第一节平面向量的概念及其线性运算
[知识能否忆起]
一、向量的有关概念
1．向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．
2．零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的．
3．单位向量：长度等于1个单位的向量．
4．平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．
5．相等向量：长度相等且方向相同的向量．
6．相反向量：长度相等且方向相反的向量．
二、向量的线性运算
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算
三角形法则
平行四边形法则
(1)交换律：a＋b＝b＋a；
(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法
求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差
三角形法则
三、向量的数乘运算及其几何意义
1．定义：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下：
①|λa|＝|λ||a|；
②当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.
2．运算律：设λ，μ是两个实数，则：
①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λ a＋μ a；③λ(a＋b)＝λa＋λb.
四、共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.
[小题能否全取]
1．下列命题正确的是( )
A．不平行的向量一定不相等
B．平面内的单位向量有且仅有一个
C．a与b是共线向量，b与c是平行向量，则a与c是方向相同的向量
D．若a与b平行，则b与a方向相同或相反
解析：选A 对于B，单位向量不是仅有一个，故B错；对于C，a与c的方向也可能相反，故C错；对于D，若b＝0，则b的方向是任意的，故D错，综上可知选A.
2.如右图所示，向量a－b等于( )
A．－4e1－2e2 B．－2e1－4e2
C．e1－3e2 D．3e1－e2
解析：选C 由题图可得a－b＝＝e1－3e2.
3．(教材习题改编)设a，b为不共线向量，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，则下列关系式中正确的是( )
A．＝ B．＝2
C．＝－ D．＝－2
解析：选B ＝＋＋＝a＋2b＋(－4a－b)＋(－5a－3b)＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2.
4．若菱形ABCD的边长为2，则|－＋|＝________.
解析：|－＋|＝|＋＋|＝||＝2.
答案：2
5．已知a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________.
解析：由题意知a＋λb＝k[－(b－3a)]，
所以解得
答案：－
共线向量定理应用时的注意点
(1)向量共线的充要条件中要注意“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个．
(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所
在直线平行，必须说明这两条直线不重合．
向量的有关概念
典题导入
[例1] 给出下列命题：
①两个具有共同终点的向量，一定是共线向量；
②若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；
③若a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；
④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．
其中假命题的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[自主解答] ①不正确．当起点不在同一直线上时，虽然终点相同，但向量不共线．
②正确．∵＝，∴||＝||且∥.
又∵A，B，C，D是不共线的四点，
∴四边形ABCD是平行四边形．
反之，若四边形ABCD是平行四边形，则AB綊DC且与方向相同，因此＝.
③不正确．两向量不能比较大小．
④不正确．当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线．
[答案] C
由题悟法
1．平面向量的概念辨析题的解题方法
准确理解向量的基本概念是解决该类问题的关键，特别是对相等向量、零向量等概念的理解要到位，充分利用反例进行否定也是行之有效的方法．
2．几个重要结论
(1)向量相等具有传递性，非零向量的平行具有传递性；
(2)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量；
(3)向量平行与起点的位置无关.
以题试法
1．设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选D 向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.
向量的线性运算
典题导入
[例2] (1)(2011·四川高考)如图，正六边形ABCDEF中，＋＋＝( )
A．0 B．
C． D．
(2)在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ等于( )
A. B.
C．－ D．－
[自主解答] (1)如图，∵在正六边形ABCDEF中，＝，＝，
∴＋＋＝＋＋＝＋＝＋＝CF―→.
(2)∵＝＋，＝＋，
∴2＝＋＋＋.
又∵＝2，
∴2＝＋＋
＝＋＋(－)
＝＋.
∴＝＋，即λ＝.
[答案] (1)D (2)A
若(2)中的条件作如下改变：若点D是AB边延长线上一点且||＝||，若＝λ＋μ，则λ－μ的值为________．
解析：∵＝＋＝＋2＝＋2(－)＝2－＝λ＋μ.
∴λ＝2，μ＝－1.∴λ－μ＝3.
答案：3
由题悟法
在进行向量的线性运算时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则求解，并注意利用平面几何的性质，如三角形中位线、相似三角形等知识．
以题试法
2．(2012·汉阳调研)若A，B，C，D是平面内任意四点，给出下列式子：
①＋＝＋；②＋＝＋；
③－＝＋.其中正确的有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析：选C ①式的等价式是－＝－，左边＝＋，右边＝＋，不一定相等；②式的等价式是－＝－，＋＝＋＝成立；③式的等价式是－＝＋，＝成立．
共 线 向 量
典题导入
[例3] 设两个非零向量a与b不共线．
(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)．求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
[自主解答] (1)证明：∵＝a＋b，＝2a＋8b，
＝3(a－b)，
∴＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)
＝2a＋8b＋3a－3b
＝5(a＋b)＝5.
∴，共线，
又∵它们有公共点B，∴A，B，D三点共线．
(2)∵ka＋b与a＋kb共线，
∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，
即ka＋b＝λa＋λkb.
∴(k－λ)a＝(λk－1)b.
∵a，b是不共线的两个非零向量，
∴k－λ＝λk－1＝0，即k2－1＝0.
∴k＝±1.
由题悟法
1．当两向量共线时，只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，解决向量共线问题要注意待定系数法和方程思想的运用．
2．证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系．
以题试法
3．已知a，b不共线，＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，设t∈R，如果3a＝c,2b＝d，e＝t(a＋b)，是否存在实数t使C，D，E三点在一条直线上？若存在，求出实数t的值，若不存在，请说明理由．
解：由题设知，＝d－c＝2b－3a，＝e－c＝(t－3)a＋tb，C，D，E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k，使得＝k，即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb，
整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b.
因为a，b不共线，所以有
解之得t＝.
故存在实数t＝使C，D，E三点在一条直线上．
1．下列等式：①0a＝－a；②－(－a)＝a；③a＋(－a)＝0；④a＋0a；⑤a－b＝a＋(－b)．正确的个数是( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选C a＋(－a)＝0，故③错．
2．(2012·福州模拟)若a＋b＋c＝0，则a，b，c( )
A．都是非零向量时也可能无法构成一个三角形
B．一定不可能构成三角形
C．都是非零向量时能构成三角形
D．一定可构成三角形
解析：选A 当a，b，c为非零向量且不共线时可构成三角形，而当a，b，c为非零向量共线时不能构成三角形．
3．(2012·威海质检)已知平面上不共线的四点O，A，B，C.若＋2＝3，则的值为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 由＋2＝3，得－＝2－2 ，即＝2，所以＝.
4．(2012·海淀期末)如图，正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点(靠近B)，那么＝( )
A. － B. ＋
C. ＋ D. －
解析：选D 在△CEF中，有＝＋，因为点E为DC的中点，所以＝.因为点F为BC的一个三等分点，所以＝.所以＝＋＝＋＝－.
5．(2013·揭阳模拟)已知点O为△ABC外接圆的圆心，且＋＋＝0，则△ABC的内角A等于( )
A．30° B．60°
C．90° D．120°
解析：选A 由＋＋＝0得＋＝，由O为△ABC外接圆的圆心，结合向量加法的几何意义知四边形OACB为菱形，且∠CAO＝60°，故A＝30°.
6．已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足＋＋＝，则点P与△ABC的关系为( )
A．P在△ABC内部
B．P在△ABC外部
C．P在AB边所在直线上
D．P是AC边的一个三等分点
解析：选D ∵＋＋＝，
∴＋＋＝－，∴＝－2＝2，
∴P是AC边的一个三等分点．
7．(2012·郑州五校联考)设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，2＝16，|＋|＝|－|，则||＝________.
解析：由|＋|＝|－|可知，⊥，则AM为Rt△ABC斜边BC上的中线，因此，||＝||＝2.
答案：2
8．(2013·大庆模拟)已知O为四边形ABCD所在平面内一点，且向量，，，满足等式＋＝＋，则四边形ABCD的形状为________．
解析：∵＋＝＋，∴－＝－，
∴＝.∴四边形ABCD为平行四边形．
答案：平行四边形
9．设向量e1，e2不共线，＝3(e1＋e2)，＝e2－e1，＝2e1＋e2，给出下列结论：①A，B，C共线；②A，B，D共线；③B，C，D共线；④A，C，D共线，其中所有正确结论的序号为________．
解析：由＝－＝4e1＋2e2＝2，且与不共线，可得A，C，D共线，且B不在此直线上．
答案：④
10．设i，j分别是平面直角坐标系Ox，Oy正方向上的单位向量，且＝－2i＋mj，＝n i＋j，＝5i－j，若点A，B，C在同一条直线上，且m＝2n，求实数m，n的值．
解：＝－＝(n＋2)i＋(1－m)j，
＝－＝(5－n)i－2j.
∵点A，B，C在同一条直线上，
∴∥，即＝λ.
∴(n＋2)i＋(1－m)j＝λ[(5－n)i－2j]．
∴解得或
11.如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，＝，＝a，＝b.
(1)用a，b表示向量，，，，；
(2)求证：B，E，F三点共线．
解：(1)延长AD到G，
使＝，
连接BG，CG，得到?ABGC，
所以＝a＋b，
＝＝(a＋b)，
＝＝(a＋b)，
＝＝b，
＝－＝(a＋b)－a＝(b－2a)，
＝－＝b－a＝(b－2a)．
(2)证明：由(1)可知＝，又因为
，有公共点B，
所以B，E，F三点共线．
12．设e1，e2是两个不共线向量，已知＝2e1－8e2，
＝e1＋3e2，＝2e1－e2.
(1)求证：A，B，D三点共线；
(2)若＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，求k的值．
解：(1)证明：由已知得＝－＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2
∵＝2e1－8e2，∴＝2，
又∵AB与BD有公共点B，
∴A，B，D三点共线．
(2)由(1)可知＝e1－4e2，且＝3e1－ke2，
∵B，D，F三点共线，得＝λ，
即3e1－ke2＝λe1－4λe2，
得解得k＝12，
∴k＝12.
1.如图所示，已知点G是△ABC的重心，过G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且＝x，＝y，则的值为( )
A．3 B.
C．2 D.
解析：选B (特例法)利用等边三角形，过重心作平行于底面BC的直线，易得＝.
2．(2012·吉林四平质检)若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足5＝＋3，则△ABM与△ABC的面积比为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 设AB的中点为D，
由5＝＋3，
得3－3＝2－2，
即3＝2，如图所示，
故C，M，D三点共线，且＝，也就是△ABM与△ABC对于边AB的两高之比为，则△ABM与△ABC的面积比为.
3．已知O，A，B三点不共线，且＝m＋n，(m，n∈R)．
(1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线；
(2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1.
证明：(1)∵m，n∈R，且m＋n＝1，
∴＝m＋n＝m＋(1－m) ，
∴－＝m(－)．
∴＝m，而≠0，且m∈R.
∴与共线，
又，有公共点B.
∴A，P，B三点共线．
(2)∵A，P，B三点共线，∴与共线，∴存在实数λ，使＝λ，
∴－＝λ(－)．
∴＝λ＋(1－λ) .
又∵＝m＋n，
∴m＋n＝λ＋(1－λ) .
又∵O，A，B不共线，∴，不共线．
由平面向量基本定理得
∴m＋n＝1.
1．已知e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，则a与b共线的条件是( )
A．λ＝0 B．e2＝0
C．e1∥e2 D．e1∥e2或λ＝0
解析：选D 若e1与e2共线，则e2＝λ′e1.
因此a＝(1＋λλ′)e1，此时a∥b.
若e1与e2不共线，设a＝μb，则
e1＋λe2＝μ·2e1，因此λ＝0,1－2μ＝0.
2.如图，已知＝a，＝b，＝3，用a，b表示，则等于( )
A．a＋b B.a＋b
C.a＋b D.a＋b
解析：选B ＝＋＝＋＝a＋(b－a)＝a＋b.
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