两直线的位置关系
[知识能否忆起]
一、两条直线的位置关系
斜截式
一般式
方
程
y＝k1x＋b1
y＝k2x＋b2
A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)
A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0)
相
交
k1≠k2
A1B2－A2B1≠0
垂
直
k1＝－或
k1k2＝－1
A1A2＋B1B2＝0
平
行
k1＝k2
且b1≠b2
或
重
合
k1＝k2
且b1＝b2
A1＝λA2，B1＝λB2，C1＝λC2(λ≠0)
二、两条直线的交点
设两条直线的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，两条直线的交点坐标就是方程组的解，若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立．
三、几种距离
1．两点间的距离
平面上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离公式：
d(A，B)＝|AB|＝.
2．点到直线的距离
点P(x1，y1)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
3．两条平行线间的距离
两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝.
[小题能否全取]
1．(教材习题改编)已知l1的倾斜角为45°，l2经过点P(－2，－1)，Q(3，m)．若l1⊥l2，则实数m为( )
A．6 B．－6
C．5 D．－5
解析：选B 由已知得k1＝1，k2＝.
∵l1⊥l2，∴k1k2＝－1，
∴1×＝－1，即m＝－6.
2．(教材习题改编)点(0，－1)到直线x＋2y＝3的距离为( )
A. B.
C．5 D.
解析：选B d＝＝.
3．点(a，b)关于直线x＋y＋1＝0的对称点是( )
A．(－a－1，－b－1) B．(－b－1，－a－1)
C．(－a，－b) D．(－b，－a)
解析：选B 设对称点为(x′，y′)，则
解得x′＝－b－1，y′＝－a－1.
4．l1：x－y＝0与l2：2x－3y＋1＝0的交点在直线mx＋3y＋5＝0上，则m的值为( )
A．3 B．5
C．－5 D．－8
解析：选D 由得l1与l2的交点坐标为(1,1)．
所以m＋3＋5＝0，m＝－8.
5．与直线4x＋3y－5＝0平行，并且到它的距离等于3的直线方程是______________________．
解析：设所求直线方程为4x＋3y＋m＝0，由3＝，得m＝10或－20.
答案：4x＋3y＋10＝0或4x＋3y－20＝0
1.在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在，两条直线都有斜率时，可根据斜率的关系作出判断，无斜率时，要单独考虑．
2．在使用点到直线的距离公式或两平行线间的距离公式时，直线方程必须先化为Ax＋By＋C＝0的形式，否则会出错．
两直线的平行与垂直
典题导入
[例1] (2012·浙江高考)设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
[自主解答] 由a＝1，可得l1∥l2；反之，由l1∥l2，可得a＝1或a＝－2.
[答案] A
在本例中若l1⊥l2，试求a.
解：∵l1⊥l2，∴a×1＋2×(a＋1)＝0，
∴a＝－.
由题悟法
1．充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决本题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线l1和l2，l1∥l2?k1＝k2，l1⊥l2?k1·k2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意．
2．(1)若直线l1和l2有斜截式方程l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则直线l1⊥l2的充要条件是k1·k2＝－1.
(2)设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.则l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.
以题试法
1．(2012·大同模拟)设a，b，c分别是△ABC中角A，B，C所对的边，则直线xsin A＋ay＋c＝0与bx－ysin B＋sin C＝0的位置关系是( )
A．平行 B．重合
C．垂直 D．相交但不垂直
解析：选C 由已知得a≠0，sin B≠0，所以两直线的斜率分别为k1＝－，k2＝，由正弦定理得k1·k2＝－·＝－1，所以两条直线垂直．
两直线的交点与距离问题
典题导入
[例2] (2012·浙江高考)定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离．已知曲线C1：y＝x2＋a到直线l：y＝x的距离等于曲线C2：x2＋(y＋4)2＝2到直线l：y＝x的距离，则实数a＝________.
[自主解答] 因曲线C2：x2＋(y＋4)2＝2到直线l：y＝x的距离为－＝2－＝，所以曲线C1与直线l不能相交，故x2＋a＞x，即x2＋a－x＞0.
设C1：y＝x2＋a上一点为(x0，y0)，则点(x0，y0)到直线l的距离d＝＝＝≥＝，所以a＝.
[答案]
由题悟法
1．点到直线的距离问题可直接代入距离公式去求．注意直线方程为一般式．
2．点到与坐标轴垂直的直线的距离，可用距离公式求解．也可用如下方法去求解：
(1)点P(x0，y0)到与y轴垂直的直线y＝a的距离d＝|y0－a|.
(2)点P(x0，y0)到与x轴垂直的直线x＝b的距离d＝|x0－b|.
以题试法
2．(2012·通化模拟)若两平行直线3x－2y－1＝0,6x＋ay＋c＝0之间的距离为，则c的值是________．
解析：由题意得＝≠，
得a＝－4，c≠－2，
则6x＋ay＋c＝0可化为3x－2y＋＝0，
则＝，解得c＝2或－6.
答案：2或－6
对 称 问 题
典题导入
[例3] (2012·成都模拟)在直角坐标系中，A(4,0)，B(0，4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后，再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是( )
A．2 B．6
C．3 D．2
[自主解答] 如图，设点P关于直线AB，y轴的对称点分别为D，C，易求得D(4,2)，C(－2,0)，由对称性知，D，M，N，C共线，则△PMN的周长＝|PM|＋|MN|＋|PN|＝|DM|＋|MN|＋|NC|＝|CD|＝＝2即为光线所经过的路程．
[答案] A
由题悟法
对称问题主要包括中心对称和轴对称
(1)中心对称
①点P(x，y)关于O(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足
②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．
(2)轴对称
①点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m，n)，则有
②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．
以题试法
3．(2012·南京调研)与直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程为( )
A．3x＋4y＋5＝0 B．3x＋4y－5＝0
C．－3x＋4y－5＝0 D．－3x＋4y＋5＝0
解析：选A 与直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程是3x－4(－y)＋5＝0，即3x＋4y＋5＝0.
1．(2012·海淀区期末)已知直线l1：k1x＋y＋1＝0与直线l2：k2x＋y－1＝0，那么“k1＝k2”是“l1∥l2”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选C 由k1＝k2,1≠－1，得l1∥l2；由l1∥l2知k1×1－k2×1＝0，所以k1＝k2.故“k1＝k2”是“l1∥l2”的充要条件．
2．当0＜k＜时，直线l1：kx－y＝k－1与直线l2：ky－x＝2k的交点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选B 解方程组得两直线的交点坐标为，因为0＜k＜，所以＜0，＞0，故交点在第二象限．
3．(2012·长沙检测)已知直线l1的方程为3x＋4y－7＝0，直线l2的方程为6x＋8y＋1＝0，则直线l1与l2的距离为( )
A. B.
C．4 D．8
解析：选B ∵直线l1的方程为3x＋4y－7＝0，直线l2的方程为6x＋8y＋1＝0，即为3x＋4y＋＝0，∴直线l1与直线l2的距离为＝.
4．若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2恒过定点( )
A．(0,4) B．(0,2)
C．(－2,4) D．(4，－2)
解析：选B 由于直线l1：y＝k(x－4)恒过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)．又由于直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，故直线l2恒过定点(0,2)．
5．已知直线l1：y＝2x＋3，若直线l2与l1关于直线x＋y＝0对称，又直线l3⊥l2，则l3的斜率为( )
A．－2 B．－
C. D．2
解析：选A 依题意得，直线l2的方程是－x＝2(－y)＋3，
即y＝x＋，其斜率是，
由l3⊥l2，得l3的斜率等于－2.
6．(2012·岳阳模拟)直线l经过两直线7x＋5y－24＝0和x－y＝0的交点，且过点(5,1)．则l的方程是( )
A．3x＋y＋4＝0 B．3x－y＋4＝0
C．x＋3y－8＝0 D．x－3y－4＝0
解析：选C 设l的方程为7x＋5y－24＋λ(x－y)＝0，即(7＋λ)x＋(5－λ)y－24＝0，则(7＋λ)×5＋5－λ－24＝0.解得λ＝－4.l的方程为x＋3y－8＝0.
7．(2012·郑州模拟)若直线l1：ax＋2y＝0和直线l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0垂直，则实数a的值为________．
解析：由2a＋2(a＋1)＝0得a＝－.
答案：－
8．已知平面上三条直线x＋2y－1＝0，x＋1＝0，x＋ky＝0，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数k的所有取值为________．
解析：若三条直线有两条平行，另外一条与这两条直线相交，则符合要求，此时k＝0或2；若三条直线交于一点，也符合要求，此时k＝1，故实数k的所有取值为0,1,2.
答案：0,1,2
9．(2013·临沂模拟)已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围是________．
解析：由题意得，点到直线的距离为＝.又≤3，即|15－3a|≤15，解得，0≤a≤10，所以a∈[0,10]．
答案：[0,10]
10．(2013·舟山模拟)已知＋＝1(a＞0，b＞0)，求点(0，b)到直线x－2y－a＝0的距离的最小值．
解：点(0，b)到直线x－2y－a＝0的距离为d＝＝(a＋2b)＝≥(3＋2)＝，当且仅当a2＝2b2，a＋b＝ab，即a＝1＋，b＝时取等号．所以点(0，b)到直线x－2y－a＝0的距离的最小值为.
11．(2012·荆州二检)过点P(1,2)的直线l被两平行线l1：4x＋3y＋1＝0与l2：4x＋3y＋6＝0截得的线段长|AB|＝，求直线l的方程．
解：设直线l的方程为y－2＝k(x－1)，
由
解得A；
由解得B.
∵|AB|＝，
∴ ＝，
整理，得7k2－48k－7＝0，
解得k1＝7或k2＝－.
因此，所求直线l的方程为x＋7y－15＝0或7x－y－5＝0.
12．已知直线l：3x－y＋3＝0，求：
(1)点P(4,5)关于l的对称点；
(2)直线x－y－2＝0关于直线l对称的直线方程．
解：设P(x，y)关于直线l：3x－y＋3＝0的对称点为P′(x′，y′)．
∵kPP′·kl＝－1，即×3＝－1.①
又PP′的中点在直线3x－y＋3＝0上，
∴3×－＋3＝0.②
由①②得
(1)把x＝4，y＝5代入③④得x′＝－2，y′＝7，
∴P(4,5)关于直线l的对称点P′的坐标为(－2,7)．
(2)用③④分别代换x－y－2＝0中的x，y，得关于l的对称直线方程为－－2＝0，
化简得7x＋y＋22＝0.
1．点P到点A(1,0)和直线x＝－1的距离相等，且点P到直线y＝x的距离为，这样的点P的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C ∵点P到点A和定直线距离相等，
∴P点轨迹为抛物线，方程为y2＝4x.
设P(t2,2t)，则＝，解得t1＝1，t2＝1＋，t3＝1－，故P点有三个．
2．(2012·福建模拟)若点(m，n)在直线4x＋3y－10＝0上，则m2＋n2的最小值是( )
A．2 B．2
C．4 D．2
解析：选C 设原点到点(m，n)的距离为d，所以d2＝m2＋n2，又因为(m，n)在直线4x＋3y－10＝0上，所以原点到直线4x＋3y－10＝0的距离为d的最小值，此时d＝＝2，所以m2＋n2的最小值为4.
3．在直线l：3x－y－1＝0上求一点P，使得P到A(4,1)和B(0，4)的距离之差最大．
解：如图所示，设点B关于l的对称点为B′，连接AB′并延长交l于P，此时的P满足|PA|－|PB|的值最大．设B′的坐标为(a，b)，则kBB′·kl＝－1，
即3·＝－1.
则a＋3b－12＝0.①
又由于线段BB′的中点坐标为，且在直线l上，
则3×－－1＝0，即3a－b－6＝0.②
解①②，得a＝3，b＝3，即B′(3,3)．
于是AB′的方程为＝，即2x＋y－9＝0.
解得
即l与AB′的交点坐标为P(2,5)．
1．点(1，cos θ)(其中0≤θ≤π)到直线xsin θ＋ycos θ－1＝0的距离是，那么θ等于( )
A. B.或
C. D.或
解析：选B 由已知得＝，
即|sin θ－sin2θ|＝，
∴4sin2θ－4sin θ－1＝0或4sin2θ－4sin θ＋1＝0，
∴sin θ＝或sin θ＝.
∵0≤θ≤π，∴0≤sin θ≤1，
∴sin θ＝，即θ＝或.
2．已知直线l：x－y－1＝0，l1：2x－y－2＝0.若直线l2与l1关于l对称，则l2的方程是( )
A．x－2y＋1＝0 B．x－2y－1＝0
C．x＋y－1＝0 D．x＋2y－1＝0
解析：选B l1与l2关于l对称，则l1上任一点关于l的对称点都在l2上，故l与l1的交点(1,0)在l2上．又易知(0，－2)为l1上一点，设其关于l的对称点(x，y)，则得即(1,0)，(－1，－1)为l2上两点，可得l2方程为x－2y－1＝0.
3．光线沿直线l1：x－2y＋5＝0射入，遇直线l：3x－2y＋7＝0后反射，求反射光线所在的直线方程．
解：法一：由
得
即反射点M的坐标为(－1,2)．
又取直线x－2y＋5＝0上一点P(－5,0)，设P关于直线l的对称点P′(x0，y0)，由PP′⊥l可知，kPP′＝－＝.
而PP′的中点Q的坐标为，Q点在l上，
即3·－2·＋7＝0.
由得
根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为29x－2y＋33＝0.
法二：设直线x－2y＋5＝0上任意一点P(x0，y0)关于直线l的对称点为P′(x，y)，则＝－，
又PP′的中点Q在l上，
即3×－2×＋7＝0，
由
可得P点的坐标为
x0＝，y0＝，
代入方程x－2y＋5＝0中，化简得29x－2y＋33＝0，
故所求反射光线所在的直线方程为29x－2y＋33＝0.
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