【命题探究】2014版高考数学知识点讲座：考点22等差数列（解析版）
加（*）号的知识点为了解内容，供学有余力的学生学习使用
一.考纲目标
等差树立的定义、通项、前n项和与性质；等差数列性质的应用
二.知识梳理
1.等差数列的定义:
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示
2.等差数列的判定方法:
定义法：对于数列，若(常数)，则数列是等差数列
等差中项：对于数列，若，则数列是等差数列
3.等差数列的通项公式:
如果等差数列的首项是，公差是，则等差数列的通项为，该公式整理后是关于n的一次函数
4.等差数列的前n项和:
，
对于公式2整理后是关于n的没有常数项的二次函数
5.等差中项:
如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项即：或
在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项
6.等差数列的性质:
等差数列任意两项间的关系：如果是等差数列的第项，是等差数列的第项，且，公差为，则有
对于等差数列，若，则
也就是：
若数列是等差数列，是其前n项的和，，那么，，成等差数列，如下图所示：
7.奇数项和与偶数项和的关系：
设数列是等差数列，是奇数项的和，是偶数项项的和，是前n项的和，则有如下性质：
前n项的和
当n为偶数时，，其中d为公差；
当n为奇数时，则，，，，（其中是等差数列的中间一项）
8.前n项和与通项的关系：
若等差数列的前项的和为，等差数列的前项的和为，则
三．考点逐个突破
1.等差数列的通项
例1.（1） 已知数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)(n∈N＋)在函数f(x)＝3x2－2x的图象上．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
[解析] (1)由已知点(n，Sn)(n∈N＋)在函数f(x)＝3x2－2x的图象上，可得Sn＝3n2－2n.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n－3(n－1)2＋2(n－1)＝6n－5，
当n＝1时，a1＝S1＝1也适合上式，∴an＝6n－5.
(2)bn＝＝
＝(－)，
∴Tn＝(－＋－＋…＋－)
＝(1－)＝－.
（2） 如果一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32:27，求公差； 分析：等差数列的奇数项成等差数列，偶数项也成等差数列，等差数列中通项公式和前n项和公式中五个量，只要知道其中三个，就可以求其它两个，而是基本量 解：设等差数列首项为，公差为d，则
2.等差数列的前n项和
例2 .设{an}是公比为正数的等比数列，a1＝2，a3＝a2＋4.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{an＋bn}的前n项和Sn.
[解析] (1)设等比数列{an}的公比为q，由a1＝2，a3＝a2＋4得2q2＝2q＋4，即q2－q－2＝0，
解得q＝2或q＝－1(舍)，∴q＝2，
∴an＝a1·qn－1＝2·2n－1＝2n
(2)数列bn＝1＋2(n－1)＝2n－1，
∴Sn＝＋[n×1＋×2]
＝2n＋1＋n2－2.
3.等差数列性质的应用
例3.(1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且＝，则＝
A. B. C. D.
[答案] D
[解析] 设a1＋a2＋a3＋a4＝A1，a5＋a6＋a7＋a8＝A2，a9＋a10＋a11＋a12＝A3，a13＋a14＋a15＋a16＝A4，∵数列{an}为等差数列，∴A1、A2、A3、A4也成等差数列，＝＝，不妨设A1＝1，则A2＝2，A3＝3，A4＝4，＝＝＝，故选D
(2) 项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，求这个数列的中间项及项数
解：设数列共2m+1 （m∈N*）把该数列记为｛an｝
依题意a1+a3+……+a2m+1=44 且a2+a4+……+a2m=33
即 (a2+a2m)=33 （1）
(a1+a2m)=44 （2）
（1）÷（2）得 ∴m = 3代入（1）得a2+a2m = 22
∴am+1==11
即该数列有7项，中间项为11
4.有关等差数列的最值问题
例4.（1）设等差数列{an}的前n项和为Sn已知a3=12, S12＞0,S13＜0 (Ⅰ)求公差d的取值范围； (Ⅱ)指出S1,S2,…,S12,中哪一个值最大,并说明理由 解： (Ⅰ)依题意,有 ，即 由a3=12,得 a1=12－2d (3)将(3)式分别代入(1),(2)式,得 ，∴ (Ⅱ)由d＜0可知 a1＞a2＞a3＞…＞a12＞a13 因此,若在1≤n≤12中存在自然数n,使得an＞0,an+1＜0, 则Sn就是S1,S2,…,S12中的最大值 由于 S12=6(a6+a7)＞0, S13=13a7＜0，即 a6+a7＞0, a7＜0 由此得 a6＞－a7＞0因为a6＞0, a7＜0,故在S1,S2,…,S12中S6的值最大
(2) 设等差数列{an}的前n项和为Sn且S15>0，S16<0，则，，…，中最大的是
A. B. C. D.
[答案] C
[解析] ??
∴0S9>S10>…>S15>0>S16，a1>a2>…>a8>0>a9，
∴最大,故选C
5.等差数列的综合运用
例5.(1)在直角坐标平面上有一点列，对一切正整数，点位于函数的图象上，且的横坐标构成以为首项， 为公差的等差数列
⑴求点的坐标；
⑵设抛物线列中的每一条的对称轴都垂直于轴，第条抛物线的顶点为，且过点，记与抛物线相切于的直线的斜率为，求：
⑶设，等差数列的任一项，其中是中的最大数，，求的通项公式
解：（1）
（2）的对称轴垂直于轴，且顶点为
设的方程为：
把代入上式，得，
的方程为：
，
=
（3），
T中最大数
设公差为，则，
由此得
说明：本例为数列与解析几何的综合题，难度较大（1）、（2）两问运用几何知识算出，解决（3）的关键在于算出及求数列的公差
（2）已知等差数列{an}中，公差d>0，前n项和为Sn，a2·a3＝45，a1＋a5＝18
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn＝(n∈N*)，是否存在一个非零常数c，使数列{bn}也为等差数列？若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由．
[分析] 第(1)问是求等差数列的通项公式，需要知道首项a1和公差d的值，由条件a2·a3＝45，a1＋a5＝18建立方程组不难求得；第(2)问是构造一个等差数列{bn}，可考虑利用等差数列的定义，研究使bn＋1－bn(n∈N*)为一个常数时需要满足的条件．
[解析] (1)由题设知{an}是等差数列，且公差d>0，
则由得
解得
所以an＝4n－3(n∈N*)．
(2)由bn＝＝＝，
因为c≠0，所以可令c＝－，得到bn＝2n.
因为bn＋1－b n＝2(n＋1)－2n＝2(n∈N*)，
所以数列{bn}是公差为2的等差数列．
即存在一个非零常数c＝－，使数列{bn}也为等差数列．
【点此下载】