【命题探究】2014版高考数学知识点讲座：考点2命题及其关系、充分条件与必要条件（解析版） 加（*）号的知识点为了解内容，供学有余力的学生学习使用 一、考纲目标 理解
命题的概念
；了解“若p，则q”形式的命题的逆命题、否命题和逆否命题，会分析四种命题的相互关系；理解必要条件、充分条件与充要条件的意义 二、知识梳理 1.命题的概念：在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题. 其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题. 2.四种命题的形式： 原命题：若P则q； 逆命题：若q则p； 否命题：若┑P则┑q；逆否命题：若┑q则┑p 3.四种命题之间的相互关系： 一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：(原命题
逆否命题) 原命题为真，它的逆命题不一定为真 原命题为真，它的否命题不一定为真 原命题为真，它
的逆否命题一定为真 4.充分条件、必要条件、充要条件 （1）若p
q（或若┐q
┐p），则说p是q的充分条件，q是p的必要条件. （2）如果既有p
q，又有q
p，就记作p
q.此时，p既是q的
充分条件，p又是q的必要条件，我们就说，p是q的充分必要条件，简称充要条件.（当然此时也可以说q是p的充要条件） 5.几个相关的概念 若p
q，但p
q，则说p是q的充分而不必要条件； 若p
q，但p
q，则说p是
q的必要而不充分条件； 若p
q，且p
q，则说p是
q的既不充分也不必要条件. 6（*）.用集合的观点对“充分”、“必要”、“充要”三种条件进行概括 有两种说法：⑴若A
B，则
A是B的充分条件，
B是A的必要条件；若A=B，则A是B的充要条件（此时B也是A的充要条件）. 在含有变量的命题中，凡能使命题为真的变量x的允许值集合，叫做此命题的真值集合.
⑵若p
q，说明p的真值集合
q的真值集合，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若p
q，说明p
，q的真值集合相等，即p，q等价，则p是q充要条件（此时q也是p的充要条件）. 三、考点逐个突破 1.四种命题的关系及真假判断 例1. 以下关于命题的说法正确的有________ (填写所有正确命题的序号). ①“若log2a>0，则函数f(x)＝logax (a>0，a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题； ②命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”； ③命题“若x, y都是偶数,则x＋y也是偶数”的逆命题为真命题； ④命题“若a∈M，则b?M”与命题“若b∈M，则a?M”等价. 解析：对于①，若log2a>0，则a>1 (f(x)＝logax在其定义域内是增函数; 对于③，其逆命题是“若x＋y是偶数,则x, y都是偶数”, 是假命题.所以选②④ 2.充分、必要、充要条件的概念与判断 例2.指出下列命题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”
、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种作答). (1)在△ABC中，p：∠A＝∠B，q：sin A＝sin B； (2)对于实数x、y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6； (3)非空集合A、B中，p：x∈A∪B，q：x∈B； (4)已知x、y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0， q：(x－1)(y－2)＝0. 解：
，
∴p是q的充要条件. (2) (p：x＋y＝8，( q：x＝2且y＝6，显然( q ((p，
即( q是 (p的充分不必要条件，所以p是q的充分不必要条件. (3)显然x∈A∪B不一定有x∈B , 但x∈B一定有x∈A∪B , 所以p是q的必要不充分条件. (4)条件p：x＝1且y＝2，条件q：x＝1或y＝2, 所以p (q ，

故p是q的充分不必要条件. 3.充要条件的证明 例3.在
中，“
”是“
”的什么条件？ 解:在
中，角A、B的对边分别是

是
的外接圆的半径． 一方面，因为 A

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