第一节
空间几何体的结构特征及三视图和直观图
[知识能否忆起] 一、多面体的结构特征 多面体 结构特征  棱柱 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个面的交线都平行且相等  棱锥 有一个面是多边形，而其余各面都是有一个公共顶点的三角形  棱台 棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分   二、旋转体的形成 几何体 旋转图形 旋转轴  圆柱 矩形 任一边所在的直线  圆锥 直角三角形 一条直角边所在的直线  圆台 直角梯形 垂直于底边的腰所在的直线  球 半圆 直径所在的直线   三、简单组合体 简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成；一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成，有多面体与多面体、多面体与旋转体、旋转体与旋转体的组合体． 四、平行投影与直观图 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是： (1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直． (2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半． 五、三视图 几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线． [小题能否全取] 1．(教材习题改编)以下关于几何体的三视图的论述中，正确的是(　　) A．球的三视图总是三个全等的圆 B．正方体的三视图总是三个全等的正方形 C．水平放置的正四面体的三视图都是正三角形 D．水平放置的圆台的俯视图是一个圆 解析：选A　B中正方体的放置方向不明，不正确．C中三视图不全是正三角形．D中俯视图是两个同心圆． 2．(2012·杭州模拟)用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是(　　) A．圆柱　　　　　　　　　 B．圆锥 C．球体 D．圆柱、圆锥、球体的组合体 解析：选C　当用过高线的平面截圆柱和圆锥时，截面分别为矩形和三角形，只有球满足任意截面都是圆面． 3．下列三种叙述，其中正确的有(　　) ①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台； ②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台； ③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 解析：选A　①中的平面不一定平行于底面，故①错．②③可用下图反例检验，故②③不正确．
4．(教材习题改编)利用斜二测画法得到的： ①正方形的直观图一定是菱形； ②菱形的直观图一定是菱形； ③三角形的直观图一定是三角形． 以上结论正确的是________． 解析：①中其直观图是一般的平行四边形，②菱形的直观图不一定是菱形，③正确． 答案：③ 5．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为________．
解析：由三视图中的正、侧视图得到几何体的直观图如图所示，所以该几何体的俯视图为③.
答案：③ 1.正棱柱与正棱锥 (1)底面是正多边形的直棱柱，叫正棱柱，注意正棱柱中“正”字包含两层含义：①侧棱垂直于底面；②底面是正多边形． (2)底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫正棱锥，注意正棱锥中“正”字包含两层含义：①顶点在底面上的射影必需是底面正多边形的中心，②底面是正多边形，特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体． 2．对三视图的认识及三视图画法 (1)空间几何体的三视图是该几何体在三个两两垂直的平面上的正投影，并不是从三个方向看到的该几何体的侧面表示的图形． (2)在画三视图时，重叠的线只画一条，能看见的轮廓线和棱用实线表示，挡住的线要画成虚线． (3)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体用平行投影画出的轮廓线． 3．对斜二测画法的认识及直观图的画法 (1)在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段，“平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半．” (2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积有以下关系： S直观图＝S原图形，S原图形＝2S直观图．

空间几何体的结构特征  
典题导入 [例1]　(2012·哈师大附中月考)下列结论正确的是(　　) A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边绕旋转轴旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥 C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长都相等，则该棱锥可能是六棱锥 D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线 [自主解答]　A错误，如图1是由两个相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，它的各个面都是三角形，但它不是三棱锥；B错误，如图2，若△ABC不是直角三角形，或△ABC是直角三角形但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥； 图1
图2 C错误，若该棱锥是六棱锥，由题设知，它是正六棱锥．易证正六棱锥的侧棱长必大于底面边长，这与题设矛盾． [答案]　D
由题悟法 解决此类题目要准确理解几何体的定义，把握几何体的结构特征，并会通过反例对概念进行辨析．举反例时可利用最熟悉的空间几何体如三棱柱、四棱柱、正方体、三棱锥、三棱台等，也可利用它们的组合体去判断．
以题试法 1．(2012·天津质检)如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题是(　　) A．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等 B．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补 C．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆 D．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上 解析：选B　如图，等腰四棱锥的侧棱均相等，其侧棱在底面的射影也相等，则其腰与底面所成角相等，即A正确；底面四边形必有一个外接圆，即C正确；在高线上可以找到一个点O，使得该点到四棱锥各个顶点的距离相等，这个点即为外接球的球心，即D正确；但四棱锥的侧面与底面所成角不一定相等或互补(若为正四棱锥则成立)．故仅命题B为假命题．
几何体的三视图  
典题导入 [例2]　(2012·湖南高考)某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是(　　)

[自主解答]　根据几何体的三视图知识求解． 由于该几何体的正视图和侧视图相同，且上部分是一个矩形，矩形中间无实线和虚线，因此俯视图不可能是C. [答案]　C
由题悟法 三视图的长度特征 三视图中，正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽，即“长对正，宽相等，高平齐”． [注意]　画三视图时，要注意虚、实线的区别．
以题试法 2．(1)(2012·莆田模拟)如图是底面为正方形、一条侧棱垂直于底面的四棱锥的三视图，那么该四棱锥的直观图是下列各图中的(　　)

解析：选D　由俯视图排除B、C；由正视图、侧视图可排除A. (2)(2012·济南模拟)
如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长均为2，其正视图如图所示，则此三棱柱侧视图的面积为(　　) A．2　　　　　　　　　　 B．4 C. D．2 解析：选D　依题意，得此三棱柱的左视图是边长分别为2，的矩形，故其面积是2.
几何体的直观图  
典题导入 [例3]　已知△ABC的直观图A′B′C′是边长为a的正三角形，求原△ABC的面积． [自主解答]　
建立如图所示的坐标系xOy′，△A′B′C′的顶点C′在y′轴上，A′B′边在x轴上，OC为△ABC的高． 把y′轴绕原点逆时针旋转45°得y轴， 则点C′变为点C，且OC＝2OC′，A，B点即为A′，B′点，长度不变． 已知A′B′＝A′C′＝a，在△OA′C′中， 由正弦定理得 ＝， 所以OC′＝ a＝ a， 所以原三角形ABC的高OC＝a. 所以S△ABC＝×a×a＝a2.
由题悟法 用斜二测画法画几何体的直观图时，要注意原图形与直观图中的“三变、三不变”． “三变” “三不变”
以题试法 3．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是(　　) A．2＋　　　　　　　　　　 B. C. D．1＋ 解析：选A　恢复后的原图形为一直角梯形 S＝(1＋＋1)×2＝2＋.

1．(2012·青岛摸底)如图，在下列四个几何体中，其三视图(正视图、侧视图、俯视图)中有且仅有两个相同的是(　　)
A．②③④　　　　　　　　 B．①②③ C．①③④ D．①②④ 解析：选A　①的三个视图都是边长为1的正方形；②的俯视图是圆，正视图、侧视图都是边长为1的正方形；③的俯视图是一个圆及其圆心，正视图、侧视图是相同的等腰三角形；④的俯视图是边长为1的正方形，正视图、侧视图是相同的矩形． 2．有下列四个命题： ①底面是矩形的平行六面体是长方体； ②棱长相等的直四棱柱是正方体； ③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体； ④对角线相等的平行六面体是直平行六面体． 其中真命题的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选A　命题①不是真命题，因为底面是矩形，但侧棱不垂直于底面的平行六面体不是长方体；命题②不是真命题，因为底面是菱形(非正方形)，底面边长与侧棱长相等的直四棱柱不是正方体；命题③也不是真命题，因为有两条侧棱都垂直于底面一边不能推出侧棱与底面垂直；命题④是真命题，由对角线相等，可知平行六面体的对角面是矩形，从而推得侧棱与底面垂直，故平行六面体是直平行六面体． 3．一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是(　　)
解析：选C　C选项不符合三视图中“宽相等”的要求，故选C. 4．如图是一几何体的直观图、正视图和俯视图．在正视图右侧，按照画三视图的要求画出的该几何体的侧视图是(　　)

解析：选B　由直观图和正视图、俯视图可知，该几何体的侧视图应为面PAD，且EC投影在面PAD上，故B正确． 5.如图△A′B′C′是△ABC的直观图，那么△ABC是(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形 解析：选B　由斜二测画法知B正确． 6．(2012·东北三校一模)一个几何体的三视图如图所示，则侧视图的面积为(　　)
A．2＋ B．1＋ C．2＋2 D．4＋ 解析：选D　依题意得，该几何体的侧视图的面积等于22＋×2×＝4＋. 7．(2012·昆明一中二模)一个几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，且体积为，则这个几何体的俯视图可能是下列图形中的________．(填入所有可能的图形前的编号) ①锐角三角形；②直角三角形；③四边形；④扇形；⑤圆． 解析：如图1所示，直三棱柱ABE－A1B1E1符合题设要求，此时俯视图△ABE是锐角三角形；如图2所示，直三棱柱ABC－A1B1C1符合题设要求，此时俯视图△ABC是直角三角形；如图3所示，当直四棱柱的八个顶点分别是正方体上、下各边的中点时，所得直四棱柱ABCD－A1B1C1D1符合题设要求，此时俯视图(四边形ABCD)是正方形；若俯视图是扇形或圆，体积中会含有π，故排除④⑤.
答案：①②③ 8．(2013·安徽名校模拟)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．
解析：结合三视图可知，该几何体为底面边长为2、高为2的正三棱柱除去上面的一个高为1的三棱锥后剩下的部分，其直观图如图所示，故该几何体的体积为×2×2sin 60°×2－××2×2sin 60°×1＝. 答案： 9．正四棱锥的底面边长为2，侧棱长均为，其正视图(主视图)和侧视图(左视图)是全等的等腰三角形，则正视图的周长为________． 解析：由题意知，正视图就是如图所示的截面PEF，其中E、F分别是AD、BC的中点，连接AO，易得AO＝，而PA＝，于是解得PO＝1，所以PE＝，故其正视图的周长为2＋2. 答案：2＋2 10．已知：图1是截去一个角的长方体，试按图示的方向画出其三视图；图2是某几何体的三视图，试说明该几何体的构成．
解：图1几何体的三视图为：
图2所示的几何体是上面为正六棱柱，下面为倒立的正六棱锥的组合体． 11．(2012·银川调研)正四棱锥的高为，侧棱长为，求棱锥的斜高(棱锥侧面三角形的高)． 解：如图所示，正四棱锥S－ABCD中， 高OS＝， 侧棱SA＝SB＝SC＝SD＝， 在Rt△SOA中， OA＝＝2，∴AC＝4. ∴AB＝BC＝CD＝DA＝2. 作OE⊥AB于E，则E为AB中点． 连接SE，则SE即为斜高， 在Rt△SOE中，∵OE＝BC＝，SO＝， ∴SE＝，即棱锥的斜高为. 12．(2012·四平模拟)已知正三棱锥V－ABC的正视图、侧视图和俯视图如图所示．
(1)画出该三棱锥的直观图； (2)求出侧视图的面积． 解：(1)三棱锥的直观图如图所示． (2)根据三视图间的关系可得BC＝2， ∴侧视图中 VA＝  ＝＝2， ∴S△VBC＝×2×2＝6.
1．(2012·江西八所重点高中模拟)底面水平放置的正三棱柱的所有棱长均为2，当其正视图有最大面积时，其侧视图的面积为(　　) A．2 B．3 C. D．4 解析：选A　当正视图的面积达最大时可知其为正三棱柱某个侧面的面积，可以按如图所示位置放置，此时侧视图的面积为2. 2．(2013·深圳模拟)如图所示的几何体中，四边形ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面ABE，已知AB＝2，AE＝BE＝，且当规定正视方向垂直平面ABCD时，该几何体的侧视图的面积为.若M，N分别是线段DE，CE上的动点，则AM＋MN＋NB的最小值为________． 解析：依题意得，点E到直线AB的距离等于＝，因为该几何体的左侧视图的面积为·BC×＝，所以BC＝1，DE＝EC＝DC＝2.所以△DEC是正三角形，∠DEC＝60°，tan ∠DEA＝＝，∠DEA＝∠CEB＝30°.把△DAE，△DEC与△CEB展在同一平面上，此时连接AB，AE＝BE＝，∠AEB＝∠DEA＋∠DEC＋∠CEB＝120°，AB2＝AE2＋BE2－2AE·BEcos 120°＝9，即AB＝3，即AM＋MN＋NB的最小值为3. 答案：3 3．一个多面体的直观图、正视图、侧视图如图1和2所示，其中正视图、侧视图均为边长为a的正方形．

(1)请在图2指定的框内画出多面体的俯视图； (2)若多面体底面对角线AC，BD交于点O，E为线段AA1的中点，求证：OE∥平面A1C1C； (3)求该多面体的表面积． 解：(1)根据多面体的直观图、正视图、侧视图，得到俯视图如下：
(2)证明：如图，连接AC，BD，交于O点，连接OE. ∵E为AA1的中点，O为AC的中点， ∴在△AA1C中，OE为△AA1C的中位线． ∴OE∥A1C. ∵OE?平面A1C1C，A1C?平面A1C1C， ∴OE∥平面A1C1C. (3)多面体表面共包括10个面，SABCD＝a2， SA1B1C1D1＝， S△ABA1＝S△B1BC＝S△C1DC＝S△ADD1＝， S△AA1D1＝S△B1A1B＝S△C1B1C＝S△DC1D1 ＝××＝， ∴该多面体的表面积S＝a2＋＋4×＋4×＝5a2.
1．(2012·北京朝阳二模)有一个棱长为1的正方体，按任意方向正投影，其投影面积的最大值是(　　) A．1 B. C. D. 解析：选D　如图所示是棱长为1的正方体． 当投影线与平面A1BC1垂直时， ∵面ACD1∥面A1BC1， ∴此时正方体的正投影为一个正六边形．设其边长为a，则a＝， ∴a＝. ∴投影面的面积为6××2＝. 此时投影面积最大，故D正确． 2．如图，△ABC与△ACD都是等腰直角三角形，且AD＝DC＝2，AC＝BC.平面ACD⊥平面ABC，如果以平面ABC为水平平面，正视图的观察方向与AB垂直，则三棱锥D－ABC的三视图的面积和为________． 解析：由题意得AC＝BC＝2，AB＝4，△ACD边AC上的高为，正视图的面积是×4×＝2，侧视图的面积 是×2×＝，俯视图的面积是×2×2＝4，所以三视图的面积和为4＋3. 答案：4＋3 3．(2012·北京海淀)已知正三棱柱ABC－A′B′C′的正视图和侧视图如图所示，设△ABC，△A′B′C′的中心分别是O，O′，现将此三棱柱绕直线OO′旋转，射线OA旋转所成的角为x弧度(x可以取到任意一个实数)，对应的俯视图的面积为S(x)，则函数S(x)的最大值为________；最小正周期为________． (说明：“三棱柱绕直线OO′旋转”包括逆时针方向和顺时针方向，逆时针方向旋转时，OA旋转所成的角为正角，顺时针方向旋转时，OA旋转所成的角为负角．) 解析：由题意可知，当三棱柱的一个侧面在水平面内时，该三棱柱的俯视图的面积最大．此时俯视图为一个矩形，其宽为×tan 30°×2＝2，长为4，故S(x)的最大值为8.当三棱柱绕OO′旋转时，当A点旋转到B点，B点旋转到C点，C点旋转到A点时，所得三角形与原三角形重合，故S(x)的最小正周期为. 答案：8　

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