【命题探究】2014版高考数学知识点讲座:考点8指数与对数的运算及函数(解析版)
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一、考纲目标
理解分数指数幂的概念,掌握有理指数幂的运算性质;掌握指数函数的概念、图像和性质;理解对数的概念,掌握对数的运算性质;掌握对数函数的概念、图像和性质能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题.
二、知识梳理
1.根式的运算性质:
①当n为任意正整数时,()=a
②当n为奇数时,=a;当n为偶数时,=|a|=
⑶根式的基本性质:,(a0)
2.分数指数幂的运算性质:
3.的图象和性质
a>1
0 0 ,a ( 1 ,m > 0 ,m ( 1,N>0)
8.两个常用的推论:
①,
② ( a, b > 0且均不为1)
9.对数函数的性质:
a>1
00(转化法)
af(x)=bg(x)(f(x)logma=g(x)logmb (取对数法)
logaf(x)=logbg(x)(logaf(x)=logag(x)/logab(换底法)
三、考点逐个突破
1.指数、对数的运算法则
例1 .计算:(1);
(2);
(3)
解:(1)原式
(2)原式
(3)原式
例2. 设、、为正数,且满足
(1)求证:
(2)若,,求、、的值
证明:(1)左边
;
解:(2)由得,
∴……………①
由得………… ……………②
由①②得……………………………………③
由①得,代入得,
∵, ∴………………………………④
由③、④解得,,从而
例3. 已知,求的值
解:∵,∴,∴,∴,
∴,∴,
又∵,
∴
2.指对互化
例4.已知,且,求的值
解:由得:,即,∴;
同理可得,∴由 得 ,
∴,∴,∵,∴
3.换底公式
例5.设,,且,求的最小值
解:令 ,∵,,∴
由得,∴,
∴,∵,∴,即,∴,
∴,
∵,∴当时,
4.比较大小
例6.(1)若,则,,从小到大依次为 ;
(2)若,且,,都是正数,则,,从小到大依次为 ;
(3)设,且(,),则与的大小关系是( )
A. B。 C。 D。
解:(1)由得,故
(2)令,则,,,,
∴,∴;
同理可得:,∴,∴
(3)取,知选
5.指数函数综合运用
例7.已知函数,
求证:(1)函数在上为增函数;
(2)方程没有负数根
证明:(1)设,
则
,
∵,∴,,,
∴;
∵,且,∴,∴,
∴,即,
∴函数在上为增函数;
另法:∵,
∴
∴函数在上为增函数;
(2)假设是方程的负数根,且,则,
即, ①
当时,,∴,∴,
而由知 ∴①式不成立;
当时,,∴,∴,而
∴①式不成立
综上所述,方程没有负数根
6.对数函数综合运用
例8.已知函数(且)
求证:(1)函数的图象在轴的一侧;
(2)函数图象上任意两点连线的斜率都大于
证明:(1)由得:,
∴当时,,即函数的定义域为,此时函数的图象在轴的右侧;
当时,,即函数的定义域为,此时函数的图象在轴的左侧
∴函数的图象在轴的一侧;
(2)设、是函数图象上任意两点,且,
则直线的斜率,
,
当时,由(1)知,∴,∴,
∴,∴,又,∴;
当时,由(1)知,∴,
∴,
∴,∴,又,∴
∴函数图象上任意两点连线的斜率都大于
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