【命题探究】2014版高考数学知识点讲座：考点14三角函数的概念、同角三角函数的基本关系和诱导公式（解析版） 加（*）号的知识点为了解内容，供学有余力的学生学习使用 一.考纲目标 理解任意角的概念、弧度的意义；掌握任意角的三角函数的定义、同角三角函数的关系式与诱导公式;了解周期函数和最小正周期的意义；能化简三角函数式；掌握同角三角函数的基本关系式. 二.知识梳理 1.角和终边相同： 2.几种终边在特殊位置时对应角的集合为： 角的终边所在位置 角的集合  X轴正半轴   Y轴正半轴   X轴负半轴   Y轴负半轴   X轴   Y轴   坐标轴    3.弧度制定义：我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫1弧度角角度制与弧度制的互化：  1弧度 4.弧长公式： （是圆心角的弧度数） 5.扇形面积公式： 6.三角函数的定义:以角的顶点为坐标原点，始边为x轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个异于原点的点，点P到原点的距离记为，那么； ； ； 7.三角函数的符号：  Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ  sin + + － －  cos + － － +  tan + － + －   8.特殊角的三角函数值：  0        sin 0    1 0   cos 1    0  0  tan 0  1  ∞ 0 ∞  9.三角函数的定义域、值域： 函 数 定 义 域 值 域              10.诱导公式：可用十个字概括为“奇变偶不变，符号看象限”. 诱导公式一：，，其中 诱导公式二： ；  诱导公式三： ；  诱导公式四：；  诱导公式五：；  －       sin －sin sin －sin －sin sin cos  cos cos －cos －cos cos cos sin  （1）要化的角的形式为（为常整数）； （2）记忆方法：“函数名不变，符号看象限” 11.商数关系： 12.平方关系： 三．考点逐个突破 1.角的终边问题 例1. 若角是第二象限角，则 （1）是哪个象限角？ （2）是哪个象限角？ 分析：（） 解：（1）因为角是第二象限角，所以 则  当是偶数时，设， 则 可知在第一象限； 当是奇数时，设， 则 可知在第三象限； 综上述，角是第二象限角，则是第一象限角或第三象限角； （2）因为 可知角的终边应在第三象限或第四象限或Y轴的负半轴上 例2. 已知“是第三象限角，则是第几象限角? 分析 由是第三象限角，可得到角的范围，进而可得到的取值范围，再根据范围确定其象限即可.也可用几何法来确定所在的象限 解法一： 因为是第三象限角，所以 ∴ ∴当k=3m（m∈Z）时，为第一象限角； 当k= 3m＋1（m∈Z）时，为第三象限角， 当k= 3m＋2（m∈Z）时，为第四象限角 故为第一、三、四象限角 解法二： 把各象限均分3等份，再从x轴的正向的上方起依次将各区域标上I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，并依次循环一周，则原来是第Ⅲ象限的符号所表示的区域即为的终边所在的区域 由图可知，是第一、三、四象限角 小结：已知角的范围或所在的象限，求所在的象限是常考题之一，一般解法有直接法和几何法，其中几何法具体操作如下： 把各象限均分n等份，再从x轴的正向的上方起，依次将各区域标上I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，并循环一周，则原来是第几象限的符号所表示的区域即为 (n∈N*)的终边所在的区域 2.扇形、弧度、弧长、面积问题 例3. 一个半径为的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，则扇形的圆心角是多少弧度？多少度？扇形的面积是多少？ 解：设扇形的圆心角是，因为扇形的弧长， 所以扇形的周长是 依题意知：  ，解得 转化为角度度制为  它的面积为： 3.根据定义求三角函数值 例4.已知角的终边过点，求的六个三角函数值. 解：因为过点，所以，  当； ；； 当 ； 4.根据三角函数值的正负判断角所在的象限 例5. 若sin>0，试确定所在的象限. 分析一：首先确定sin与cos的符号，再判断所在的象限. 解析一：由sin>0知. 由（1）知在第一象限，由（2）知在第三象限， 所以在第一或第三象限. 分析二：先化简关系式再确定的范围. 解析二：由sin>0有>0，即sin2>0， 所以, 当k=2n（n∈Z）时，为第一象限，当k=2n+1（n∈Z）时，为第三象限 故，为第一或第三象限. 分析三：因判断所在的象限，故本题可以用特殊值（各个象限各取一个）来判断. 解析三：若令=代入sin>0，可以验证知， 只有=满足条件，所以为第一或第三象限. 5.运用诱导公式化简 例6.化简： （1）； （2） 解：（1）原式 （2）原式     例7. 化简 解：①当时，原式 ②当时，原式 点评：关键抓住题中的整数是表示的整数倍与公式一中的整数有区别，所以必须把分成奇数和偶数两种类型，分别加以讨论. 6.运用同角三角函数的基本关系化简 例8.化简 解：原式 例9.化简 解：原式  例10.已知：，求的值 解：∵， ∴原式 点评：第二步到第三步应用了“弦化切”的技巧，即分子、分母同除以一个不为零的，得到一个只含的教简单的三角函数式 例11.已知， 求（1）；（2）的值 解：（1）； (2)
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