第五节两角和与差的正弦、余弦和正切公式
[知识能否忆起]
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)C(α－β)：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β；
(2)C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β；
(3)S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β；
(4)S(α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β；
(5)T(α＋β)：tan(α＋β)＝；
(6)T(α－β)：tan(α－β)＝.
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)S2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；
(2)C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
(3)T2α：tan 2α＝.
3．常用的公式变形
(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tan αtan β)；
(2)cos2α＝，sin2α＝；
(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，
1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，
sin α±cos α＝sin.
[小题能否全取]
1．(2011·福建高考)若tan α＝3，则的值等于( )
A．2 B．3
C．4 D．6
解析：选D ＝＝2tan α＝2×3＝6.
2．sin 68°sin 67°－sin 23°cos 68°的值为( )
A．－ B.
C. D．1
解析：选B 原式＝sin 68°cos 23°－cos 68°sin 23°＝sin(68°－23°)＝sin 45°＝.
3．已知sin α＝，则cos(π－2α)等于( )
A．－ B．－
C. D.
解析：选B cos(π－2α)＝－cos 2α＝－(1－2sin2α)＝2sin2α－1＝2×－1＝－.
4．(教材习题改编)若cos α＝－，α是第三象限角，则sin＝________
解析：由已知条件sin α＝－＝－，
sin＝sin α＋cos α＝－.
答案：－
5．若tan＝，则tan α＝________.
解析：tan＝＝，
即5tan α＋5＝2－2tan α.
则7tan α＝－3，故tan α＝－.
答案：－
1.两角和与差的三角函数公式的理解：
(1)正弦公式概括为“正余，余正符号同”．“符号同”指的是前面是两角和，则后面中间为“＋”号；前面是两角差，则后面中间为“－”号．
(2)余弦公式概括为“余余，正正符号异”．
(3)二倍角公式实际就是由两角和公式中令β＝α所得．特别地，对于余弦：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，这三个公式各有用处，同等重要，特别是逆用即为“降幂公式”，在考题中常有体现．
2．重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角为：对角的分拆要尽可能化成已知角、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．
三角函数公式的应用
典题导入
[例1] (2011·广东高考)已知函数f(x)＝2sin，x∈R.
(1)求f的值；
(2)设α，β∈，f＝，f(3β＋2π)＝，求cos(α＋β)的值．
[自主解答] (1)∵f(x)＝2sin，
∴f＝2sin＝2sin＝.
(2)∵α，β∈，f＝，f(3β＋2π)＝，
∴2sin α＝，2sin＝.
即sin α＝，cos β＝.
∴cos α＝，sin β＝.
∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
＝×－×＝.
由题悟法
两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α、β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．
以题试法
1．(1)已知sin α＝，α∈，则＝________.
(2)(2012·济南模拟)已知α为锐角，cos α＝，则tan＝( )
A．－3 B．－
C．－ D．－7
解析：(1)＝＝cos α－sin α，
∵sin α＝，α∈，∴cos α＝－.
∴原式＝－.
(2)依题意得，sin α＝，故tan α＝2，tan 2α＝＝－，所以tan＝＝－.
答案：(1)－ (2)B
三角函数公式的逆用与变形应用
典题导入
[例2] (2013·德州一模)已知函数f(x)＝2cos2－sin x.
(1)求函数f(x)的最小正周期和值域；
(2)若α为第二象限角，且f＝，求的值．
[自主解答] (1)∵f(x)＝2cos2－sin x＝1＋cos x－sin x＝1＋2cos，
∴周期T＝2π，f(x)的值域为[－1,3]．
(2)∵f＝，∴1＋2cos α＝，即cos α＝－.
∵α为第二象限角，∴sin α＝.
∴＝
＝＝＝.
由题悟法
运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等．
以题试法
2．(1)(2012·赣州模拟)已知sin＋cos α＝，则sin的值为( )
A. B.
C. D.
(2)若α＋β＝，则(1－tan α)(1－tan β)的值是________．
解析：(1)由条件得sin α＋cos α＝，
即sin α＋cos α＝.
∴sin＝.
(2)－1＝tan＝tan(α＋β)＝，
∴tan αtan β－1＝tan α＋tan β.
∴1－tan α－tan β＋tan αtan β＝2，
即(1－tan α)(1－tan β)＝2.
答案：(1)A (2)2
角 的 变 换
典题导入
[例3] (1)(2012·温州模拟)若＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________.
(2)(2012·江苏高考)设α为锐角，若cos＝，则sin的值为________．
[自主解答] (1)由条件知＝＝3，
则tan α＝2.
故tan(β－2α)＝tan [(β－α)－α]
＝＝＝.
(2)因为α为锐角，cos＝，
所以sin＝，sin 2＝，
cos 2＝，
所以sin＝sin
＝×－×＝.
[答案] (1) (2)
由题悟法
1．当“已知角”有两个时，一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式；
2．当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
3．常见的配角技巧：
α＝2·；α＝(α＋β)－β；
α＝β－(β－α)；
α＝[(α＋β)＋(α－β)]；
β＝[(α＋β)－(α－β)]；
＋α＝－；α＝－.
以题试法
3．设tan＝，tan＝，则tan＝( )
A. B.
C. D.
解析：选C tan＝tan
＝＝.
1．(2012·重庆高考)设tan α，tan β是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tan (α＋β)的值为( )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
解析：选A 由题意可知tan α＋tan β＝3，tan α·tan β＝2，
tan(α＋β)＝＝－3.
2．(2012·南昌二模)已知cos＝－，则cos x＋cos的值是( )
A．－ B．±
C．－1 D．±1
解析：选C cos x＋cos＝cos x＋cos x＋sin x＝cos x＋sin x＝＝cos＝－1.
3． (2012·乌鲁木齐诊断性测验)已知α满足sin α＝，那么sinsin的值为( )
A. B．－
C. D．－
解析：选A 依题意得，sinsin＝sin·cos＝sin＝cos 2α＝(1－2sin2α)＝.
4．已知函数f(x)＝x3＋bx的图象在点A(1，f(1))处的切线的斜率为4，则函数g(x)＝sin 2x＋bcos 2x的最大值和最小正周期为( )
A．1，π B．2，π
C.，2π D.，2π
解析：选B 由题意得f′(x)＝3x2＋b，
f′(1)＝3＋b＝4，b＝1.
所以g(x)＝sin 2x＋bcos 2x
＝sin 2x＋cos 2x＝2sin，
故函数的最大值为2，最小正周期为π.
5． (2012·东北三校联考)设α、β都是锐角，且cos α＝，sin＝，则cos β＝( )
A. B.
C.或 D.或
解析：选A 依题意得sin α＝＝，
cos(α＋β)＝±＝±.
又α、β均为锐角，因此0<α<α＋β<π，
cos α>cos(α＋β)，注意到>>－，
所以cos(α＋β)＝－.
cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－×＋×＝.
6．已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝，则cos 2α＝( )
A．－ B．－
C. D.
解析：选A 将sin α＋cos α＝两边平方，可得1＋sin 2α＝，sin 2α＝－，所以(－sin α＋cos α)2＝1－sin 2α＝.因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0，所以－sin α＋cos α＝－，所以cos 2α＝(－sin α＋cos α)·(cos α＋sin α)＝－.
7．(2012·苏锡常镇调研)满足sinsin x＋coscos x＝的锐角x＝________.
解析：由已知可得
coscos x＋sinsin x＝，
即cos＝，
又x是锐角，所以－x＝，即x＝.
答案：
8．化简·＝________.
解析：原式＝tan(90°－2α)·
＝·
＝·＝.
答案：
9．(2013·烟台模拟)已知角α，β的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，α，β∈(0，π)，角β的终边与单位圆交点的横坐标是－，角α＋β的终边与单位圆交点的纵坐标是，则cos α＝________.
解析：依题设及三角函数的定义得：
cos β＝－，sin(α＋β)＝.
又∵0<β<π，∴<β<π，<α＋β<π，sin β＝，cos(α＋β)＝－.
∴cos α＝cos[(α＋β)－β]
＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β
＝－×＋×
＝.
答案：
10．已知α∈，tan α＝，求tan 2α和sin的值．
解：∵tan α＝，∴tan 2α＝＝＝，
且＝，即cos α＝2sin α，
又sin2α＋cos2α＝1，
∴5sin2α＝1，而α∈，
∴sin α＝，cos α＝.
∴sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝，
cos 2α＝cos2α－sin2α＝－＝，
∴sin＝sin 2αcos＋cos 2αsin＝×＋×＝.
11．已知：0<α<<β<π，cos＝.
(1)求sin 2β的值；
(2)求cos的值．
解：(1)法一：∵cos＝coscos β＋sin β＝cos β＋sin β＝，
∴cos β＋sin β＝，∴1＋sin 2β＝，∴sin 2β＝－.
法二：sin 2β＝cos＝2cos2－1＝－.
(2)∵0<α<<β<π，
∴<β<－<π，<α＋β<，
∴sin>0，cos(α＋β)<0.
∵cos＝，sin(α＋β)＝，
∴sin＝，
cos(α＋β)＝－.
∴cos＝cos
＝cos(α＋β)cos
＝－×＋×＝.
12．(2012·衡阳模拟) 函数f(x)＝cos＋sin，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若f(α)＝，α∈，求tan的值．
解：(1)f(x)＝cos＋sin＝sin＋cos＝sin，
故f(x)的最小正周期T＝＝4π.
(2)由f(α)＝，得sin＋cos＝，
则2＝2，
即1＋sin α＝，解得sin α＝，
又α∈，则cos α＝＝ ＝，
故tan α＝＝，
所以tan＝＝＝7.
1．若tan α＝lg(10a)，tan β＝lg，且α＋β＝，则实数a的值为( )
A．1 B.
C．1或 D．1或10
解析：选C tan(α＋β)＝1?＝＝1?lg2a＋lg a＝0，
所以lg a＝0或lg a＝－1，即a＝1或.
2．化简sin2＋sin2－sin2α的结果是________．
解析：原式＝＋－sin2α
＝1－－sin2α
＝1－cos 2α·cos－sin2α＝1－－＝.
答案：
3．已知sin α＋cos α＝，α∈，sin＝，β∈.
(1)求sin 2α和tan 2α的值；
(2)求cos(α＋2β)的值．
解：(1)由题意得(sin α＋cos α)2＝，
即1＋sin 2α＝，∴sin 2α＝.
又2α∈，∴cos 2α＝＝，
∴tan 2α＝＝.
(2)∵β∈，β－∈，sin＝，
∴cos＝，
于是sin 2＝2sincos＝.
又sin 2＝－cos 2β，
∴cos 2β＝－，
又∵2β∈，∴sin 2β＝，
又∵cos2α＝＝，
∴cos α＝，sin α＝.
∴cos(α＋2β)＝cos αcos 2β－sin αsin 2β
＝ ×－×＝－.
1．(2012·北京西城区期末)已知函数f(x)＝sin2x＋sin xcos x，x∈.
(1)求f(x)的零点；
(2)求f(x)的最大值和最小值．
解：(1)令f(x)＝0，得sin x·(sin x＋cos x)＝0，
所以sin x＝0或tan x＝－.
由sin x＝0，x∈，得x＝π；
由tan x＝－，x∈，得x＝.
综上，函数f(x)的零点为，π.
(2)f(x)＝(1－cos 2x)＋sin 2x＝sin＋.
因为x∈，所以2x－∈.
所以当2x－＝，即x＝时，f(x)的最大值为；
当2x－＝，即x＝时，f(x)的最小值为－1＋.
2．已知0<β<<α<π，且cos＝－，sin＝，求cos(α＋β)的值；
解：∵0<β<<α<π，
∴－<－β<，<α－<π.
∴cos＝
＝ ＝，
sin＝
＝ ＝.
∴cos＝cos
＝coscos＋sinsin
＝－×＋×＝.
∴cos(α＋β)＝2cos2－1＝2×－1＝－.
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