【命题探究】2014版高考数学知识点讲座：考点16两角和与差的三角函数、简单的三角恒等变换、三角函数的最值及综合运用（解析版）
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一.考纲目标
掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式；能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明；掌握求三角函数最值的常用方法：配方法、化为一个角的三角函数、数形结合法、换元法、基本不等式法等；三角函数的最值都是在给定区间上取得的，因而特别要注意题设中所给出的区间；含参数函数的最值问题，要注意参数的作用和影响
二.知识梳理
1．和、差角公式
；
；
．
2．二倍角公式
；
；
．
3.辅助角公式
4.y=asinx+bcosx型函数最值的求法
常转化为y= sin（x+）
5.y=asin2x+bsinx+c型
常通过换元法转化为y=at2+bt+c型
6.同角的正弦余弦的和差与积的转换
同一问题中出现，求它们的范围，一般是令或或，转化为关于的二次函数来解决
7.已知正切值，求正弦、余弦的齐次式的值
如已知，求的值，一般是将不包括常数项的式子的分母1用代换，然后分子分母同时除以化为关于的表达式
8 单位圆中的三角函数线
三角函数线是三角函数值的几何表示，四种三角函数y = sin x、y = cos x、y = tan x、y = cot x的图象都是“平移”单位圆中的三角函数线得到的．
9. 三角函数的图象的掌握体现
把握图象的主要特征（顶点、零点、中心、对称轴、单调性、渐近线等）；应当熟练掌握用“五点法”作图的基本原理以及快速、准确地作图．
10.三角函数的奇偶性
① 函数y = sin (x＋φ)是奇函数．
② 函数y = sin (x＋φ)是偶函数．
③ 函数y =cos (x＋φ)是奇函数．
④ 函数y = cos (x＋φ)是偶函数．
11.正切函数的单调性
正切函数f (x) = tan x， ，在每一个区间上都是增函数，但不能说f (x ) = tan x在其定义域上是增函数．
三．考点逐个突破
1.利用和差公式求值
例1.如图，在平面直角坐标系中，角和角的终边分别与单位圆交于，两点．
（Ⅰ）若点的横坐标是，点的纵坐标是，求的值；
（Ⅱ） 若∣AB∣=, 求的值.
解析：（Ⅰ）根据三角函数的定义得，
， ，2分
∵的终边在第一象限，∴．
∵的终边在第二象限，∴ ．
∴==+=
（Ⅱ）方法（1）∵∣AB∣=||=||，
又∵，
∴．∴．
方法（2）∵，
∴=．
2.利用二倍角公式解题
例2.已知函数.
（Ⅰ）求函数的最小正周期及单调递减区间；
（Ⅱ）求函数在上的最小值.
解析：（Ⅰ）
所以函数的最小正周期为.
由，，则.
则函数单调减区间是，.
(Ⅱ)由，得.
则当，即时，取得最小值.
3.拼角法
例3. 若
分析：注意的两变换，就有以下的两种解法.
解法一：由
解法二：
4.辅助角公式
例4.已知函数.
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）求在区间上的最值.
解析：（Ⅰ）因为.
所以的最小正周期．7分
（II）由
当，
当
5.三角函数的综合运用
例5.已知函数,其最小正周期为
(I)求的表达式;
(II)将函数的图象向右平移个单位,再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数的图象,若关于的方程,在区间上有且只有一个实数解,求实数k的取值范围.
【答案】解:(I)
由题意知的最小正周期,
所以 所以
(Ⅱ)将的图象向右平移个个单位后,得到的图象,再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到的图象.
所以
因为,所以.
在区间上有且只有一个实数解,即函数与在区间上有且只有一个交点,由正弦函数的图象可知或
所以或.
6.三角函数的最值问题
例6. 已知函数的图象的一部分如图所示.
(Ⅰ)求函数的解析式;
(Ⅱ)求函数的最大值和最小值.
解析：(Ⅰ)由图可知:,
最小正周期,所以
,即,又,所以 所以.
(Ⅱ)
由得,
所以,当,即时,取最小值;
当,即时,取最大值
例7.已知函数．
（Ⅰ）求的定义域及最小正周期；
（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值．
解析：（Ⅰ）因为，所以.
所以函数的定义域为
（Ⅱ）因为，所以
当时，即时，的最大值为；
当时，即时，的最小值为.
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