空间点、直线、平面间的位置关系
[知识能否忆起]
一、平面的基本性质
名称
图示
文字表示
符号表示
公理1
如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内
A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?l?α
公理2
过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面
公理3
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
P∈α，且P∈β?α∩β＝l，且P∈l
二、空间直线的位置关系
1．位置关系的分类
2．平行公理
平行于同一条直线的两条直线互相平行．
3．等角定理
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
4．异面直线所成的角(或夹角)
(1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角．
(2)范围：.
三、直线与平面的位置关系
位置关系
图示
符号表示
公共点个数
直线l在平面α内
l?α
无数个
直线l与平面α相交
l∩α＝A
一个
直线l与平面α平行
l∥α
0个
四、平面与平面的位置关系
位置关系
图示
符号表示
公共点个数
两个平面平行
α∥β
0个
两个平面相交
α∩β＝l
无数个(这些公共点均在交线l上)
[小题能否全取]
1．(教材习题改编)已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b( )
A．异面 B．相交
C．不可能平行 D．不可能相交
解析：选C 由已知直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若b∥c，则a∥b.与a，b是异面直线相矛盾．
2．(2012·东北三校联考)下列命题正确的个数为( )
①经过三点确定一个平面；
②梯形可以确定一个平面；
③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；
④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C ①④错误，②③正确．
3．已知空间中有三条线段AB，BC和CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是( )
A．AB∥CD
B．AB与CD异面
C．AB与CD相交
D．AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交
解析：选D 若三条线段共面，如果AB，BC，CD构成等腰三角形，则直线AB与CD相交，否则直线AB与CD平行；若不共面，则直线AB与CD是异面直线．
4．(教材习题改编)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为________．
解析：连接B1D1，D1C，
则B1D1∥EF，
故∠D1B1C为所求，又B1D1＝B1C＝D1C，
∴∠D1B1C＝60°.
答案：60°
5．(教材习题改编)平行六面体ABCD－A1B1C1D1中既与AB共面又与CC1共面的棱的条数为________．
解析：如图，与AB和CC1都相交的棱有BC；与AB相交且与CC1平行的棱有AA1，BB1；与AB平行且与CC1相交的棱有CD，C1D1，故符合条件的棱共有5条．
答案：5
1.三个公理的作用
(1)公理1的作用：①检验平面；②判断直线在平面内；③由直线在平面内判断直线上的点在平面内．
(2)公理2的作用：确定平面的依据，它提供了把空间问题转化为平面问题的条件．
(3)公理3的作用：①判定两平面相交；②作两相交平面的交线；③证明多点共线．
2．异面直线的有关问题
(1)判定方法：①反证法；②利用结论即过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该点的直线是异面直线，如图．
(2)所成的角的求法：平移法．
平面的基本性质及应用
典题导入
[例1] (2012·湘潭模拟)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为A1A的中点，
求证：CE，D1F，DA三线共点．
[自主解答]
∵EF綊CD1，
∴直线D1F和CE必相交．
设D1F∩CE＝P，
∵P∈D1F且D1F?平面AA1D1D，
∴P∈平面AA1D1D.
又P∈EC且CE?平面ABCD，
∴P∈平面ABCD，
即P是平面ABCD与平面AA1D1D的公共点．
而平面ABCD∩平面AA1D1D＝AD.
∴P∈AD.
∴CE、D1F、DA三线共点．
本例条件不变试证明E，C，D1，F四点共面．
证明：∵E，F分别是AB和AA1的中点，
∴EF綊A1B.又A1D1綊B1C1綊BC.
∴四边形A1D1CB为平行四边形．
∴A1B∥CD1，从而EF∥CD1.
∴EF与CD1确定一个平面．
∴E，C1，F，D四点共面．
由题悟法
1．证明线共点问题常用的方法是：先证其中两条直线交于一点，再证交点在第三条直线上．
2．证明点或线共面问题一般有以下两种途径：①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余线(或点)均在这个平面内；②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证平面重合．
以题试法
1．(1)(2012·江西模拟)在空间中，下列命题正确的是( )
A．对边相等的四边形一定是平面图形
B．四边相等的四边形一定是平面图形
C．有一组对边平行的四边形一定是平面图形
D．有一组对角相等的四边形一定是平面图形
(2)对于四面体ABCD，下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．
①相对棱AB与CD所在直线异面；
②由顶点A作四面体的高，其垂足是△BCD三条高线的交点；
③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高，则这两条高所在的直线异面；
④分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点．
解析：(1)由“两平行直线确定一个平面”知C正确．
(2)由四面体的概念可知，AB与CD所在的直线为异面直线，故①正确；
由顶点A作四面体的高，只有当四面体ABCD的对棱互相垂直时，其垂足是△BCD的三条高线的交点，故②错误；当DA＝DB，CA＝CB时，这两条高线共面，故③错误；设AB，BC，CD，DA的中点依次为E，F，M，N，易证四边形EFMN为平行四边形，所以EM与FN相交于一点，易证另一组对棱中点的连线也过它们的交点，故④正确．
答案：(1)C (2)①④
异面直线的判定
典题导入
[例2] (2012·金华模拟)在图中，G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号)
[自主解答] 图①中，直线GH∥MN；
图②中，G，H，N三点共面，但M?面GHN，
因此直线GH与MN异面；
图③中，连接MG，GM∥HN，
因此GH与MN共面；
图④中，G，M，N共面，但H?面GMN，
因此GH与MN异面．
所以图②④中GH与MN异面．
[答案] ②④
由题悟法
1．异面直线的判定常用的是反证法，先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面．此法在异面直线的判定中经常用到．
2．客观题中，也可用下述结论：过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．
以题试法
2．已知m，n，l为不同的直线，α，β为不同的平面，有下面四个命题：
①m，n为异面直线，过空间任一点P，一定能作一条直线l与m，n都相交．
②m，n为异面直线，过空间任一点P，一定存在一个与直线m，n都平行的平面．
③α⊥β，α∩β＝l，m?α，n?β，m，n与l都斜交，则m与n一定不垂直；
④m，n是α内两相交直线，则α与β相交的充要条件是m，n至少有一条与β相交．
则四个结论中正确的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B ①错误，因为过直线m存在一个与直线n平行的平面，当点P在这个平面内且不在直线m上时，就不满足结论；②错误，因为过直线m存在一个与直线n平行的平面，当点P在这个平面内时， 就不满足结论；③正确，否则，若m⊥n，在直线m上取一点作直线a⊥l，由α⊥β，得a⊥n.从而有n⊥α，则n⊥l；④正确．
异面直线所成角
典题导入
[例3] (2012·大纲全国卷)已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CC1的中点，那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为________．
[自主解答] 连接DF，则AE∥DF，
∴∠D1FD即为异面直线AE与D1F所成的角．
设正方体棱长为a，
则D1D＝a，DF＝a，D1F＝a，
∴cos∠D1FD＝＝.
[答案]
由题悟法
求异面直线所成的角一般用平移法，步骤如下：
(1)一作：即找或作平行线，作出异面直线所成的角；
(2)二证：即证明作出的角是异面直线所成的角；
(3)三求：解三角形，求出所作的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．
以题试法
3．(2012·唐山模拟)四棱锥P－ABCD的所有侧棱长都为，底面ABCD是边长为2的正方形，则CD与PA所成角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
解析：选B 如图所示，因为四边形ABCD为正方形，故CD∥AB，则CD与PA所成的角即为AB与PA所成的角∠PAB，在△PAB内，PB＝PA＝，AB＝2，利用余弦定理可知：
cos ∠PAB＝＝＝.
1．(2013·杭州模拟)若a，b，c，d是空间四条直线．如果“a⊥c，b⊥c，a⊥d，b⊥d”，则( )
A．a∥b且c∥d
B．a，b，c，d中任意两条可能都不平行
C．a∥b
D．a与b，c与d中至少有一对直线互相平行
解析：选D (1)若a，b，c，d在同一平面内，则a∥b，c∥d.
(2)若a，b，c，d不在同一平面内，
①若a，b相交，则a，b确定平面α，此时c⊥α，d⊥α，故c∥d.
②若a，b异面，则可平移a与b相交确定平面β，此时，c⊥β，d⊥β，c∥d.
③若a，b平行，则c，d关系不定．
同理，若c，d相交，异面也可推出a∥b，
若c，d平行，则a，b关系不确定．
综上知，a，b，c，d中至少有一对直线互相平行．
2．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( )
A．l1⊥l2，l2⊥l3?l1∥l3
B．l1⊥l2，l2∥l3?l1⊥l3
C．l1∥l2∥l3?l1，l2，l3共面
D．l1，l2，l3共点?l1，l2，l3共面
解析：选B ①在选项A中：l1⊥l2，l2⊥l3，l1与l3可以平行也可相交或异面，借助正方体的棱很容易理解．
②在B中：l1⊥l2，l2∥l3，由异面直线所成角的定义可以推出l1⊥l3.③l1∥l2∥l3，三直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱不共面．④共点的三条直线不一定共面，如三棱锥中共顶点的三条棱不共面．
3.设四棱锥P－ABCD的底面不是平行四边形，用平面α去截此四棱锥(如图)，使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面α( )
A．不存在 B．只有1个
C．恰有4个 D．有无数多个
解析：选D 设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为m，n，直线m，n确定了一个平面β，作与β平行的平面α，与四棱锥的各个侧面相截，则截得的四边形必为平行四边形，而这样的平面α有无数多个．
4．(2012·广州模拟)在正四棱锥V－ABCD中，底面正方形ABCD的边长为1，侧棱长为2，则异面直线VA与BD所成角的大小为( )
A. B.
C. D.
解析：选D 如图所示，设AC∩BD＝O，连接VO，由于四棱锥V－ABCD是正四棱锥，所以VO⊥平面ABCD，故BD⊥VO.又四边形ABCD是正方形，所以BD⊥AC，所以BD⊥平面VAC.所以BD⊥VA，即异面直线VA与BD所成角的大小为.
5.如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面的对数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C AB，CD，EF和GH在原正方体中如图所示，显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行．故互为异面的直线有且只有三对．
6．(2012·重庆高考)设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，和a，且长为a的棱与长为的棱异面，则a的取值范围是( )
A．(0，) B．(0，)
C．(1，) D．(1，)
解析：选A 如图所示的四面体ABCD中，设AB＝a，则由题意可得CD＝，其他边的长都为1，故三角形ACD及三角形BCD都是以CD为斜边的等腰直角三角形，显然a>0.取CD中点E，连接AE，BE，则AE⊥CD，BE⊥CD且AE＝BE＝ ＝，显然A，B，E三点能构成三角形，应满足任意两边之和大于第三边，可得2×>a，解得0
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