【命题探究】2014版高考数学知识点讲座：考点18平面向量的概念及线性运算（解析版）
加（*）号的知识点为了解内容，供学有余力的学生学习使用
一.考纲目标
向量及其表示，共线向量定理；两个向量共线的充要条件，向量的线性表示.
二.知识梳理
1.向量：既有大小又有方向的量.向量一般用……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：几何表示法 ，；坐标表示法 向量的大小即向量的模（长度），记作||即向量的大小，记作｜｜
向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小
2.零向量：长度为0的向量，记为，其方向是任意的，与任意向量平行零向量＝｜｜＝0 由于的方向是任意的，且规定平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别）
3.单位向量：模为1个单位长度的向量
向量为单位向量｜｜＝1
4.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上.方向相同或相反的向量，称为平行向量记作∥由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量
数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的
5.相等向量：长度相等且方向相同的向量.相等向量经过平移后总可以重合，记为大小相等，方向相同
6.向量加法
求两个向量和的运算叫做向量的加法
设，则+==
（1）；（2）向量加法满足交换律与结合律；
向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：
（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量
（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点
当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则.向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：
，但这时必须“首尾相连”．
7.向量的减法
① 相反向量：与长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量
记作,零向量的相反向量仍是零向量
关于相反向量有： （i）=； (ii) +()=()+=；
(iii)若、是互为相反向量，则=,=,+=
②向量减法：向量加上的相反向量叫做与的差，
记作：求两个向量差的运算，叫做向量的减法
③作图法：可以表示为从的终点指向的终点的向量（、有共同起点）
8.实数与向量的积
①实数λ与向量的积是一个向量，记作λ，它的长度与方向规定如下：
（Ⅰ）；
（Ⅱ）当时，λ的方向与的方向相同；当时，λ的方向与的方向相反；当时，，方向是任意的
②数乘向量满足交换律、结合律与分配律
9.两个向量共线定理
向量与非零向量共线有且只有一个实数，使得=
10.平面向量的基本定理
如果是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数使：其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底
11. 特别注意
（1）向量的加法与减法是互逆运算
（2）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件
（3）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况
（4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关
三．考点逐个突破
1.平面向量的基本概念
例1 给出下列命题：
① 若||＝||，则=；
② 若A，B，C，D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；
③ 若=，=，则=，
④=的充要条件是||=||且//；
⑤ 若//，//，则//，
其中正确的序号是
解：①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同
② 正确．∵ ，∴ 且，
又 A，B，C，D是不共线的四点，∴ 四边形 ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则，且，
因此，
③ 正确．∵ =，∴ ，的长度相等且方向相同；
又＝，∴ ，的长度相等且方向相同，
∴ ，的长度相等且方向相同，故＝
④ 不正确．当//且方向相反时，即使||=||，也不能得到=，故||=||且//不是=的充要条件，而是必要不充分条件
⑤ 不正确．考虑=这种特殊情况
综上所述，正确命题的序号是②③
点评：本例主要复习向量的基本概念．向量的基本概念较多，因而容易遗忘．为此，复习时一方面要构建良好的知识结构，另一方面要善于与物理中、生活中的模型进行类比和联想
2.向量的线性表示
例2. 如图，正六边形ABCDEF中，=
(A)0 (B) (C) (D)
答案：D
解析：.
3.共线向量
例3. 已知,,当为何值时，与平行？平行时它们是同向还是反向？
【答案】解：因为；
又
这时，所以当时，与平行，并且是反向的.
例4. 已知向量共线，则k= .
【答案】
【解析】，，因为与共线，所以有，即，所以.
4.综合运用
例5. 如右图,在△中, ,是上的一点,若,则实数的
值为
A. B C. 1 D. 3
【答案】A
【解析】因为，所以设，
则
,又，所以有，即，选A.
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