【命题探究】2014版高考数学知识点讲座：考点23等比数列（解析版） 加（*）号的知识点为了解内容，供学有余力的学生学习使用 一.考纲目标 等比数列的定义、通项公式、前n项和及等比数列的基本性质；等比数列的应用. 二.知识梳理 1.等比数列的概念：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（） 2.等比中项：如果在与之间插入一个数，使，，成等比数列，那么叫做与的等比中项，也就是，如果是的等比中项，那么，即 3.等比数列的判定方法： ①定义法：对于数列，若，则数列是等比数列 ②等比中项：对于数列，若，则数列是等比数列 4．等比数列的通项公式：如果等比数列的首项是，公比是，则等比数列的通项为或着 5．等比数列的前n项和：   当时， 当时，前n项和必须具备形式 6．等比数列的性质： ①等比数列任意两项间的关系：如果是等比数列的第项，是等差数列的第项，且，公比为，则有 对于等比数列，若，则 也就是： 如图所示： ③若数列是等比数列，是其前n项的和，，那么只有当公比且k为偶数时,，，不成等比数列如下图所示：  三、考点逐个突破 1.等比数列的概念与通项公式 例1.(1) 已知等比数列的公比为正数，且·=2，=1，则= A.  B.  C.  D.2 【答案】B 【解析】设公比为,由已知得,即,又因为等比数列的公比为正数，所以,故,选B （2）已知等比数列满足，且，则当时，  A.  B.  C.  D.  【解析】由得，，则，  ，选C. （3）设等比数列{}的前n项和为.若，则= 答案：3 解析：本题考查等比数列的性质及求和运算，由得q3=3故a4=a1q3=3. （4）等比数列中，已知 （I）求数列的通项公式； （Ⅱ）若分别为等差数列的第3项和第5项，试求数列的通项公式及前项和. 解：（I）设的公比为 由已知得，解得 （Ⅱ）由（I）得，，则， 设的公差为，则有解得 从而 所以数列的前项和 2.等比数列的前n项和公式 例2.(1) 等比数列{}的公比, 已知=1，，则{}的前4项和 = 【答案】 【解析】由得：，即，，解得：q＝2，又=1，所以，，＝. (2) 等比数列{}的前n 项和为，已知,,成等差数列 （1）求{}的公比q； （2）求－＝3，求 解：（Ⅰ）依题意有  ， 由于，故 又，从而 （Ⅱ）由已知可得 故 从而 3.等比数列的性质 例3.（1）等比数列中，各项均为正数，且，求 解：设等比数列首项为，公比为q，则  另法：， 将两式相加得 又因为数列中，各项均为正数，所以＝7. （2）在和之间插入n个正数，使这个数依次成等比数列，求所插入的n个数之积； 解法1：设插入的n个数为，且公比为q 则 解法2：设插入的n个数为，     说明：第一种解法利用等比数列的基本量，先求公比，后求其它量，这是解等差数列、等比数列的常用方法，其优点是思路简单、实用，缺点是有时计算较繁；第二种解法利用等比数列的性质，与“首末项等距”的两项积相等，这在解题中常用到； 4.等比数列的判断与证明 例4.等比数列{}的前n项和为， 已知对任意的 ，点，均在函数且均为常数)的图像上. （1）求r的值； （11）当b=2时，记  证明：对任意的 ，不等式成立 解:因为对任意的,点，均在函数且均为常数的图像上.所以得,当时,,当时,,又因为{}为等比数列,所以,公比为, （2）当b=2时，,  则,所以 下面用数学归纳法证明不等式成立. 当时,左边=,右边=,因为,所以不等式成立. 假设当时不等式成立,即成立.则当时,左边=  所以当时,不等式也成立. 由①、②可得不等式恒成立.
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