【命题探究】2014版高考数学知识点讲座：考点19平面向量的坐标运算、数量积（解析版） 加（*）号的知识点为了解内容，供学有余力的学生学习使用 一.考纲目标 掌握平面向量的基本定理，会进行向量的正交分解；理解平面向量坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算；平面向量的数量积及其几何意义；数量积的性质及运算规律；数量积的坐标表示；数量积的性质和平面向量的长度、夹角问题 二.知识梳理 1.平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底，由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量可表示成，由于与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量的坐标，记作=(x,y)，其中x叫作在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标 (1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量 (2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关 2.平面向量的坐标运算： 若，则 若，则 若=(x,y)，则=(x, y) 若，则 若，则 若，则 3.向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示和性质  运算类型 几何方法 坐标方法 运算性质  向 量 的 加 法 1平行四边形法则 2三角形法则      向 量 的 减 法 三角形法则      向 量 的 乘 法 是一个向量, 满足: >0时,与同向; <0时,与异向; =0时, =     ∥  向 量 的 数 量 积 是一个数 或时, =0 且时,      ,   4.两个向量的数量积： 已知两个非零向量与，它们的夹角为，则·=︱︱·︱︱cos 叫做与的数量积（或内积） 规定 5.向量的投影：︱︱cos=∈R，称为向量在方向上的投影投影的绝对值称为射影 6.数量积的几何意义： ·等于的长度与在方向上的投影的乘积 7.向量的模与平方的关系： 8.乘法公式成立： ；  9.平面向量数量积的运算律： ①交换律成立： ②对实数的结合律成立： ③分配律成立： 特别注意：（1）结合律不成立：； （2）消去律不成立不能得到 （3）=0不能得到=或= 10.两个向量的数量积的坐标运算： 已知两个向量，则·= 11.向量的夹角：已知两个非零向量与，作=, =,则∠AOB= （）叫做向量与的夹角 cos== 当且仅当两个非零向量与同方向时，θ=00，当且仅当与反方向时θ=1800，同时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题 12.垂直：如果与的夹角为900则称与垂直，记作⊥ 13.两个非零向量垂直的充要条件： ⊥·＝O平面向量数量积的性质 三.考点逐个突破 1.向量的坐标运算 例1.如图，△ABC中，AD＝DB，AE＝EC，CD与BE交于F，设＝a，＝b，＝xa＋yb，则(x，y)为 A. B. C. D. [答案]　C [解析]　设＝λ，∵E、D分别为AC、AB的中点， ∴＝＋＝－a＋b，＝＋＝(b－a)＋λ(a－b) ＝a＋(1－λ)b， ∵与共线，∴＝，∴λ＝，∴＝＋＝b＋＝b＋ ＝a＋b，故x＝，y＝. 2.向量共线的条件 例2.（1）已知向量a＝(sinx,1)，b＝(cosx，－3)，且a∥b，则tanx＝________. [答案]　－ [解析]　∵a∥b，∴＝，∴tanx＝－. (2)已知a＝(2，－3)，b＝(sinα，cos2α)，α∈，若a∥b，则tanα＝________. [答案]　－ [解析]　∵a∥b，∴＝，∴2cos2α＝－3sinα， ∴2sin2α－3sinα－2＝0，∵|sinα|≤1，∴sinα＝－， ∵α∈，∴cosα＝，∴tanα＝－. 3.平面向量的基本定理 例3. (1)已知e1＝(2,1)，e2＝(2，－1)，点P的坐标(x，y)满足方程－y2＝1，若＝ae1＋be2(a，b∈R，O为坐标原点)，则a、b满足的一个等式是________． [答案]　4ab＝1 [解析]　因为e1＝(2,1)，e2＝(2，－1)，所以＝ae1＋be2＝a(2,1)＋b(2，－1)＝(2a，a)＋(2b，－b)＝(2a＋2b，a－b)． 因为点P的坐标为(x，y)，所以＝(x，y)， 即.因为x，y满足方程－y2＝1，所以－(a－b)2＝1，化简可得4ab＝1， 此即为a、b满足的一个等式． (2)如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，F为AB上一点，且＝4，若＝x＋y，则x＝________，y＝________. [答案]　2　1 [解析]　(如图)因为＝＋＝＋＝＋×4＝＋2. 所以x＝2，y＝1. (3)在△ABC中，过中线AD的中点E任作一条直线分别交AB、AC于M、N两点，若＝x，＝y，则4x＋y的最小值为________． [答案]　 [解析]　 如图所示，由题意知＝(＋)，＝， 又M，E，N三点共线， 所以＝λ＋(1－λ)(其中0<λ<1)，又＝x，＝y， 所以(＋)＝λx＋(1－λ)y， 因此有解得x＝，y＝， 令＝t，∴t>1， 则4x＋y＝＋＝t＋ ＝(t－1)＋＋≥， 当且仅当t＝，即λ＝时取得等号． 4.向量的数量积 例4. （1）已知A、B、C是圆O：x2＋y2＝r2上三点，且＋＝，则·等于 A．0 　 B.　　 　C.　　　 D．－ [答案]　A [解析]　∵A、B、C是⊙O上三点，∴||＝||＝||＝r　(r>0)， ∵＋＝，∴·＝(－)·(＋)＝||2－||2＝0，故选A. （2）若等边三角形A BC的边长为2，平面内一点M满足＝＋，则·＝________. [答案]　－2 [解析]　以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A，B，C三点的坐标分别为(－，0)，(，0)，(0,3)．设M点的坐标为(x，y)，则＝(x，y－3)，＝(，－3)，＝(－，－3)， 又＝＋，即(x，y－3)＝(－，－)，可得M(－，)，所以·＝－2. 5.向量的模 例5．设角A，B，C是△ABC的三个内角，已知向量m＝(sinA＋sinC，sinB－sinA)，n＝(sinA－sinC，sinB)，且m⊥n. (1)求角C的大小； (2)若向量s＝(0，－1)，t＝，试求|s＋t|的取值范围． [解析]　(1)由题意得m·n＝(sin2A－sin2C)＋(sin2B－sinAsinB)＝0，即sin2C＝sin2A＋sin2B－sinAsinB，由正弦定理得c2＝a2＋b2－ab，再由余弦定理得cosC＝＝. 因为00)，a，b的夹角为θ，由题设知(a＋b)2＝c2，即2m2＋2m2cosθ＝m2，得cosθ＝－.又0°≤θ≤180°，所以θ＝120°，即a，b的夹角为120°，故选B. (2)若向量a、b满足|a|＝|b|＝1，(a＋b)·b＝，则向量a、b的夹角为 A．30° B．45° C．60° D．90° [答案]　C [解析]　∵(a＋b)·b＝b2＋a·b＝1＋a·b＝， ∴a·b＝，即|a||b|cos〈a，b〉＝，∴cos〈a，b〉＝， ∴〈a，b〉＝60°，故选C. 7.向量的投影 例7.(1) 已知向量a，b满足|b|＝2，a与b的夹角为60°，则b在a上的射影数量是 A.　　　　 B．1　　　　C．2　　　　 D．3 [答案]　B [解析]　向量b在a上的射影数量为l＝＝|b|·cos60°＝1. (2)已知点A、B、C在圆x2＋y2＝1上，满足2＋＋＝0(其中O为坐标原点)，又||＝||，则向量在向量方向上的射影数量为 A．1 B．－1 C. D．－ [答案]　C [解析]　由2＋＋＝(＋)＋(＋)＝＋＝0得，＝－，即O、B、C三点共线． 又||＝||＝1，故向量在向量方向上的射影数量为||cos＝. 8.向两平行于垂直的充要条件 例8.(1) 在△ABC中，a、b、c分别是∠A，∠B，∠C所对的边，设向量m＝(b－c，c－a)，n＝(b，c＋a)，若m⊥n，则∠A的大小为 A. B. C. D. [答案]　B [解析]　m·n＝b(b－c)＋c2－a2＝c2＋b2－a2－bc＝0，∴cosA＝＝，∵0
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