【命题探究】2014版高考数学知识点讲座：考点11导数的单调性及其应用（解析版） 加（*）号的知识点为了解内容，供学有余力的学生学习使用 一、考纲目标 理解可导函数的单调性与其导数的关系 二、知识梳理 利用导数研究多项式函数单调性的一般步骤 （1）求
（x） （2）确定
（x）在（a，b）内符号 （3）若
（x）>0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数；若
（x）<0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数 三、考点逐个突破 1.求函数的单调区间 例1.求下列函数的单调区间： (1)
⑵
⑶
⑷
分析：求函数的单调区间的具体步骤是：①确定
的定义域；②计算导数
；③求出
的根；④用
的根将
的定义域分成若干个区间,列表考察这若干个区间内
的符号,进而确定
的单调区间 解:(1)函数的定义域
令
得
,用
分割定义域D,得下表:

-2 
1 
 
+ 0 - 0 +  
↗  ↘  ↗  
的单调增区间是
和
,单调减区间是(-2,1) （2）函数的定义域
令
得
,用
分割定义域D,得下表:

-1 
0 （0，1） 1 
 
— 0 + 0 — 0 +  
↘  ↗  ↘  ↘  
的单调增区间是
和
,单调减区间是
和(0,1) （3）函数的定义域为
，
, 令
得
其中
不在定义域内,用
分割定义域D，得下表： x (0,
) 
(
,+
)  
_ 0 +  
↘  ↗  
的单调增区间是
,单调减区间是
（4 ）函数的定义域

令
得
,用
分割定义域D,得下表:

0 
2 
 
_ 0 + 0 _  
↘  ↗  ↘  
的单调增区间是
和
,单调减区间是(0,2) 点评：一般情况下，函数在它的定义区间上不是单调的，对可导函数而言，它的单调减少和单调增加的区间分界点应是其导娄数符号正负交替的分界点，即在分界点处
，为此，我们可以用使函数导数为0的点来划分函数的单调区间 2.利用函数的极值的一些性质求函数的单调区间 例2 设f（x）=x3－3ax2+2bx在x=1处有极小值－1，试求a、b的值，并求出f（x）的单调区间 剖析：由已知x=1处有极小值－1，点（1，－1）在函数f（x）上，得方程组解之可得a、b 解：
（x）=3x2－6ax+2b，由题意知
即
解之得a=
，b=－
此时f（x）=x3－x2－x，
（x）=3x2－2x－1=3（x+
）（x－1） 当
（x）>0时，x>1或x<－
， 当
（x）<0时，－
1，即a>2时，函数f（x）在（－∞，1）上为增函数，在（1，a－1）上为减函数，在（a－1，+∞）上为增函数 依题意，当x∈（1，4）时，
（x）<0，当x∈（6，+∞）时，
（x）>0，∴4≤a－1≤6 ∴5≤a≤7∴a的取值范围为［5，7］ 点评：若本题是“函数f（x）在（1，4）上为减函数，在（4，+∞）上为增函数”我们便知x=4两侧使函数
（x）变号，因而需要讨论、探索，属于探索性问题 例5 设
恰有三个单调区间，试确定
的取值范围，并求出这三个单调区间 解：由f(x)的解析式得，
若a>0, 则
, f(x) 单调,矛盾； 若a=o，则
,f(x)单调； 若a<0, 则
由此可知，当a<0时，f(x)恰有三个单调区间，其中减区间为：
,
,增区间
4.利用函数的单调性解决不等式问题 例6 已知x>1，证明不等式x>ln(1+x) 分析：构造辅助函数f(x)=x-ln(1+x)，只需证明f(x)在(1,
)上递增即可 证明：设 f(x)=x-ln(1+x),x>1，则

在
上是增函数 又f(1)=1-ln2>1-lne=0
即

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