§2.3.2 矩阵乘法的简单性质
教学目标
1.通过几何变换，使学生理解一般情况下，矩阵乘法不满足交换律．
2.会验证矩阵的乘法满足结合律．
3.从几何变换的角度了解矩阵乘法不满足消去律．
教学重点、难点
矩阵乘法的简单性质
学习过程：
一、问题情境
阅读教材，体会下列知识：
1．两个二阶矩阵的乘法满足结合律，但不满足交换律和消去律
即 (AB)C=A(BC), ABBA, 由 AB=AC不一定能推出B=C.
2．理解矩阵的乘法运算与变换的复合之间的内在联系
（1）两个二阶矩阵相乘的结果从几何的角度来看它表示的是原来两个矩阵对应的连续两次变换.
（2）一般地两个变换之间是不能随意交换位置的，只有在特殊情况下才可以交换位置
（3）矩阵AB对应的复合变换顺序是先进行矩阵B对应的变换再进行矩阵A对应的变换.如果连续对一个向量实施n次矩阵A对应的变换可以记为的形式.
（4）在数学中，一一对应的平面几何变换都可以看是伸压、反射、旋转、切变变换的一次或多次复合，而伸压、反射、切变等变换通常叫做初等变换，对应的矩阵叫做初等变换矩阵.
练习
1．对任意的二阶非零矩阵A、B、C，下列命题中:（1）AB=BA ; （2）AB≠0; （3）若AB=AC，则B=C;（4）A（BC）=（AB）C; （5）A2≠0; （6）当E为单位矩阵时恒有：AE=EA=A.，其中真命题的序号为
2．已知正方形ABCD，A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1）变换T1对应矩阵为M＝ ，变换T2对应矩阵为N＝ 对应的变换，计算MN，NM，比较它们是否相同，并从几何变换的角度解释．
二、例题精讲
例1 已知梯形ABCD，A（0，0），B（3，0），C（2，2），D（1，2），变换T1对应的矩阵P＝，变换T2对应的矩阵Q＝，计算PQ，QP，比较它们是否相同，并从几何变换的角度予以解释．
例2 利用矩阵变换的几何意义，请构造满足下列条件的矩阵，并给出几何解释：
（1）构造两个矩阵M，N，它们不满足MN=NM；
（2）构造两个不同的矩阵A，B，使等式成立；
（3）构造两个不同的矩阵A，B，使等式成立．
三、课堂精练：
1. 已知：A= ，B＝ ，C＝ ，计算AB，AC．
2．已知正方形ABCD，A（0，0），B（2，0），C（2，2），D（0，2），先将正方形绕原点顺时针旋转900，再将所得图形的纵坐标压缩为原来的一半，横坐标不变，试求：
（1）连续两次变换所对应的变换矩阵M；
（2）点同A，B，C，D所对应的向量在变换矩阵M作用下所得到的结果；
（3）在直角坐标系内画出两次变换后得到的图形，并验证（2）中的结果；
（4）若先将正方形的纵坐标压缩为原来的一半，横坐标不变，再将所得图形绕原点顺时针旋转900，所得图形会是什么样？试画出示意图．
3．设a，b∈R，若矩阵A=把直线l：2x+y-7=0变换为另一直线l’：9x+y-91=0，试求a，b的值．
4．已知△ABC，A（0，0），B（2，0），C（1，2），对它先作M＝对应的变换，再作N＝对应的变换，试研究变换作用后的结果，并用一个矩阵来表示这两次变换．
四、回顾小结
1.我已掌握的知识
2.我已掌握的方法
五、课后作业：
1．已知非零二阶矩阵A、B、C，下列结论正确的是 （ ）
A.AB=BA B.(AB)C=A(BC) C.若AC=BC则A=B D. 若CA=CB则A=B
2．，则Ｎ2＝
3．＝
4．＝
5.设，则向量经过先Ａ再Ｂ的变换后的向量为 经过先Ｂ再A的变换后的向量为
6.△ABC的顶点A(0,0),B(2,0),C(0,1)．如果将三角形先后经过和两次变换变成△A‘B’C’,求△A‘B’C’的面积．
7．已知中，A（0，0），B（2，0），C（1，2），对它先作M=对应的变换，再作N=对应的变换，试研究变换作用后的结果，并用一个矩阵来表示这两次变换.
8．利用矩阵变换的几何意义，请你构造满足下列条件的矩阵，并给出几何解释：
（1）构造两个不同的矩阵A、B，使ＡＢ＝成立；
（2）构造一个矩阵M（M为非零矩阵），使Ｍ成立．
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