立体几何中的射影、截面和展折
近几年，高考立体几何试题紧紧围绕空间想象能力和逻辑思维能力进行考查，在控制难度的基础上，加大了空间想象能力的考查，主要是考查学生的识图、构图能力，空间概念和空间想象能力，这类题目立意形式多样，但多数是以空间图形的射影、截面和展折为知识和能力的结合点，考查学生的空间想象能力、动手操作能力、探究能力和灵活运用所学知识解决实际问题的能力。下面结合近几年各地高考和模考中的经典例题予以分类解析，以飨读者。
一、射影
例1 如图1，一间民房的屋顶有三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜。记三种盖法的屋顶面积分别为P1、P2、P3，若屋顶斜面与水平面所成的角都是,则（ ）
A． P3＞P2＞P1 B．P3＞P2＝P1 C．P3＝P2＞P1 D．P3＝P2＝P1
图1
分析 设这间民房的地面面积为S0，则有，所以 P3＝P2＝P1，故选D。本题要从屋顶的实际情景中透过日常生活中常见的现象，抽象出斜面在水平面上的射影的本质特征，反映了数学来源于社会现实，又为社会实践服务的基本事实。
例2 如图2，E、F分别为正方体的面ADD1A1和面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是_____________。（要求：把可能的图的序号都填上）
分析 从俯视、正视和侧视三种方式观察平行四边形BFD1E在正方体各个面上的投影，可知图②③正确。
例3 正四面体ABCD的棱长为1，棱AB//平面，则正四面体上的所有点在平面内的射影构成的图形面积的取值范围是_________。
分析 如图3，设正四面体ABCD在平面上的射影构成的图形面积为S，因为AB//平面，从运动的观点看，当CD//平面时，射影面积最大，此时射影图形为对角线长是1的正方形，面积最大值为；若CD或其延长线与平面相交时，则当CD⊥平面时，射影面积为最小，最小值为（证明略），所以.
例4 如图4，在一面南北方向的长方形墙ABHG上用AC=3m，BC=4m，AB=5m的角钢焊接成一个简易的遮阳棚（将AB放在墙上）。一般认为，从正西方向射出的太阳光线与地面成75°角时气温最高。要使此时遮阳棚的遮阴面积最大，应将遮阳棚ABC面与水平面成多大角度？
分析 墙面ABHG在太阳光照射下的射影为 ，由题意可知光线与地面所成的角为750，设遮阳棚ABC面与地面所成的角为θ（00≤θ≤900），△ABC在地面上的射影为△，要使此时遮阳棚的遮阴面积最大，即△的面积最大，在上取一点D，使//AC，则易证明面ABC//面，且△ABC≌△，在平面内作DM⊥，垂足为M，连C/M，∵AB⊥CC/，∴⊥，∴C/M⊥，则平面与地面所成的二面角的大小为∠DMC/=θ,又由已知条件可得△为直角三角形，DM=m，在△DMC/中，由正弦定理得MC/= ，∴当=1，即θ=150时，MC/最大，∵为定值，所以此时△的面积最大。
二、截面
例5 一个正方体内接于一个球，过这个球的球心作一平面，则截面图形不可能是（ ）
分析 考虑过球心的平面在转动过中，平面在球的内接正方体上截得的截面不可能是大圆的内接正方形，故选D。
例6 如图5，在透明的塑料制成的长方体ABCD-A1B1C1D1容器内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，有下列四个命题：
水的部分始终呈棱柱状；
水面EFGH的面积不改变；
棱A1D1始终与水面EFGH平行；
当容器倾斜到如图5（2）时，BE·BF是定值；
其中正确的命题序号是______________
分析 当长方体容器绕BC边转动时，盛水部分的几何体始终满足棱柱定义，故①正确；在转动过程中EH//FG，但EH与FG的距离EF在变，所以水面EFGH的面积在改变，故②错误；在转动过程中，始终有BC//FG//A1D1，所以A1D1//面EFGH，③正确；当容器转动到水部分呈直三棱柱时如图5（2），因为是定值，又BC是定值，所以BE·BF是定值，即④正确。所以正确的序号为①③④.
例7 有一容积为1 立方单位的正方体容器ABCD-A1B1C1D1，在棱AB、BB1及对角线B1C的中点各有一小孔E、F、G，若此容器可以任意放置，则该容器可装水的最大容积是（ ）
A． B． C． D．
分析 本题很容易认为当水面是过E、F、G三点的截面时容器可装水的容
积最大图6（1），最大值为立方单位,这是一种错误的解法，
错误原因是对题中“容器是可以任意放置”的理解不够，其实，当水平面调整为
图6（2）△EB1C时容器的容积最大，最大容积为，故选C。
三、折与展
例8在下面四个平面图形中，哪几个是正四面体的展开图，其序号是_________.
(1) (2) (3) (4)
分析 这是一道考查空间想象能力和动手操作能力的问题，把展开图形折起后，只有（1）（2）是正四面体。故选取（1）（2）
例9 如图7（1），在正三角形ABC中，D、E、F分别为各边中点，
G、H、I分别为DE、FC、EF的中点，将△ABC沿DE、EF、DF折
成三棱锥后，BG与IH所成角的弧度数是（ ）
A． B． C． D．
分析 把△ABC沿DE、EF、DF折成三棱锥为B-DEF，图7（2），
取GF的中点M。连结IM，则HM//BG，所以BG、IH所成的角即
为HM、IH所成的角，在△MIH中易求得∠MHI=，即选A。
例10 如图8（1），在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面为直角三角形。
∠ACB=900，AC=6，BC=CC1=，P是BC1上一动点，则CP+PA1的
最小值为___________。
分析 由已知条件可知，△A1BC1和△BCC1都是直角三角形，
又BC=CC1=，所以∠CC 1B=450，把二面角A1-BC1-C展成平
面图形，如图8（2），连结A1C交BC1于P，则A1C= CP+PA1即
为最小值。在△A1C1C中，A1C1=6，CC1=，∠AC 1C=1350
由余弦定理得A1C=5，即CP+PA1的最小值为5
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