【命题探究】2014版高考数学知识点讲座：考点6 函数的奇偶性与周期性（解析版）
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一、考纲目标
1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2.运用函数图像，理解和研究函数的奇偶性；3.了解函数的奇偶性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性；
二、知识梳理
（一）函数的奇偶性
1.定义：
如果对于函数f (x)的定义域内的任意一个x，都有f(x)=f(-x)(f(-x)=f(x))，那么这个函数就是偶（奇）函数；
2.性质及一些结论：
（1）定义域关于原点对称；
（2）偶函数的图象关于轴对称，奇函数的图象关于原点对称；
（3）为偶函数
（4）若奇函数的定义域包含，则因此，“f(x)为奇函数”是"f(0)=0"的非充分非必要条件；
（5）判断函数的奇偶性，首先要研究函数的定义域，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响；
（6）断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：
，
（7）设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：
奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇
（8）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反
（二）函数的周期性
1.定义：
若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使恒成立，则f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期
2.简单理解：
一般所说的周期是指函数的最小正周期，周期函数的定义域一定是无限集，但是我们可能只研究定义域的某个子集
三、考点逐个突破
1．奇偶性辨析
例1.下面四个结论：①偶函数的图象一定与y轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③偶函数的图象关于y轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0(x∈R)，其中正确命题的个数是
A．1 B.2 C.3 D.4
分析：偶函数的图象关于y轴对称，但不一定相交，因此③正确，①错误
奇函数的图象关于原点对称，但不一定经过原点，因此②不正确
若y=f(x)既是奇函数，又是偶函数，由定义可得f(x)=0，但不一定x∈R，如例1中的(3)，故④错误，选A
说明：既奇又偶函数的充要条件是定义域关于原点对称且函数值恒为零
例2.判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝|x|(x2＋1)；
(2)f(x)＝＋；
(3)f(x)＝＋；
(4)f(x)＝＋；
(5)f(x)＝(x－1).
解析 (1)此函数的定义域为R.
∵f(－x)＝|－x|[(－x)2＋1]＝|x|(x2＋1)＝f(x)，
∴f(－x)＝f (x)，即f(x)是偶函数．
(2)此函数的定义域为x>0，由于定义域关于原点不对称，故f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
(3)此函数的定义域为{2}，由于定义域关于原点不对称，故f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
(4)此函数的定义域为{1，－1}，且f(x)＝0，可知图像既关于原点对称，又关于y轴对称，故此函数既是奇函数又是偶函数．
(5)定义域：?－1≤x<1是关于原点不对称区间，故此函数为非奇非偶函数．
2.奇偶性的应用
例3.已知函数对一切，都有，
（1）求证：是奇函数；（2）若，用表示
解：（1）显然的定义域是，它关于原点对称.在中，
令，得，令，得，
∴，∴，即， ∴是奇函数
（2）由，及是奇函数，
得
例4.（1）已知是上的奇函数，且当时，，
则的解析式为
（2）已知是偶函数，，当时，为增函数，若，且，则 （ ）
例5设为实数，函数，
（1）讨论的奇偶性； （2）求 的最小值
解：（1）当时， ，此时为偶函数；
当时，，，
∴
此时函数既不是奇函数也不是偶函数
（2）①当时，函数，
若，则函数在上单调递减，∴函数在上的最小值为；
若，函数在上的最小值为，且
②当时，函数，
若，则函数在上的最小值为，且；
若，则函数在上单调递增，∴函数在上的最小值
综上，当时，函数的最小值是，当时，函数的最小值是，
当，函数的最小值是
3.函数周期性的应用
例6．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.
(1)求证：f(x)是周期函数；
(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式；
(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 011)．
解 (1)证明：∵f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．
∴f(x)是周期为4的周期函数．
(2)当x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]，由已知得
f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2，
又f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2，
∴f(x)＝x2＋2x.
又当x∈[2,4]时，x－4∈[－2,0]，
∴f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)．
又f(x)是周期为4的周期函数，
∴f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8.
从而求得x∈[2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8.
(3)f(0)＝0，f(2)＝0，f(1)＝1，f(3)＝－1.
又f(x)是周期为4的周期函数，
∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2 008)＋f(2 009)＋f(2 010)＋f(2 011)＝0.
∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 011)＝0.
4.单调性与奇偶性的交叉应用
例7.已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．
①求a、b的值；
②若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．
解：①∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0，
即＝0，∴b＝1，∴f(x)＝，
又由f(1)＝－f(－1)知＝－，解得a＝2.
②由①知f(x)＝＝－＋，
易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．
又∵f(x)是奇函数，从而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0等价于f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(k－2t2)，
∵f(x)为减函数，∴由上式得t2－2t>k－2t2，
即对任意的t∈R恒有：3t2－2t－k>0，从而Δ＝4＋12k<0，∴k<－.
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