第二节命题及其关系、充分条件与必要条件
[知识能否忆起]
一、命题的概念
在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．
二、四种命题及其关系
1．四种命题
命题
表述形式
原命题
若p，则q
逆命题
若q，则p
否命题
若綈p，则綈q
逆否命题
若綈q，则綈p
2．四种命题间的逆否关系
3．四种命题的真假关系
(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
三、充分条件与必要条件
1．如果p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．
2．如果p?q，q?p，则p是q的充要条件．
[小题能否全取]
1．(教材习题改编)下列命题是真命题的为( )
A．若＝，则x＝y B．若x2＝1，则x＝1
C．若x＝y，则＝ D．若xb”是“a2>b2”的充分条件；
②“|a|>|b|”是“a2>b2”的必要条件；
③“a>b”是“a＋c>b＋c”的充要条件．
解析：①由2>－3?/ 22>(－3)2知，该命题为假；②由a2>b2?|a|2>|b|2?|a|>|b|知，该命题为真；③a>b?a＋c>b＋c，又a＋c>b＋c?a>b，∴“a>b”是“a＋c>b＋c”的充要条件为真命题．
答案：②③
1.充分条件与必要条件的两个特征
(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“p?q”?“q?p”；
(2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件．
注意区分“p是q的充分不必要条件”与“p的一个充分不必要条件是q”两者的不同，前者是“p?q”而后者是“q?p”．
2．从逆否命题，谈等价转换
由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而，当判断原命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假，这就是常说的“正难则反”．
四种命题的关系及真假判断
典题导入
[例1] 下列命题中正确的是( )
①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；
②“正多边形都相似”的逆命题；
③“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题；
④“若x－3是有理数，则x是无理数”的逆否命题．
A．①②③④ B．①③④
C．②③④ D．①④
[自主解答] ①中否命题为“若x2＋y2＝0，则x＝y＝0”，正确；③中，Δ＝1＋4m，当m>0时，Δ>0，原命题正确，故其逆否命题正确；②中逆命题不正确；④中原命题正确故逆否命题正确．
[答案] B
由题悟法
在判断四个命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系．要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应的有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”；判定命题为真命题时要进行推理，判定命题为假命题时只需举出反例即可．对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手．
以题试法
1．以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号)．
①“若log2a>0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题；
②命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”；
③命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆命题为真命题；
④命题“若a∈M，则b?M”与命题“若b∈M，则a?M”等价．
解析：对于①，若log2a>0＝log21，则a>1，所以函数f(x)＝logax在其定义域内是增函数，故①不正确；对于②，依据一个命题的否命题的定义可知，该说法正确；对于③，原命题的逆命题是“若x＋y是偶数，则x、y都是偶数”，是假命题，如1＋3＝4是偶数，但3和1均为奇数，故③不正确；对于④，不难看出，命题“若a∈M，则b?M”与命题“若b∈M，则a?M”是互为逆否命题，因此二者等价，所以④正确．综上可知正确的说法有②④.
答案：②④
充分必要条件的判定
典题导入
[例2] (1)(2012·福州质检)“x<2”是“x2－2x<0”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
(2)(2012·北京高考)设a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
[自主解答] (1)取x＝0，则x2－2x＝0，故由x<2不能推出x2－2x<0；由x2－2x<0得03.
1．(2012·福建高考)已知向量a＝(x－1,2)，b＝(2,1)，则a⊥b的充要条件是( )
A．x＝－ B．x＝－1
C．x＝5 D．x＝0
解析：选D a⊥b?2(x－1)＋2＝0，得x＝0.
2．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( )
A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”
B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”
C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”
D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”
解析：选B 原命题的逆命题是：若一个数的平方是正数，则它是负数．
3．(2013·武汉适应性训练)设a，b∈R，则“a>0，b>0”是“>”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选D 由a>0，b>0不能得知>，如取a＝b＝1时，＝；由>不能得知a>0，b>0，如取a＝4，b＝0时，满足>，但b＝0.综上所述，“a>0，b>0”是“>”的既不充分也不必要条件．
4．已知p：“a＝”，q：“直线x＋y＝0与圆x2＋(y－a)2＝1相切”，则p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A 由直线x＋y＝0与圆x2＋(y－a)2＝1相切得，圆心(0，a)到直线x＋y＝0的距离等于圆的半径，即有＝1，a＝±.因此，p是q的充分不必要条件．
5．(2012·广州模拟)命题：“若x2<1，则－11或x<－1，则x2>1
D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1
解析：选D x2<1的否定为：x2≥1；－1y，则x>|y|”的逆命题
B．命题“x>1，则x2>1”的否命题
C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题
D．命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题
解析：选A 对于A，其逆命题是：若x>|y|，则x>y，是真命题，这是因为x>|y|≥y，必有x>y；对于B，否命题是：若x≤1，则x2≤1，是假命题．如x＝－5，x2＝25>1；对于C，其否命题是：若x≠1，则x2＋x－2≠0，由于x＝－2时，x2＋x－2＝0，所以是假命题；对于D，若x2>0，则x>0或x<0，不一定有x>1，因此原命题与它的逆否命题都是假命题．
8．对于函数y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y＝f(x)是奇函数”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B 若y＝f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)，
∴|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|，
∴y＝|f(x)|的图象关于y轴对称，但若y＝|f(x)|的图象关于y轴对称，如y＝f(x)＝x2，而它不是奇函数．
9．命题“若x>0，则x2>0”的否命题是________命题．(填“真”或“假”)
解析：其否命题为“若x≤0，则x2≤0”，它是假命题．
答案：假
10．已知集合A＝{x|y＝lg(4－x)}，集合B＝{x|x4.
答案：(4，＋∞)
11．(2013·绍兴模拟)“－31”是“x1，得x<－1或x>1，又“x2>1”是“x1”，反之不成立，所以a≤－1，即a的最大值为－1.
答案：－1
13．下列命题：
①若ac2>bc2，则a>b；
②若sin α＝sin β，则α＝β；
③“实数a＝0”是“直线x－2ay＝1和直线2x－2ay＝1平行”的充要条件；
④若f(x)＝log2x，则f(|x|)是偶函数．
其中正确命题的序号是________．
解析：对于①，ac2>bc2，c2>0，∴a>b正确；对于②，sin 30°＝sin 150°?/ 30°＝150°，所以②错误；对于③，l1∥l2?A1B2＝A2B1，即－2a＝－4a?a＝0且A1C2?/ A2C1，所以③正确；④显然正确．
答案：①③④
14．已知集合A＝，B＝{x|log4(x＋a)<1}，若x∈A是x∈B的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．
解析：由x2－x－6<1，即x2－x－6>0，解得x<－2或x>3，故A＝{x|x<－2，或x>3}；由log4(x＋a)<1，即0cos 2B”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选C 由大边对大角可知，A0，sin B>0，所以sin Acos 2B.
所以acos 2B，即“Acos 2B”的充要条件．
2．设x、y是两个实数，命题“x、y中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是( )
A．x＋y＝2 B．x＋y>2
C．x2＋y2>2 D．xy>1
解析：选B 命题“x、y中至少有一个数大于1”等价于“x>1或y>1”．
若x＋y>2，必有x>1或y>1，否则x＋y≤2；
而当x＝2，y＝－1时，2－1＝1<2，所以x>1或y>1不能推出x＋y>2.
对于x＋y＝2，当x＝1，且y＝1时，满足x＋y＝2，不能推出x>1或y>1.
对于x2＋y2>2，当x<－1，y<－1时，满足x2＋y2>2，故不能推出x>1或y>1.
对于xy>1，当x<－1，y<－1时，满足xy>1，不能推出x>1或y>1，故选B.
3．已知不等式|x－m|<1成立的充分不必要条件是a＋1，或x1且a≤或a＋1≥1且a<.
∴0≤a≤.故a的取值范围是.
6．已知集合M＝{x|x<－3，或x>5}，P＝{x|(x－a)·(x－8)≤0}．
(1)求M∩P＝{x|51，得α∈，k∈Z，而(k∈Z)．
∴p是q的充分不必要条件．
3．判断命题“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”的逆否命题的真假．
解：法一：写出逆否命题进行判断．
原命题：若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根．
逆否命题：若x2＋x－a＝0无实根，则a<0.
判断如下：
∵x2＋x－a＝0无实根，
∴Δ＝1＋4a<0，∴a<－<0，
∴“若x2＋x－a＝0无实根，则a<0”为真命题．
法二：利用原命题与逆否命题同真同假(即等价关系)判断．
∵a≥0，∴4a≥0，∴4a＋1>0，
∴方程x2＋x－a＝0的判别式Δ＝4a＋1>0，
∴方程x2＋x－a＝0有实根．
故原命题“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”为真．
又因原命题与其逆否命题等价，
所以“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”的逆否命题为真．
法三：利用充要条件与集合关系判断．
令A＝{a∈R|a≥0}，
B＝{a∈R|方程x2＋x－a＝0有实根}＝a∈Ra≥－，
则AB.
∴“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”为真，其逆否命题也为真．
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