【命题探究】2014版高考数学知识点讲座：考点7 幂函数与二次函数（解析版） 加（*）号的知识点为了解内容，供学有余力的学生学习使用 一、考纲目标 明确幂函数的定义、图像特征及幂函数的单调性、图像位置及其他性质；掌握二次函数的图象和性质，有单调性，对称轴，顶点，二次函数的最值讨论方法，二次方程根的分布的讨论方法，特别是韦达定理的应用；能利用二次函数研究一元二次方程的实根分布条件；能求二次函数的区间最值. 二、知识梳理 （一）幂函数 定义：形如. 1.过在上是增函数 2.过在上是减函数 3.图像肯定过第一象限，可能过第二三象限，一定不过第四象限 4.通过观察图像，填探究中的表格       定义域 R R R    奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇  在第Ⅰ象限单调增减性 在第Ⅰ象限单调递增 在第Ⅰ象限单调递增 在第Ⅰ象限单调递增 在第Ⅰ象限单调递增 在第Ⅰ象限单调递减  定点 （1，1） （1，1） （1，1） （1，1） （1，1）  （二）二次函数 1．二次函数的图象及性质:二次函数的图象的对称轴方程是，顶点坐标是 2．二次函数的解析式的三种形式：用待定系数法求二次函数的解析式时，解析式的设法有三种形式，即，和（顶点式） 3．根分布问题: 一般地对于含有字母的一元二次方程ax2+bx+c=0 的实根分布问题，用图象求解，有如下结论：令f(x)=ax2+bx+c (a>0) (1)x1<α,x2<α ,则; (2)x1>α,x2>α,则 (3)α( (α<(),则 (5）若f(x)=0在区间(α,()内只有一个实根，则有 4.最值问题：二次函数f(x)=ax2+bx+c在区间[α,(]上的最值一般分为三种情况讨论，即：(1)对称轴(b/(2a)在区间左边，函数在此区间上具有单调性；;(2)对称轴(b/(2a)在区间之内;(3)对称轴在区间右边要注意系数a的符号对抛物线开口的影响 讨论二次函数的区间最值问题：注意对称轴与区间的相对位置； 讨论二次函数的区间根的分布情况一般需从三方面考虑：①判别式；②区间端点的函数值的符号；③对称轴与区间的相对位置 5．二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系： ①f(x)=ax2+bx+c的图像与x轴无交点ax2+bx+c=0无实根ax2+bx+c>0(<0)的解集为或者是R; ②f(x)=ax2+bx+c的图像与x轴相切ax2+bx+c=0有两个相等的实根ax2+bx+c>0(<0)的解集为或者是R; ③f(x)=ax2+bx+c的图像与x轴有两个不同的交点ax2+bx+c=0有两个不等的实根ax2+bx+c>0(<0)的解集为或者是 三、考点逐个击破 1.幂函数的定义 例1.已知幂函数y=f(x)的图象过点(),则log2f(2)的值为 A． B．- C．2 D．-2 【答案】A设幂函数为,则,解得,所以,所以,即,选A． 2.幂函数的图象 例2.已知,,,(且),在同一坐标系中画出其 中两个函数在 【答案】B 【解析】A中单调递增,所以,而幂函数递减,,所以不正确.B中单调递增,所以,而幂函数递增,,所以正确.C中单调递增,所以,而递减,,所以不正确.D中单调递减,所以,而幂函数递增,,所以不正确.所以正确的是B． 3.二次函数的解析式 例3.已知二次函数的对称轴为，截轴上的弦长为，且过点，求函数的解析式 解：∵二次函数的对称轴为， 可设所求函数为， 又∵截轴上的弦长为， ∴过点和，又过点， ∴， ， ∴ 4.二次函数的最值问题 例4．已知函数的最大值为，求的值  分析：令，问题就转二次函数的区间最值问题 解：令，， ∴，对称轴为， （1）当，即时，，得或（舍去） （2）当，即时，函数在单调递增， 由，得 （3）当，即时，函数在单调递减， 由，得（舍去） 综上可得：的值为或 5.二次函数的综合运用 例5.是否存在实数a,b,c使函数f(x)=ax2+bx+c (a0)，的图像经过M(-1,0)，且满足条件“对一切实数x，都有xf(x) ” 解：因为图像经过M(-1,0)，所以a-b+c=0 又因为xf(x)  ∴当x＝1时，1f(1) 1 ， 所以f(1) =1 即a+b+c=1 从而 所以b= ∴xax2+对一切实数x恒成立 即的解集为R ∵a=0或a=, ∴所以a=c=,b=
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