【命题探究】2014版高考数学知识点讲座：考点15三角函数的图像与性质（解析版） 加（*）号的知识点为了解内容，供学有余力的学生学习使用 一.考纲目标 了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图，理解A.ω、φ的物理意义 二.知识梳理 1. 正弦函数、余弦函数、正切函数的图像    2.三角函数的单调区间 的递增区间是， 递减区间是； 的递增区间是， 递减区间是， 的递增区间是， 3.函数 最大值是，最小值是，周期是，频率是，相位是，初相是；其图象的对称轴是直线，凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心 4.由y＝sinx的图象变换出y＝sin(ωx＋)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换 利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现.无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少. 途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换) 先将y＝sinx的图象向左(＞0)或向右(＜0)平移｜｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω＞0)，便得y＝sin(ωx＋)的图象 途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换 先将y＝sinx的图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω＞0),再沿x轴向左(＞0)或向右(＜0＝平移个单位，便得y＝sin(ωx＋)的图象 5. 由y＝Asin(ωx＋)的图象求其函数式 给出图象确定解析式y=Asin（ωx+）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（－，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置. 6.对称轴与对称中心： 的对称轴为，对称中心为； 的对称轴为，对称中心为； 对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系 7. 求三角函数的单调区间 一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A、的正负.利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间； 8. 求三角函数的周期的常用方法 经过恒等变形化成“、”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和定义法 9.五点法作y=Asin（ωx+）的简图 五点取法是设x=ωx+，由x取0、、π、、2π来求相应的x值及对应的y值，再描点作图. 三．考点逐个突破 1.平移变换问题 例1.定义,若函数,则将的图象向右平移个 单位所得曲线的一条对称轴的方程是 A． B． C． D． 【答案】A 由定义可知,,将的图象向右平移个单位得到,由得对称轴为,当时,对称轴为,选A． 例2.关于函数的四个结论:P1:最大值为;P2:把函数 的图象向右平移个单位后可得到函数的图 象;P3:单调递增区间为[],; P4:图象的对称中心为 (),.其中正确的结论有 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】因为,所以最大值为,所以P1错误.将的图象向右平移个单位后得到,所以P2错误.由,解得增区间为,即,所以正确.由,得,所以此时的对称中心为,所以正确,所以选B． 例3. 已知函数,其最小正周期为 (I)求的表达式; (II)将函数的图象向右平移个单位,再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数的图象,若关于的方程,在区间上有且只有一个实数解,求实数k的取值范围. 【答案】解:(I)  由题意知的最小正周期, 所以 所以 (Ⅱ)将的图象向右平移个个单位后,得到的图象,再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到的图象. 所以 因为,所以. 在区间上有且只有一个实数解,即函数与在区间上有且只有一个交点,由正弦函数的图象可知或 所以或. 2.三角函数的性质 （1）单调性、周期性 例4. 设. (Ⅰ)求的最小正周期及单调递增区间; (Ⅱ)将函数的图象向右平移个单位,得的图象,求在处的切线方程. 【答案】解:(Ⅰ), 故f(x)的最小正周期, 由 得f(x)的单调递增区间为 (Ⅱ)由题意:, , , 因此切线斜率, 切点坐标为, 故所求切线方程为, 即 （2）最值 例5. 已知函数,则的最小值为_________ 【答案】1 【 解析】 ,因为,所以,所以,即,所以,即,所以的最小值为1. （3）奇偶性 例6. 函数的图象大致是  【答案】C 【 解析】函数为奇函数,所以图象关于原点对称,排除 B．当时,,排除D．,由,得,所以函数的极值有很多个,所以选C． （4）对称性 例7.已知函数的最小正周期为,则 A．函数的图象关于点()对称 B．函数的图象关于直线对称 C．函数的图象向右平移个单位后,图象关于原点对称 D．函数在区间内单调递增 【答案】C因为函数的周期,所以,所以.当时,,所以A ,B错误.将函数的图象向右平移个单位后得到,此时为奇函数,所以选C． （5）定义域、值域 例8.已知函数f（x）=，求f（x）的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域. 剖析：此题便于入手，求定义域、判断奇偶性靠定义便可解决，求值域要对函数化简整理. 解：由cos2x≠0得2x≠kπ+，解得x≠+（k∈Z）. 所以f（x）的定义域为{x|x∈R且x≠+，k∈Z}. 因为f（x）的定义域关于原点对称，且 f（－x）===f（x）， 所以f（x）是偶函数. 又当x≠+（k∈Z）时， f（x）===3cos2x－1， 所以f（x）的值域为{y|－1≤y＜或＜y≤2}. 3.简单的应用问题 例9.已知电流I与时间t的关系式为． （１）右图是（ω＞0，）在一个周期内的图象，根据图中数据求的解析式； （２）如果t在任意一段秒的时间内，电流都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？ 解:本小题主要考查三角函数的图象与性质等基础知识，考查运算能力和逻辑推理能力． （１）由图可知 A＝300．设t1＝－，t2＝， 则周期T＝2（t2－t1）＝2（＋）＝． ∴ ω＝＝150π． 又当t＝时，I＝0，即sin（150π·＋）＝0， 而， ∴ ＝． 故所求的解析式为．  （２）依题意，周期T≤，即≤，（ω>0） ∴ ω≥300π＞942，又ω∈N*，故最小正整数ω＝943．
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