抛物线的几何性质
一、教学目标
(一)知识教学点
使学生理解并掌握抛物线的几何性质，并能从抛物线的标准方程出发，推导这些性质．
(二)能力训练点
从抛物线的标准方程出发，推导抛物线的性质，从而培养学生分析、归纳、推理等能力．
(三)学科渗透点
使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线方程的关系概念的理解，这样才能解决抛物线中的弦、最值等问题．
二、教材分析
1．重点：抛物线的几何性质及初步运用．
(解决办法：引导学生类比椭圆、双曲线的几何性质得出．)
2．难点：抛物线的几何性质的应用．
(解决办法：通过几个典型例题的讲解，使学生掌握几何性质的应用．)
3．疑点：抛物线的焦半径和焦点弦长公式．
(解决办法：引导学生证明并加以记忆．)
三、活动设计
提问、填表、讲解、演板、口答．
四、教学过程
(一)复习
1．抛物线的定义是什么？
请一同学回答．应为：“平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．”
2．抛物线的标准方程是什么？
再请一同学回答．应为：抛物线的标准方程是y2=2px(p＞0)，y2=-2px(p＞0)，x2=2py(p＞0)和x2=-2py(p＞0)．
下面我们类比椭圆、双曲线的几何性质，从抛物线的标准方程y2=2px(p＞0)出发来研究它的几何性质．
(二)几何性质
怎样由抛物线的标准方程确定它的几何性质？以y2=2px(p＞0)为例，用小黑板给出下表，请学生对比、研究和填写．
填写完毕后，再向学生提出问题：和椭圆、双曲线的几何性质相比，抛物线的几何性质有什么特点？
学生和教师共同小结：
(1)抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但是没有渐近线．
(2)抛物线只有一条对称轴，这条对称轴垂直于抛物线的准线或与顶点和焦点的连线重合，抛物线没有中心．
(3)抛物线只有一个顶点，它是焦点和焦点在准线上射影的中点．
(4)抛物线的离心率要联系椭圆、双曲线的第二定义，并和抛物线的定义作比较．其结果是应规定抛物线的离心率为1．注意：这样不仅引入了抛物线离心率的概念，而且把圆锥曲线作为点的轨迹统一起来了．
(三)应用举例
为了加深对抛物线的几何性质的认识，掌握描点法画图的基本方法，给出如下例1．
例1 已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点
解：因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点
程是y2=4x．
后一部分由学生演板，检查一下学生对用描点法画图的基本方法掌握情况．
第一象限内的几个点的坐标，得：
(2)描点作图
描点画出抛物线在第一象限内的一部分，再利用对称性，就可以画出抛物线的另一部分(如图2-33)．
例2 已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M(-3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值．
解法一：由焦半径关系，设抛物线方程为y2=-2px(p＞0)，则准线方
因为抛物线上的点M(-3，m)到焦点的距离|MF|与到准线的距离
得p=4．
因此，所求抛物线方程为y2=-8x．
又点M(-3，m)在此抛物线上，故m2=-8(-3)．
解法二：由题设列两个方程，可求得p和m．由学生演板．由题意
在抛物线上且|MF|=5，故
本例小结：
(1)解法一运用了抛物线的重要性质：抛物线上任一点到焦点的距离(即此点的焦半径)等于此点到准线的距离．可得焦半径公式：设P(x0，
这个性质在解决许多有关焦点的弦的问题中经常用到，因此必须熟练掌握．
(2)由焦半径不难得出焦点弦长公式：设AB是过抛物线焦点的一条弦(焦点弦)，若A(x1，y1)、B(x2，y2)则有|AB|=x1+x2+p．特别地：当AB⊥x轴，抛物线的通径|AB|=2p(详见课本习题)．
例3 过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点F的一条直线与这抛物线相交于A、B两点，且A(x1，y1)、B(x2，y2)(图2-34)．
证明：
(1)当AB与x轴不垂直时，设AB方程为：
此方程的两根y1、y2分别是A、B两点的纵坐标，则有y1y2=-p2．
或y1=-p，y2=p，故y1y2=-p2．
综合上述有y1y2=-p2
又∵A(x1，y1)、B(x2，y2)是抛物线上的两点，
本例小结：
(1)涉及直线与圆锥曲线相交时，常把直线与圆锥曲线方程联立，消去一个变量，得到关于另一变量的一元二次方程，然后用韦达定理求解，这是解决这类问题的一种常用方法．
(2)本例命题1是课本习题中结论，要求学生记忆．
(四)练习
1．过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，若x1+x2=6，求|AB|的值．
由学生练习后口答．由焦半径公式得：|AB|=x1+x2+p=8
2．证明：与抛物线的轴平行的直线和抛物线只有一个交点．
请一同学演板，其他同学练习，教师巡视．证明：可设抛物线方程
故抛物线y2=2px与平行于其轴的直线只有一个交点．
(五)全课小结
1．抛物线的几何性质；
2．抛物线的应用．
五、布置作业
1．在抛物线y2=12x上，求和焦点的距离等于9的点的坐标．
2．有一正三角形的两个顶点在抛物线y2=2px上，另一顶点在原点，求这个三角形的边长．
3．图2-35是抛物线拱桥的示意图，当水面在l时，拱顶高水面2m，水面宽4m，水下降11m后，水面宽多少？
4．求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆，必与抛物线的准线相切．
作业答案：
3．建立直角坐标系，设拱桥的抛物线方程为x2=-2py，可得抛物线
4．由抛物线的定义不难证明
六、板书设计
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