【命题探究】2014版高考数学知识点讲座：考点25 不等式的性质及解法 加（*）号的知识点为了解内容，供学有余力的学生学习使用 一.考纲目标 不等式的性质；一元二次不等式的解法 二.知识梳理 1.实数的大小顺序与运算性质之间的关系：


2.不等式的性质： （1）
，
（反对称性） （2）
，
（传递性） （3）
，故
（移项法则） 推论：
（同向不等式相加） （4）
，
推论1：
推论2：
;推论3：
3.解不等式问题的分类 (1)解一元一次不等式．(2)解一元二次不等式 (3)可以化为一元一次或一元二次不等式的不等式． ①解一元高次不等式；②解分式不等式；③解无理不等式； ④解指数不等式；⑤解对数不等式；⑥解带绝对值的不等式； ⑦解不等式组． 4.解不等式时应特别注意下列几点： (1)正确应用不等式的基本性质 (2)正确应用幂函数、指数函数和对数函数的增、减性 (3)注意代数式中未知数的取值范围 5.不等式的同解性



(5)|f(x)|＜g(x)与－g(x)＜f(x)＜g(x)同解．(g(x)＞0) (6)|f(x)|＞g(x) 与 ①f(x)＞g(x)或f(x)＜－g(x)(其中g(x)≥0)；②g(x)＜0同解

(9)当a＞1时，af(x)＞ag(x)与f(x)＞g(x)同解， 当0＜a＜1时，af(x)＞ag(x)与f(x)＜g(x)同解

6.零点分段法：高次不等式与分式不等式的简洁解法 步骤：①形式：
②首项系数符号>0——标准式，若系数含参数时，须判断或讨论系数的符号，化负为正 ③判断或比较根的大小 7.绝对值不等式
与
型不等式
与
型不等式的解法与解集： 不等式
的解集是
; 不等式
的解集是
不等式
的解集为
; 不等式
的解集为
8.解一元一次不等式
①
②
9.韦达定理： 方程
（
）的二实根为
、
， 则
且
①两个正根，则需满足
， ②两个负根，则需满足
， ③一正根和一负根，则需满足
10.一元二次不等式的解法步骤 对于一元二次不等式
，设相应的一元二次方程
的两根为
，
，则不等式的解的各种情况如下表： 


 二次函数
（
）的图象 





 一元二次方程
有两相异实根
有两相等实根
无实根  


 R  



 方程的根→函数草图→观察得解，对于
的情况可以化为
的情况解决 注意：含参数的不等式ax
＋bx＋c>0恒成立问题
含参不等式ax
＋bx＋c>0的解集是R；其解答分a＝0(验证bx＋c>0是否恒成立)、a≠0（a<0且△<0）两种情况 三．考点逐个突破 1.不等式的性质 例1.（1） 已知三个不等式：①ab>0 ②bc>ad ③
>
,以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可以组成多少个正确的命题？并写出这些命题 解：可以组成下列3个命题 命题一：若ab>0，
>
, 则bc>ad 命题二：若ab>0，bc>ad 则
>
, 命题三：若
>
, bc>ad 则ab>0 由不等式的性质得知这三个命题均为真命题 （2）有三个条件：（1）ac2>bc2；(2)
＞
；(3)a2>b2，其中能分别成为a>b的充分条件的个数有 A．0 B．1 C．2 D．3 解：（1）由ac2>bc2可知c2>0，即a>b，故ac2>bc2是a>b的充分条件（2）c<0时，ab的充分必要条件，故答案选B 2.数的大小的比较 例2. 设
,则 A．

B．
C．

D．

【答案】A 【解析】
,,
,,
,所以
,选A 3.含绝对值不等式的解法 例3. （1）已知不等式
≤
的解集不是空集,则实数
的取值范围是 A．
<2 B．
≤2 C．
>2 D．
≥2 【答案】D因为
的最小值为2,所以要使不等式的解集不是空集,则有
,选D （2）如果不等式
和不等式
有相同的解集,则 A．
B．
C．
D．
【答案】C 【解析】由不等式
可知
,两边平方得
,整理得
,即
.又两不等式的解集相同,所以可得
,选 C （3）解不等式（1）
；（2）
解：（1）原不等式化为：

（2）原不等式化为：
解得

4.一元二次不等式的解法 例4.（1）已知不等式

解：由题意可知
且－5和1是方程
的两根
故
的值分别为
（2）解不等式
解：（1）当
时，不等式的解集为
（2）当
即
时，有
综上所述，原不等式的解集为
5.简单分式、高次不等式的解法 例5.(1) 解不等式
解：由
其零点分别为：-1,0,1(二重),2 ，画出数轴如下：
由图知，原不等式的解集为
(2) 求不等式组
的解集 解法一：由题设x>0，
，得
，即
，
， 原不等式组等价于 （1）
； （2）
由（1）得
，由（2）得
， 故原不等式组解集为
解法二：由已知条件可知
两边平方，原不等式组等价于
即原不等式组解集为
(3) 不等式
的解集为 A.
B.
C.
D.
对 【答案】A 【解析】原不等式等价于
或
，即
或
，所以不等式的解为
，选A 6.指对不等式的解法 例6.（1）
介于两个连续自然数之间，这两个数是 答案：3, 4 提示：
=lg(24×32×7)=lg1008, ∴3<
<4 （2）a>0, a≠1，P＝log a(a3+1), Q=log a(a2+1), 则P、Q的大小关系是 A.P>Q B.Pb>0, 0 b·lg(sinx) B.a·lg(sinx)< b·lg(sinx) C.a·lg(sinx)≥ b·lg(sinx) D.a·lg(sinx)≤ b·lg(sinx) 答案：D 提示：lg(sinx)≤0, ∴a·lg(sinx)≤ b·lg(sinx) 7.简单无理不等式 例7. 若a>0, b>0, a＋b=1，比较大小：
2
答案: ≤ 8.含参数不等式的问题 例8. (1)解关于
的不等式
解：原不等式化为

(2)若不等式
对于x取任何实数均成立，求k的取值范围 解：∵






(∵4x2+6x+3恒正)， ∴原不等式对x取任何实数均成立，等价于不等式2x2-2(k-3)x+3-k>0对x取任何实数均成立 ∴
=[-2(k-3)]2-8(3-k)<0
k2-4k+3<0
1

---

【点此下载】