§2.2 超几何分布
教学目标
⑴通过实例,理解超几何分布及其特点;
⑵掌握超几何分布列及其导出过程;
⑶通过对实例的分析,会进行简单的应用.
教学重点:超几何分布的理解,分布列的推导
教学难点:超几何分布的应用
教学过程
一、自学导航
1.情境:
在产品质量管理中,常常通过抽样来分析合格品和不合格品的分布,进而分析产品 质量.假定一批产品共件,其中有件不合格品,随机取出的件产品中,不合格品数的概率分布如何?
2.问题:用怎样的数学模型刻画上述问题?
3.学生活动
以,,为例,研究抽取件产品中不合格品数的概率分布.
(假定一批产品共100件,其中有5件不合格品,随机取出的10件产品中,不合格品数X的概率分布如何?)
并将所得到的结果推广到一般的情况,能得到什么结果。
二、探究新知
从件产品中随机抽取件有种等可能基本事件.表示的随机事件是“取到件不合格品和件合格品”,依据分步计数原理有种基本事件,根据古典概型,.
类似地,可以求得取其他值时对应的随机事件的概率,从而得到不合格品数的概率分布如下表所示:
对一般情形,一批产品共件,其中有件不合格品,随机取出的件产品中,不合格品数的分布如下表所示:
…
…
其中.
一般地,若一个随机变量的分布列为,
其中,,,,…,,,则称服从超几何分布,
记为,并将记为.
说明:
(1)超几何分布的模型是不放回抽样; (2)超几何分布中的参数是,,.
三、例题精讲
例1 高三(1)班的联欢会上设计了一项游戏:在一个口袋中装有个红球,个白
球,这些球除颜色外完全相同.现一次从中摸出个球,
(1)若摸到个红球个白球的就中一等奖,求中一等奖的概率.
(2)若至少摸到个红球就中奖,求中奖的概率.
解:(1)若以个球为一批产品,其中红球为不合格产品,随机抽取个球,表示取到的红球数,则服从超几何分布.
由公式得,
所以获一等奖的概率约为.
(2)根据题意,设随机变量表示“摸出红球的个数”,则服从超几何分布,的可能取值为,,,,,,根据公式可得至少摸到个红球的概率为:
,
故中奖的概率为.
例2 生产方提供箱的一批产品,其中有箱不合格产品.采购方接收该批产品的准则是:从该批产品中任取箱产品进行检测,若至多有箱不合格产品,便接收该批产品.问:该批产品被接收的概率是多少?
解:以箱为一批产品,从中随机抽取箱,用表示“箱中不合格产品的箱数”,
则服从超几何分布.这批产品被接收的条件是箱中没有不合格的箱或只有箱不合格,所以被接收的概率为即 .
答:该批产品被接收的概率是(约为).
说明:(1)在超几何分布中,只要知道、和,就可以根据公式,
求出取不同值时的概率,从而列出的分布列.
(2)一旦掌握了的分布列,就可以算出相应试验的很多事件的概率,从而就完全掌握了该试验.
思考:该批产品中出现不合格产品的概率是多少?
例3 张彩票中只有张中奖票,今从中任取张,为了使这张彩票里至少有一张中奖的概率大于,至少为多少?
解:设随机变量表示“抽出中奖票的张数”,则服从超几何分布,
根据公式可得至少有一张中奖的概率,
解得.
答:至少为张.
四、课堂精练
练习:课本第51页练习第1,2题.
五、回顾小结
1.超几何分布的特点;
2.超几何分布列的简单应用.
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六、拓展延伸
七、课后作业课本第52页习题2.2第4题.
八、教学后记
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