【命题探究】2014版高考数学知识点讲座：考点9函数的图像、函数与方程（解析版）
加（*）号的知识点为了解内容，供学有余力的学生学习使用
一、考纲目标
会利用描点法和图像变换法做草图，然后用数形结合的思想解决一些较为复杂的数学问题；理解函数的零点存在性定理，会根据图像准确的找到零点.
二、知识梳理
（一）、函数的图像
1.作图、识图
1．作图：描点法和利用基本函数图象变换作图；作函数图象的步骤：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值（甚至变化趋势）、对称性；④描点连线，画出函数的图象.
2．识图：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面．
2.四种变换
1．平移变换
（1）水平平移：函数的图像可以把函数的图像沿轴方向向左或向右平移个单位即可得到；
（2）竖直平移：函数的图像可以把函数的图像沿轴方向向上或向下平移个单位即可得到．
① y=f(x)y=f(x+h); ② y=f(x) y=f(x(h);
③y=f(x) y=f(x)+h; ④y=f(x) y=f(x)(h.
2．对称变换
（1）函数的图像可以将函数的图像关于轴对称即可得到；
（2）函数的图像可以将函数的图像关于轴对称即可得到；
（3）函数的图像可以将函数的图像关于原点对称即可得到；
（4）函数的图像可以将函数的图像关于直线对称得到．
3．翻折变换
（1）函数的图像可以将函数的图像的轴下方部分沿轴翻折到轴上方，去掉原轴下方部分，并保留的轴上方部分即可得到；
（2）函数的图像可以将函数的图像右边沿轴翻折到轴左边替代原轴左边部分并保留在轴右边部分即可得到．
4．伸缩变换
（1）函数的图像可以将函数的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长或压缩（）为原来的倍得到；
（2）函数的图像可以将函数的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长或压缩（）为原来的倍得到．
（二）函数与方程
1． 函数y=f(x)的零点，实际上就是方程f(x)=0的根，也是函数y=f(x)的图像与x轴交点的横
坐标.函数的零点是一个数，而不是直角坐标系中的点.
2.函数零点的求法：
代数法：求方程f(x)＝0的实数根；
几何法：不能用求根公式的方程，将它与函数y＝f(x)的图象联系，利用函数性质找出零点
3．零点存在性定理：若函数y =f(x)在区间 [a,b]上的 图象是连续不断的一条曲线，并且
有，则函数y=f(x)在区间[a,b]内有零点，即存在 ，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根.
4.二分法求方程的近似解
二分法求方程的近似解，首先要找到方程的根所在的区间，则必有，再取区间的中点，再判断的正负号，若，则根在区间中；若，则根在中；若，则即为方程的根．按照以上方法重复进行下去，直到区间的两个端点的近似值相同（且都符合精确度要求），即可得一个近似值．
三、考点逐个突破
1．做图、识图
例1函数与的图像如下图：则函数的图像可能是
解：∵函数的定义域是函数与的定义域的交集，图像不经过坐标原点，故可以排除C、D.
由于当x为很小的正数时且，故.
∴选A.
例2.分别画出下列函数的图像：
(1)y＝|lgx|； (2)y＝2x＋2；(3)y＝|x－2|·(x＋1)．
例3.函数y＝ax2＋bx与y＝logx(ab≠0，|a|≠|b|)在同一直角坐标系中的图像可能是
[解析]A、B选项由对数函数图像得>1，而抛物线对称轴<，∴<1，∴A、B不合题意．C选项中对称轴－<－，则>1，而对数底数<1，∴C选项不成立．而D选项，－>－，∴<1，又对数函数的底数<1，∴选D.
2.图像的变换
例4. 说明由函数的图像经过怎样的图像变换得到函数的图像．
解：方法一：
（1）将函数的图像向右平移3个单位，得到函数的图像；
（2）作出函数的图像关于轴对称的图像，得到函数的图像；
（3）把函数的图像向上平移1个单位，得到函数的图像．
方法二：
（1）作出函数的图像关于轴的对称图像，得到的图像；
（2）把函数的图像向左平移3个单位，得到的图像；
（3）把函数的图像向上平移1个单位，得到函数的图像．
例5.设曲线的方程是，将沿轴、轴正方向分别平移、个单位长度后得到曲线，
（1）写出曲线的方程；
（2）如果曲线与有且仅有一个公共点，证明：．
解：（1）曲线的方程为；
（2）证明：因为曲线与有且仅有一个公共点，
∴方程组有且仅有一组解，
消去，整理得，这个关于的一元二次方程有且仅有一个根，
∴，即得，
因为，所以．
3.函数图像的综合应用
例6.已知函数f(x)＝|x2－4x＋3|.
(1)求函数f(x)的单调区间，并指出其增减性；
(2)求集合M＝{m|使方程f(x)＝m有四个不相等的实根}．
解：作出图像如图所示．
(1)递增区间为[1,2]和[3，＋∞)，递减区间为(－∞，1]和[2,3]．
(2)由图像可知，y＝f(x)与y＝m图像，有四个不同的交点，则00，
∴f(1)·f(8)<0，
故f(x)＝x2－3x－18，
x∈[1,8]存在零点．
(2)∵f(1)＝log2(1＋2)－1>log22－1＝0，
f(3)＝log2(3＋2)－30，且1.4375－1.375＝0.0625<0.1，
所以，方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根为1.4375.
6.函数零点的应用
例9.设函数f(x)＝log2(2x＋1)，g(x)＝log2(2x－1)，若关于x的函数F(x)＝g(x)－f(x)－m在[1,2]上有零点，求m的取值范围．
解：方法一：令F(x)＝0，
即g(x)－f(x)－m＝0，所以有m＝g(x)－f(x)
＝log2(2x－1)－log2(2x＋1)＝log2＝log2(1－)
∵1≤x≤2，∴3≤2x＋1≤5，∵≤≤，≤1－≤.
∴log2≤log2(1－)≤log2，即log2≤m≤log2.
方法二：log2(2x－1)＝m＋log2(2x＋1)，
∴log2(2x－1)＝log2[2m·(2x＋1)]，∴2x－1＝2m·(2x＋1)，
∴2x(1－2m)＝2m＋1,2x＝，即x＝log2()．
∵1≤x≤2，∴1≤log2()≤2，∴2≤≤4，解得≤2m≤，即log2≤m≤log2.
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