2y2.
∴x1x2=9-6(y1+y2)+4y1y2.
∴m=3,此时Δ＞0,圆心坐标为,半径r=.
方法二 如图所示，设弦PQ中点为M，
∵O1M⊥PQ，∴.
∴O1M的方程为:y-3=2,
即：y=2x+4.
由方程组
解得M的坐标为（-1，2）.
则以PQ为直径的圆可设为（x+1）2+（y-2）2=r2.
∵OP⊥OQ，∴点O在以PQ为直径的圆上.
∴（0+1）2+（0-2）2=r2，即r2=5,MQ2=r2.
在Rt△O1MQ中，O1Q2=O1M2+MQ2.
∴(3-2)2+5=
∴m=3.∴半径为,圆心为.
方法三 设过P、Q的圆系方程为
x2+y2+x-6y+m+(x+2y-3)=0.
由OP⊥OQ知，点O（0，0）在圆上.
∴m-3=0，即m=3.
∴圆的方程可化为
x2+y2+x-6y+3+x+2y-3=0
即x2+(1+)x+y2+2(-3)y=0.
∴圆心M，又圆在PQ上.
∴-+2（3-）-3=0，
∴=1，∴m=3.
∴圆心为，半径为.
变式训练2：已知圆C：（x-1）2+(y-2)2=25及直线l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4 (m∈R).
（1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆C恒相交；
（2）求直线l被圆C截得的弦长的最短长度及此时的直线方程.
（1）证明 直线l可化为x+y-4+m(2x+y-7)=0,
即不论m取什么实数，它恒过两直线x+y-4=0与2x+y-7=0的交点.
两方程联立，解得交点为（3，1），
又有（3-1）2+（1-2）2=5＜25,
∴点（3，1）在圆内部，
∴不论m为何实数，直线l与圆恒相交.
（2）解 从（1）的结论和直线l过定点M（3，1）且与过此点的圆C的半径垂直时，l被圆所截的弦长|AB|最短，由垂径定理得
|AB|=2=
此时，kt=-,从而kt=-=2.
∴l的方程为y-1=2(x-3),即2x-y=5.
例3. 知点P（x，y）是圆(x+2)2+y2=1上任意一点.
（1）求P点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值和最小值；
（2）求x-2y的最大值和最小值；
（3）求的最大值和最小值.
解 （1）圆心C（-2，0）到直线3x+4y+12=0的距离为
d=.
∴P点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值为
d+r=+1=，最小值为d-r=-1=.
（2）设t=x-2y,
则直线x-2y-t=0与圆（x+2）2+y2=1有公共点.
∴≤1.∴--2≤t≤-2，
∴tmax=-2，tmin=-2-.
（3）设k=，
则直线kx-y-k+2=0与圆（x+2）2+y2=1有公共点，
∴≤1.∴≤k≤,
∴kmax=，kmin=.
变式训练3：已知实数x、y满足方程x2+y2-4x+1=0.
（1）求y-x的最大值和最小值；
（2）求x2+y2的最大值和最小值.
解 （1）y-x可看作是直线y=x+b在y轴上的截距，当直线y=x+b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时，解得b=-2±.
所以y-x的最大值为-2+，最小值为-2-.
（2）x2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.
又圆心到原点的距离为=2，
所以x2+y2的最大值是（2+）2=7+4，
x2+y2的最小值是（2-）2=7-4.
例4. 设圆满足：①截y轴所得的弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1．在满足条件①②的所有圆中，求圆心到直线l：x－2y=0的距离最小的圆的方程。
解法一设圆的圆心为P（a,b),半径为r，则点P到x轴y轴的距离分别为∣b∣、∣a∣。
由题设条件知圆P截x轴所得的劣弧所对的圆心角为90°，圆P截x轴所得的弦长为r，故r2=2b2．
又圆P截y轴所得的弦长为2，所以有r2=a2＋1,从而得2b2=a2＋1．
点P到直线x－2y=0的距离为d=,
∴5d2=(a－2b)2=a2＋4b2－4ab= 2a2＋2b2－4ab＋1=2(a－b)2＋1≥1
当且仅当a=b时取等号，此时，5d2=1, d取得最小值．
由a=b及2b2=a2＋1得，进而得r2=2
所求圆的方程为（x－1)2＋(y－1)2=2或（x＋1)2＋(y＋1)2=2
解法二同解法一，得d=，所以a－2b= ±d
a2=4b2±4bd＋5d2,将a2=2b2－1代入整理得2b2±4bd＋5d2＋1=0 （※）
把（※）看成关于b的二次方程，由于方程有实数根，故△≥0即
8（5d2－1)≥0, 5d2≥1可见5d2有最小值1，从而d有最小值，将其代入（※）式得2b2±4b＋2=0, b= ±1, r2=2b2=2, a2=2b2－1=1, a= ±1
由∣a－2b∣=1知a、b同号
故所求圆的方程为（x－1)2＋(y－1)2=2或（x＋1)2＋(y＋1)2=2
变式训练4：如图，图O1和圆O2的半径都等于1，O1O2＝4，过动点P分别作圆O1和圆O2的切线PM、PN(M、N为切点)，使得PM＝PN，试建立平面直角坐标系，并求动点P的轨迹方程．
解：以O1、O2的中点为原点，O1O2所在的直线为x轴，
建立平面直角坐标系，则O1(－2, 0)、O2(2, 0)．如图：
由PM＝PN得PM2＝2PN2
∴ PO12－1＝2(PO22－1)，设P(x，y)
∴ (x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]
即(x－6)2＋y2＝33为所求点P的轨迹方程．
1．本节主要复习了圆的轨迹方程，要明确：必须具备三个独立条件，才能确定一个圆的方程．
2．求圆的方程时一般用待定系数法：若已知条件与圆心、半径有关，可先由已知条件求出圆的半径，用标准方程求解；
若条件涉及过几点，往往可考虑用一般方程；
若所求的圆过两已知圆的交点，则一般用圆系方程．
3．求圆方程时,若能运用几何性质,如垂径定理等往往能简化计算．
4．运用圆的参数方程求距离的最值往往较方便．
5．点与圆的位置关系可通过点的坐标代入圆的方程或点与圆心之间的距离与半径的大小比较来确定.
第6课时 直线与圆、圆与圆的位置关系
1．直线与圆的位置关系
将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程，设它的判别式为△，圆心C到直线l的距离为d，则直线与圆的位置关系满足以下关系：
相切d＝r△＝0
相交
相离
2．圆与圆的位置关系
设两圆的半径分别为R和r(R≥r)，圆心距为d，则两圆的位置关系满足以下条件：
外离d > R＋r
外切
相交
内切
内含
3. 圆的切线方程
① 圆x2＋y2＝r2上一点p(x0, y0)处的切线方程为l: .
② 圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点p(x0, y0)处的切线方程为l : .
③ 圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0上一点p(x0, y0)处的切线方程为 .
例1. 过⊙：x2＋y2＝2外一点P(4，2)向圆引切线．
⑴ 求过点P的圆的切线方程．
⑵ 若切点为P1、P2求过切点P1、P2的直线方程．
解：(1)设过点P(4，2)的切线方程为y－2＝k(x－4)
即kx－y+2－4k＝0 ①
则d＝
∴＝ 解得k＝1或k＝
∴切线方程为：x－y－2＝0或x－7y＋10＝0
(2) 设切点Ｐ1(x1，y1)、P2(x2，y2)，则两切线的方程可写成l1: x1x＋y1y＝2，l2：x2x＋y2y＝２
因为点(4，2)在l1和l2上．
则有4 x1＋2y1＝2 4x2＋2y2＝2
这表明两点都在直线4x＋2y＝2上，由于两点只能确定一条直线，故直线2 x＋y－1＝0即为所求
变式训练1：（1）已知点P(1，2)和圆C：，过P作C的切线有两条，则k的取值范围是( )
A.k∈R Ｂ.k＜ Ｃ. D.
（2）设集合A={（x,y)|x2＋y2≤4},B={(x,y)|(x－1)2＋(y－1)2≤r2(r＞0)},当A∩B=B时，r的取值范围是 （ ）
A．（0，－1） B．（0，1] C．（0，2－] D．（0，]
（3）若实数x、y满足等式(x-2)２＋ｙ２＝３，那么的最大值为( )
A. Ｂ. Ｃ. Ｄ.
（4）过点M且被圆截得弦长为8的直线的方程为 ．
（5）圆心在直线x-y-4=0上，且经过两圆和的交点的圆的方程是 .
解：（1）D．提示：P在圆外．
（2）C．提示：两圆内切或内含．
（3）D．提示：从纯代数角度看，设t=,则y=tx，代入已知的二元二次方程，用△≥0，可解得t的范围。从数形结合角度看，是圆上一点与原点连线的斜率，切线的斜率是边界．
（4）．提示：用点到直线的距离公式，求直线的斜率．
（5）.提示：经过两圆交点的圆的方程可用圆系方程形式设出，其中的一个待定系数，可依据圆心在已知直线上求得．
例2. 求经过点A(4，－1)，且与圆：x2＋y2＋2x－6y＋5＝0相切于点B(1，2)的圆的方程．
解：圆C的方程可化为(x＋1)2＋(y－3)2＝5
∴圆心C(－1，3)，直线BC的方程为：
x＋2y－5＝0 ①
又线段AB的中点D(，)，kAB＝－1
∴线段AB的垂直平分线方程为：
y－＝x－即x－y－2＝0 ②
联立①②解得x＝3，y＝1
∴所求圆的圆心为E(3，1)，半径|BE|＝
∴所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝5
变式训练2：求圆心在直线5x-3y=8上，且与坐标轴相切圆的标准方程．
解：设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,
∵圆与坐标轴相切，
∴a=±b,r=｜a｜
又∵圆心(a,b)在直线5x-3y=8上.
∴5a-3b=8,
由
得
∴所求圆的方程为：
（x-4)2+(y-4)2=16
或(x-1)2+(y+1)2＝1．
例3. 已知直线l：y＝k(x＋2)(k≠0)与圆O：x2＋y2＝4相交于A、B两点，O为坐标原点．△AOB的面积为S．
⑴ 试将S表示为k的函数S(k)，并求出它的定义域．
⑵ 求S(k)的最大值，并求出此时的k值．
解：(1)圆心O到AB的距离d＝
由d<2－1< k <1
|AB|＝4 S(k)＝4
(2) 解法一：据(1)令1＋k2＝t k2＝t－1(1< t <2)
S＝4＝4
≤4·＝2
当＝即k＝时，等号成立．∴k＝±为所求．
解法二：
△ABD的面积S＝|OA||OB|sin∠AOB＝2sin∠AOB
∴当∠AOB＝90°时，S可取最大值2，此时，设AB的中点为C．
则OC＝|OA|＝
由O到直线的距离为|OC|＝
得＝，k＝±
变式训练3：点P在直线上，PA、PB与圆相切于A、B两点，求四边形PAOB面积的最小值．．
答案：8。
提示：四边形可以分成两个全等的直角三角形，要面积最小，只要切线长最小，亦即P到圆心距离要最小．
例4. 已知圆C方程为：，直线l的方程为：（2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4=0．
（1）证明：无论m取何值，直线l与圆C恒有两个公共点。
（2）求直线l被圆C截得的线段的最短长度，并求出此时的m值．
提示：（1）用点到直线的距离公式，证明r2－d2＞0恒成立．
（2）求（1）中r2－d2的最小值，得直线l被圆C截得的线段的最短长度为4，此时的m值为－ ．
变式训练4：已知圆系，其中a≠1,且a∈R,则该圆系恒过定点 ．
答案：（1，1）．
提示：将a取两个特殊值，得两个圆的方程，求其交点，必为所求的定点，故求出交点坐标后，只须再验证即可。另一方面，我们将方程按字母a重新整理，要使得原方程对任意a都成立，只须a的系数及式中不含a的部分同时为零．
1．处理直线与圆、圆与圆的位置关系的相关问题，有代数法和几何法两种方法，但用几何法往往较简便．
2．圆的弦长公式l＝2(R表示圆的半径，d表示弦心距)利用这一弦长公式比用一般二次曲线的弦长公式l＝要方便．
3．为简化运算，处理交点问题时，常采用“设而不求”的方法，一般是设出交点后，再用韦达定理处理，这种方法在处理直线与圆锥曲线的位置关系中也常常用到．
解析几何初步章节测试题
一、选择题
1． 圆(x－1)2＋y2＝1的圆心到直线y＝x的距离为（ ）
A． B． C． D．1
2． 如果把圆C：x2＋y2＝1沿向量平移到圆C′，且C′与直线3x－4y＝0相切，则m的值为（ ）
A．2或－ B．2或 C．－2或 D．－2或－
3． 如果直线沿x轴负方向平移3个单位，再沿y轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l的斜率是 （ ）
A．－ B．－3 C． D．3
4． 已知点P（3，2）与点Q（1，4）关于直线l对称，则直线l的方程为 （ ）
A．x－y＋1＝0 B．x－y＝0 C．x＋y＋1＝0 D．x＋y＝0
5． 如果直线l1、l2的斜率为k1、k2，二直线的夹角为θ，若k1、k2分别为二次方程x2－4x＋1＝0的两根，那么θ为 （ ）
A． B． C． D．
6． 若圆(x－1)2＋(y＋1)2＝R2上有且仅有两个点到直线4x＋3y－11＝0的距离相等，则半径R的取值范围是 （ ）
A．R＞1 B．01，b>1．
直线AC的方程为：y＝(x－a) 即x－2y－a＝0
∴ |BH|＝ ∵ (1, 1)在AB上
∴ ＋＝1
∴ |CD|＝＝(a＋2b)(＋)
＝(3＋＋)
∴ |CD|≥(3＋2)＝
当a2＝2b2且a＋b＝ab即a＝1＋，b＝时
|CD|有最小值
此时直线l的方程为：＝1
18．解：(1)设B(x1，y1)，C(x2，y2)连AG交BC于M，则M为BC的中点．
由三角形重心公式得
∴M的坐标为
连结OM，则OM⊥BC，又kOM＝－2
∴kBC＝
∴BC的方程为y＋＝(x－)
即4x－8y－15＝0
(2)连结OB，在Rt△OBM中
|BC|＝2|BM|＝
又∵|OM|＝，∴|BC|＝
19．解：设第一种钢板x张，第二种钢板y张，使用钢板面积为zm2约束条件为：
目标函数为z＝x＋2y，作出一组平行直线x＋2y＝t中，经过可行域内的点，且与原点距离最近的直线，此直线过x＋y＝12，x＋3y＝17的交点为A(，)，此时，z＝x＋2y＝14.5，而最优解（x，y）为整数，作直线x＋2y＝15，可求得它与x＋y=12，x＋3y＝17的交点为(9，3)(11，2)那么在9≤x≤11之间，把x＝9、10、11分别代入x＋2y＝15得整数的点有(9，3)(11，2)
∴ (9，3)，(11，2)为最优解
故有两种截法，第一种截法是截第一种钢板9张，第二种钢板3张；第二种截法是截第一种钢板11张，第二种钢板2张．
20．( 1 ) 直线A'B'的方程为y＝－tx＋1
(2) 由方程组 解得P(0，1)
Q()
(3) kPT＝－ kQT＝
由直线PT的斜率和直线QT的斜率互为相反数知，由点P发出的光线经过点T反射，反射光线通过点Q．
21．解：假设存在这样的直线，设为y＝x＋b，它与圆C的交点A(x1，y1)、B(x2，y2)．由x2＋y2－2x＋4y－4＝0化为：(x－1)2＋(y＋2)2＝9
∴ 圆C的圆心坐标为(1，－2)半径为3．
由题意可得OA⊥OB，∴kOA·kOB＝－1
从而得：x1x2＋y1y2＝0
联立
得2x2＋2(b＋1)x＋b2＋4b－4＝0
∴ x1x2＝
同理，可求得：y1y2＝
从而＋＝0
即b2＋3b－4＝0解得：b＝1或－4
∴ 这样的直线存在方程为：y＝x－4或y＝x＋1
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