【命题探究】2014版高考数学知识点讲座：考点10 导数的概念、导数的计算（解析版）
加（*）号的知识点为了解内容，供学有余力的学生学习使用
一、考纲目标
了解导数概念的实际背景；理解导数的几何意义；能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数；能求简单的复合函数（仅限于形如f(ax+b)的复合函数的导数）
二、知识梳理
1.导数的定义：设函数在处附近有定义，如果时，与的比（也叫函数的平均变化率）有极限即无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数在处的导数，记作，即
2.导数的几何意义：是曲线上点（）处的切线的斜率因此，如果在点可导，则曲线在点（）处的切线方程为
3.导函数(导数):如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数, 称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数，
4.求函数的导数的一般方法：
（1）求函数的改变量
（2）求平均变化率
（3）取极限，得导数＝
5.常见函数的导数公式：
；；；
；；
6.和差的导数： ．
7.积的导数： ,
8.商的导数：
9.复合函数的导数
设u＝v(x)在点x处可导，y＝f(u)在点u处可导，则复合函数f[v(x)]在点x处可导，且y′x＝f′(u)·v′(x)
三、考点逐个突破
1.导数运算
例1.求下列函数的导数
(1)y＝2x3＋x－6； (2)y＝；
(3)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)； (4)y＝－sin；
解(1)y′＝6x2＋1.
(2)∵y＝＝x＋x3＋，
∴y′＝(x)′＋(x3)′＋(x－2sinx)′
＝－x＋3x2－2x－3sinx＋x－2cosx.
(3)方法一：y＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6，
∴y′＝3x2＋12x＋11.
方法二：y′＝[(x＋1)(x＋2)]′(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)(x＋3)′
＝[(x＋1)′(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)′](x＋3)＋(x＋1)(x＋2)
＝(x＋2＋x＋1)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)
＝(2x＋3)(x＋3)＋ (x＋1)(x＋2)
＝3x2＋12x＋11.
(4)∵y＝－sin＝sinx，
∴y′＝′＝(sinx)′＝cosx.
2.求复合函数的导数
例2．求下列函数的导数：
(1)y＝(1＋sinx)2； (2)y＝；
(3)y＝ln； (4)y＝xe1－cosx.
解(1)y′＝[(1＋sinx)2]′＝2(1＋sinx)·(1＋sinx)′
＝2(1＋sinx)·cosx＝2cosx＋sin2x.
(2)y′＝[(1＋x2) ]′＝(－)(1＋x2) ·(1＋x2)′
＝－x(1＋x2) ＝－.
(3)y′＝(ln)′＝·()′
＝·(x2＋1) ·(x2＋1)′＝.
(4)y′＝(xe1－cosx)′＝e1－cosx＋x(e1－cosx)′
＝e1－cosx＋x[e1－cosx·(1－cosx)′]
＝e1－cosx＋xe1－cosx·sinx＝(1＋xsinx)e1－cosx.
3.导数的几何意义
例3已知曲线y＝x3＋.
(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；
(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程．
解(1)所求切线的斜率为y′|x＝2＝22＝4，
故所求曲线的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.
(2)设曲线y＝x3＋与过点P(2,4)的切线相切于点A(x0，x＋)，则切线的斜率为k＝y′|x＝x0＝x，切线方程为y－(x＋)＝x(x－x0)，因为点P(2,4)在切线上，所以4－(x＋)＝x(2－x0)，解得x0＝2或x0＝－1，故所求切线的方程为4x－y－4＝0或x－y＋2＝0.
4.导数的几何意义的综合运用
例4.设抛物线C1：y1＝x2－2x＋2与抛物线C2：y2＝－x2＋ax＋b在它们的一个公共点处的切线互相垂直．
(1)求a、b之间的关系；
(2)若a>0，b>0，求ab的最大值．
解(1)依题意y′1＝2x－2，y′2＝－2x＋a，
设曲线C1与C2的公共点为P(x0，y0)，∵在P点切线互相垂直．
∴(2x0－2)(－2x0＋a)＝－1，?4x－2(a＋2)x0＋2a－1＝0①
?Δ＝4[(a－2)2＋4]>0，
又∵y0＝x－2x0＋2，且y0＝－x＋ax0＋b，
相减得：2x－(a＋2)x0＋2－b＝0.②
由①②消去x0得：2b＋2a＝5，即a＋b＝.
(2)由(1)得ab≤()2＝()2＝，
当且仅当a＝b＝时上式取等号，∴ab的最大值为.
5（*）.导数的原始求法、几何意义的应用
例5.若f′（x0）=2,求
分析:根据导数的定义
解:f′（x0）= （这时Δx=－k）
∴
=［－·］
=－·=－f′（x0）=－1
例6.运动曲线方程为，求t=3时的速度
分析：根据导数的几何意义及导数的物理意义可知，函数y=f(x)在处的导数就是曲线y=f(x)在点处的切线的斜率瞬时速度是位移函数S(t)对时间的导数
解：
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