【命题探究】2014版高考数学知识点讲座：考点24数列的综合问题与数列的应用（解析版）
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一.考纲目标
等差、等比数列的综合运用；灵活运用数列知识、解决有关数列的综合问题.
二.知识梳理
（一）.数列的知识结构
（二）.数列总论
1.数列是特殊的函数，有些题目可结合函数知识去解决，体现了函数思想、数形结合的思想．
2.等差、等比数列中，a、、n、d(q)、 “知三求二”，体现了方程(组)的思想、整体思想，有时用到换元法
3.求等比数列的前n项和时要考虑公比是否等于1，公比是字母时要进行讨论，体现了分类讨论的思想
4.数列求和的基本方法有：公式法，倒序相加法，错位相减法，拆项法，裂项法，累加法，等价转化等．
（三）.等差数列
1相关公式：
（1）定义：
（2）通项公式： （3）前n项和公式： （4）通项公式推广： 2等差数列的一些性质 （1）对于任意正整数n，都有 （2）的通项公式 （3）对于任意的整数，如果，那么 （4）对于任意的正整数，如果，则 （5）对于任意的正整数n>1，有 （6）对于任意的非零实数b，数列是等差数列，则是等差数列 （7）已知是等差数列，则也是等差数列 （8）等都是等差数列 （9）是等差数列的前n项和，则 仍成等差数列，即 （10）若，则 （11）若，则 （12），反之也成立
（四）.等比数列
1相关公式： （1）定义： （2）通项公式： （3）前n项和公式： （4）通项公式推广： 2等比数列的一些性质 （1）对于任意的正整数n，均有 （2）对于任意的正整数,如果，则
（3）对于任意的正整数，如果，则 （4）对于任意的正整数n>1,有 （5）对于任意的非零实数b，也是等比数列 （6）已知是等比数列，则也是等比数列 （7）如果，则是等差数列 （8）数列是等差数列，则是等比数列 （9）等都是等比数列
(10)是等比数列的前n项和，
①当q=－1且k为偶数时，不是等比数列
②当q≠－1或k为奇数时， 仍成等比数列 （五）.数列前n项和 1.拆项法求数列的和，如an=2n+3n
2.错位相减法求和，如an=(2n-1)2n
（非常数列的等差数列与等比数列的积的形式）
3.分裂项法求和，如an=1/n(n+1)
（分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式）
4.反序相加法求和，如an=
5.求数列{an}的最大、最小项的方法：
①an+1-an=…… 如an= -2n2+29n-3
② (an>0) 如an=
③ an=f(n) 研究函数f(n)的增减性 如an=
三．考点逐个突破
1.等差、等比数列的综合问题
例1.(1) 设等比数列的公比为,其前项的积为,并且满足条件
,,.给出下列结论:
① ; ② ;
③ 的值是中最大的;④ 使成立的最大自然数等于198.其中正确的结论是
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】B
①由得，由得，即，所以，所以①正确.②因为，，所以，即②错误.③，，所以③错误.④，而，所以使成立的最大自然数等于198，所以④正确.所以选B.
(2)在数列中,如果对任意的,都有(为常数),则称数列为比等差
数列,称为比公差.现给出以下命题:
①若数列满足,则该数列不是比等差数列;
②若数列满足,则数列是比等差数列,且比公差;
③等比数列一定是比等差数列,等差数列一定不是比等差数列;
④若是等差数列,是等比数列,则数列是比等差数列.
其中所有真命题的序号是____ .
【答案】①②
①由得.，因为，，所以，即①数列不是比等差数列.所以①正确.②若数列满足，则，所以为常数，所以数列是比等差数列，且比公差，正确.③若等比数列的公比为,则为常数，所以一定是比等差数列.当等差数列为时，有，为比等差数列.所以③错误.④若是等差数列，是等比数列，不妨设，则，所以，，所以不是常数，所以数列不是比等差数列，所以④错误，即真命题的序号①②.
(3) 已知数列的前项和为，且满足：，N*，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若存在N*，使得，，成等差数列，是判断：对于任意的N*，且，，，是否成等差数列，并证明你的结论．
本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，同时考查推理论证能力，以及特殊与一般的思想.
解：（I）由已知可得，两式相减可得
即
又所以r=0时，
数列为：a，0，…，0，…；
当时，由已知（），
于是由可得， 成等比数列，
，
综上，数列的通项公式为
（II）对于任意的，且成等差数列，证明如下：
当r=0时，由（I）知，
对于任意的，且成等差数列，
当，时，
若存在，使得成等差数列，
则，
由（I）知，的公比，于是
对于任意的，且
成等差数列，
综上，对于任意的，且成等差数列.
2.数列与圆锥曲线知识的综合运用
例2. 数列{an}的前n项和Sn=na+(n─1)nb,(n=1,2,…),a,b是常数，且b≠0,
①求证{an}是等差数列；
②求证以(an,Sn/n─1)为坐标的点Pn都落在同一直线上，并求出直线方程；
③设a=1,b=1/2,C是以(r,r)为圆心，r为半径的圆(r>0),求使得点P1,P2,P3都落在圆外的r?的取值范围
证明：①根据得an=a+(n─1)( 2b,
∴{an}是等差数列，首项为a,公比为2b
②由x=an=a+(n─1)(2b, y=Sn/n─1=a+(n─1)b
两式中消去n,得：x─2y+a─2=0,
（另外算斜率也是一种办法）
(3)P1(1,0),P2(2,1/2),P3(3,1),它们都落在圆外的条件是：
(r─1)2+r2>r2; (r─2)2+(r─1/2)2>r2; (r─3)2+(r─1)2>r2
∴ r的取值范围是(1,5/2─)∪(0,1)∪(4+,+∞)
3.数列与三角函数知识的综合运用
例3. 设，，在中，正数的个数是
A．25 B．50 C．75 D．100
【答案】D
【解析】当1≤≤24时，＞0，当26≤≤49时，＜0，但其绝对值要小于1≤≤24时相应的值，当51≤≤74时，＞0，当76≤≤99时，＜0，但其绝对值要小于51≤≤74时相应的值，∴当1≤≤100时，均有＞0.
【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质和间接法解题.解决此类问题主要找到规律，从题目出发可以看出来相邻的14项的和为0，这就是规律，考查综合分析问题和解决问题的能力.
4.数列与方程
例4. 等差数列{an}中，已知公差d≠0,an≠0,设方程arx2+2ar+1x+ar+2=0 (r∈N)是关于x的一组方程
①证明这些方程中有公共根，并求这个公共根；
②设方程arx2+2ar+1x+ar+2=0的另一根记为mr,证明：数列{1/(mr+1)}是等差数列
解：①依题意，由{an}是等差数列，有ar+ar+2=2ar+1 (r∈N),即x=─1时，方程成立，因此方程恒有实数根x=─1;
②设公差为d(化归思想),先解出方程的另一根mr=─ar+2/ar,
∴ 1/(mr+1)=ar/(ar─ar+2)=─ar/(2d),
∴ 1/(mr+1+1)─1/(mr+1)= 〔─ar+1/(2d)〕─〔─ar/(2d)〕=─1/2,
∴ {1/(mr+1)}是等差数列
5.数列的实际应用
例5. （1）某林场原有森林木材量为a，木材以每年25%的增长速度增长，而每年要砍伐的木材量为r,为使经过20年木材存量翻两番，求每年的最大砍伐量x（取lg2=03)
解：用归纳法求解，
第一年存量：125a─x;
第二年存量：125(125a─x)─x=a(1252─x(1+125);
第三年存量：125([a(1252─x(1+125)]─x=a(1253─x(1+125+1252);
……
第20年末存量：a(12520─x(1+125+1252+…+12519)=a(12520─4x(1─12520)
依题意：a(12520─4x(1─12520)=4a,
又设y=12520(lgy=20lg125=20(1─3lg2)=2
∴ y=100,即12520=100(x=8a/33
答：每年的最大砍伐量为8a/33
（2） 某地区现有耕地面积10000公顷，规划10年后粮食单产比现在提高22%,人均粮食占有量比现在提高10%,如果人口年增长率为1%,那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷？(精确到1公顷)
解法一：以粮食单产比现在提高22%为目标建立数学模型，设现有的人口为A人，人均粮食占有量为b吨，平均每年减少耕地x公顷，由题意可知：
(
解得：,
再用二项式定理进行计算可得：x(4
解法二：以10年后人均粮食占有量比现在提高10%为目标建立数学模型，粮食单产为a吨/公顷， 可得：
((x(4 (公顷)
6.数列与函数
例6. （1）对正整数n,设曲线在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为,则
的前n项和是_____________.
【答案】
【解析】曲线,曲线导数为,所以切线效率为,切点为,所以切线方程为,令得,,即,所以,所以,是以2为首项,为公比的等比数列,所以.
（2）已知函数f(x)=,把函数g(x)=f(x)-x的零点按从小到大的顺序排列成
一个数列,则该数列的通项公式为
A． B． C． D．
【答案】B
若0
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