【命题探究】2014版高考数学知识点讲座：考点30直线的方程与两条直线的位置关系（解析版）
加（*）号的知识点为了解内容，供学有余力的学生学习使用
一.考纲目标
直线的倾斜角与斜率的概念；直线方程的各种形式及适应条件；两直线平行与垂直的判定与应用；点到直线的距离公式、两点间的距离公式；直线方程各种形式适应条件的掌握；含参数的直线的位置关系的确定；
二.知识梳理
1数轴上两点间距离公式：
2直角坐标平面内的两点间距离公式：
3直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角
当直线和x轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0°
可见，直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°
4直线的斜率：倾斜角α不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k表示，即k=tanα（α≠90°）
倾斜角是90°的直线没有斜率；倾斜角不是90°的直线都有斜率，其取值范围是（－∞，+∞）
5直线的方向向量：设F1（x1，y1）、F2（x2，y2）是直线上不同的两点，则向量=（x2－x1，y2－y1）称为直线的方向向量
向量=（1，）=（1，k）也是该直线的方向向量，k是直线的斜率特别地，垂直于轴的直线的一个方向向量为＝(0,1)
6求直线斜率的方法
①定义法：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则斜率k=tanα
②公式法：已知直线过两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），且x1≠x2，则斜率k=
③方向向量法：若=（m，n）为直线的方向向量，则直线的斜率k=
平面直角坐标系内，每一条直线都有倾斜角，但不是每一条直线都有斜率
对于直线上任意两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），当x1=x2时，直线斜率k不存在，倾斜角α=90°；7直线方程的五种形式
点斜式：， 斜截式：
两点式：， 截距式：
一般式：
8特殊情况下的两直线平行与垂直
当两条直线中有一条直线没有斜率时：
(1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，互相平行；
(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直
9斜率存在时两直线的平行与垂直：
两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，则它们平行，即=且
已知直线、的方程为：，
：
∥的充要条件是
⑵两条直线垂直的情形：如果两条直线的斜率分别是和，则这两条直线垂直的充要条件是
已知直线和的一般式方程为：，
：，则
10.直线到的角的定义及公式：
直线按逆时针方向旋转到与重合时所转的角,叫做到的角. 到的角：0°＜＜180°， 如果如果，
11直线与的夹角定义及公式:
到的角是, 到的角是π-,当与相交但不垂直时, 和π-仅有一个角是锐角,我们把其中的锐角叫两条直线的夹角.当直线⊥时,直线与的夹角是.夹角：0°＜≤90°
如果如果，
12两条直线是否相交的判断
两条直线是否有交点，就要看这两条直线方程所组成的方程组：
是否有惟一解
13点到直线距离公式：
点到直线的距离为：
14两平行线间的距离公式
已知两条平行线直线和的一般式方程为：，
：，则与的距离为
15直线系方程:若两条直线：，：有交点，则过与交点的直线系方程为＋或
+ (λ为常数)。
三．考点逐个突破
1.直线的倾斜角和直线的斜率
例1.（1）直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是________．
[答案] －2或1
[解析] 令x＝0得y＝2＋a，令y＝0得x＝，
由条件知2＋a＝，∴a＝－2或1.
（2）若直线m被两平行线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2，则m的倾斜角可以是
①15° ②30° ③45° ④60° ⑤75°
其中正确答案的序号为________．(写出所有正确答案的序号)
[答案] ①⑤[解析] 求得两平行线间的距离为，则m与两平行线的夹角都是30°，而两平行线的倾斜角为45°，则m的倾斜角为75°或15°，故填①⑤.
(3) 若三直线l：2x＋3y＋8＝0，l2：x－y－1＝0，l3：x＋ky＋k＋＝0能围成三角形，则k不等于
A. B．－2 C.和－1 D.、－1和－
[答案] D
[解析] 由得交点P(－1，－2)，
若P在直线x＋ky＋k＋＝0上，则k＝－.
此时三条直线交于一点；
k＝时，直线l1与l3平行．
k＝－1时，直线l2与l3平行，
综上知，要使三条直线能围成三角形，应有k≠－，和－1.
（4）数y＝asinx－bcosx的图象的一条对称轴方程为x＝，则直线ax－by＋c＝0的倾斜角为
A．45° B．60° C．120° D． 135°
[答案] D
[分析] 由函数的对称轴方程可以得到a、b的关系式，进而可求得直线ax－by＋c＝0的斜率k，再由k＝tanα可求倾斜角α.
[解析] 令f(x)＝asinx－bcosx，
∵f(x)的一条对称轴为x＝，
∴f(0)＝f，即－b＝a，∴＝－1.
∴直线ax－by＋c＝0的斜率为－1，倾斜角为135°.
2.直线方程的几种形式
例2.(1) 过点A(3，－1)作直线l交x轴于点B，交直线l1：y＝2x于点C，若|BC|＝2|AB|，求直线l的方程．
[解析] 当k不存在时B(3,0)，C(3,6)
此时|BC|＝6，|AB|＝1，|BC|≠2|AB|，
∴直线l的斜率存在，
∴设直线l的方程为：y＋1＝k(x－3)，
令y＝0得B(3＋，0)，
由得C点横坐标xc＝
若|BC|＝2|AB|则|xB－xC|＝2|xA－xB|，
∴|－－3|＝2||，
∴－－3＝或－－3＝－，
解得k＝－或k＝.
∴所求直线l的方程为：3x＋2y－7＝0或x－4y－7＝0.
(2) 已知两直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的交点为P（2，3），求过两点Q1（a1，b1）、Q2（a2，b2）（a1≠a2）的直线方程
分析：利用点斜式或直线与方程的概念进行解答
解：∵P（2，3）在已知直线上，∴ 2a1+3b1+1=0，2a2+3b2+1=0
∴2（a1－a2）+3（b1－b2）=0，即=－
∴所求直线方程为y－b1=－（x－a1）
∴2x+3y－（2a1+3b1）=0，即2x+3y+1=0
3.两条直线的平行与垂直
例3.（1） a＝2”是“直线2x＋ay－1＝0与直线ax＋2y－2＝0平行”的
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] B
[解析] 两直线平行的充要条件是＝≠，即两直线平行的充要条件是a＝±2.故a＝2是直线2x＋ay－1＝0与直线ax＋2y－2＝0平行的充分不必要条件．
[点评] 如果适合p的集合是A，适合q的集合是B，若A是B的真子集，则p是q的充分不必要条件，若A＝B，则p，q互为充要条件，若B是A的真子集，则p是q的必要不充分条件．
（2）已知两条直线l1：ax＋by＋c＝0，直线l2：mx＋ny＋p＝0，则an＝bm是直线l1∥l2的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] B
[解析] l1∥l2时，an－bm＝0；an－bm＝0时 l1∥l2.
故an＝bm是直线l1∥l2的必要不充分条件．
(3)已知直线a2x＋y＋2＝0与直线bx－(a2＋1)y－1＝0互相垂直，则|ab|的最小值为
A．5 B．4 C．2 D．1
[答案] C
[解析] 由题意知，a2b－(a2＋1)＝0且a≠0，
∴a2b＝a2＋1，∴ab＝＝a＋，
∴|ab|＝|a＋|＝|a|＋≥2.(当且仅当a＝±1时取“＝”)．
(4)已知a、b为正数，且直线(a＋1)x＋2y－1＝0与直线3x＋(b－2)y＋2＝0互相垂直，则＋的最小值为
A．12 B. C．1 D．25
[答案] D
[解析] ∵两直线互相垂直，∴3(a＋1)＋2(b－2)＝0，
∴3a＋2b＝1，∵a、b>0，
∴＋＝(＋)(3a＋2b)＝13＋＋≥13＋2＝25.
等号成立时，，∴a＝b＝，故＋的最小值为25.
4.两条直线相交
例4. （1）已知两直线l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0.试确定m、n的值，使
(1)l1与l2相交于点P(m，－1)；
(2)l1∥l2；
(3)l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为－1.
[解析] (1)由题意得
解得
∴当m＝1，n＝7时，l1与l2相交于点P(1，－1)．
(2)l1∥l2?＝≠，
得：m＝4，n≠－2，或m＝－4，n≠2.
(3)l1⊥l2?m×2＋8×m＝0，
∴m＝0，则l1： 8y＋n＝0.
又l1在y轴上的截距为－1，则n＝8.综上知m＝0，n＝8.
[点评] 讨论l1∥l2时要排除两直线重合的情况．处理l1⊥l2时，利用l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0可避免对斜率存在是否的讨论.
（2）若三直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0，x＋ky＋k＋＝0相交于一点，则k的值为
A．－2 B．－ C．2 D.
[答案] B
[解析] 由得交点P(－1，－2)，
P在直线x＋ky＋k＋＝0上，∴k＝－.
（3）k为何值时，直线：y＝k＋3k－2与直线：＋4y－4＝0的交点在第一象限.
解：由
∵两直线的交点在第一象限∴＜k＜1.
即当＜k＜1时，两直线的交点在第一象限
5.点到直线距离公式、两平行线间的距离公式
例5. （1）已知点A(0,2)，B(2,0)．若点C在函数y＝x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为
A．4 B．3 C．2 D．1
[答案] A
[解析] 因为|AB|＝2，要使三角形面积是2，则C点到直线AB的距离为.直线AB的方程为x＋y－2＝0，设C点所在的直线方程为x＋y＋m＝0，所以d＝＝，解得m＝0或m＝－4，所以C点的轨迹为x＋y＝0，或x＋y－4＝0.又因为点C在函数y＝x2的图象上，x＋y＝0，和x＋y－4＝0与y＝x2分别有两个交点．故这样的点共有4个．
[点评] 可利用点到直线距离公式，转化为方程解的个数的判定．
（2）已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与直线l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则l1与l2的距离为________．
[答案] 3或5
[解析] 由(k－3)×(－2)－2(k－3)×(4－k)＝0，且－2×1－(4－k)×3≠0，∴k＝3或5.
当k＝3时，l1：y＋1＝0，l2：－2y＋3＝0，此时l1与l2距离为：；
当k＝5时，l1：2x－y＋1＝0，l2：4x－2y＋3＝0，此时l1与l2的距离为＝.
(3) 求点P（3，－2）到下列直线的距离：
(1)y＝；（2）y＝6；（3）y轴.
解：(1)把方程y＝写成3－4y＋1＝0
由点到直线的距离公式得d＝
(2)因为直线y=6平行于轴，所以d＝｜6－（－2）｜＝8.
（3）d＝｜3｜＝3.
说明：求点到直线的距离，一般先把直线的方程写成一般式，对于与坐标轴平行的直线，=a或y=b，求点到它们的距离，既可用点到直线的距离公式也可以直接写成d＝｜x0－a｜或d＝｜y0－b｜.
(4) 求与直线：5-12y+6=0平行且到的距离为2的直线的方程.
解：设所求直线的方程为5-12y+c=0.在直线5-12y+6=0上取一点P0（0，），点P0到直线5-12y+c=0的距离为
d=，由题意得=2.所以c=32或c=-20.
所以所求直线的方程为5-12y+32=0和5-12y-20=0.
说明：求两条平行线之间的距离，可以在其中的一条直线上取一点，求这点到另一条直线的距离.即把两平行线之间的距离，转化为点到直线的距离
6.数形结合思想
例6. 若曲线C1：x2＋y2－2x＝0与曲线C2：y(y－mx－m)＝0有4个不同的交点，则实数m的取值范围是
A．(－，) B． (－，0)∪(0，)
C．[－，] D．(－∞，－)∪(，＋∞)
[答案] B
[解析]
曲线C1：(x－1)2＋y2＝1，图形为圆心为(1,0)，半径为1的圆；曲线C2：y＝0或者y－mx－m＝0，直线y－mx－m＝0恒过定点(－1,0)，即曲线C2图象为x轴与恒过定点(－1,0)的两条直线．
作图分析：k1＝tan30°＝，k2＝－tan30°＝－，又直线l1(或直线l2)、x轴与圆共有四个不同的交点，结合图形可知m＝k∈(－，0)∪(0，)．
7.对称问题
例7.（1）点P(－3,4)关于直线x＋y－2＝0的对称点Q的坐标是
A．(－2,1) B．(－2,5) C．(2，－5) D．(4，－3)
[答案] B
[解析] x＝2－4＝－2，y＝2－(－3)＝5，故选B.
(2) 点关于直线的对称点是
A.（－6，8） B.(－8，－6) C.（6，8） D.（－6，－8）
解：设点关于直线的对称点为，由轴对称概念的中点在对称轴上，且与对称轴垂直，则有
解得，故选D
点评：对称问题可化为点关于点对称，点关于直线对称的问题
8.直线过定点问题
例8.（1）求证：不论为什么实数，直线都通过一定点
证法一：取＝1，得直线方程＝－４；再取＝，得直线方程为x＝9
从而得两条直线的交点为(9，－４），又当＝9，＝－４时，有
即点(9，－４）在直线上，
故直线都通过定点(9，－４）
证法二：∵，∴（x＋2－1）－（x＋－5）＝0，
则直线都通过直线＋2－1＝0与＋－5＝0的交点.
由方程组，解得＝9，＝－４，即过点(9，－４）
所以直线经过定点(9，－４).
证法三：∵（，
∴（＋2－1）＝＋－5
由为任意实数，知关于的一元一次方程（＋2－1）＝＋－5的解集为R，
∴，解得＝9，＝－４
所以直线都通过定点(9，－４）
（2）若，求证直线必经过一个定点.
证明：由，且不同时为0，设≠0，则
代入直线方程，得(－）＋（－1）＝0.
此方程可视为过直线－＝0与－1＝0的交点的直线系方程
解方程组得＝1，＝1
即两直线交点为(1，1），故直线过定点(1，1).
点评：以上例题是直线系的应用问题
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