平面向量的数量积与平面向量应用举例
[知识能否忆起]
一、两个向量的夹角
1．定义
已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角．
2．范围
向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°，a与b同向时，夹角θ＝0°；a与b反向时，夹角θ＝180°.
3．向量垂直
如果向量a与b的夹角是90°，则a与b垂直，记作a⊥b.
二、平面向量数量积
1．已知两个非零向量a与b，则数量|a||b|·cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，其中θ是a与b的夹角．
规定0·a＝0.
当a⊥b时，θ＝90°，这时a·b＝0.
2．a·b的几何意义：
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．
三、向量数量积的性质
1．如果e是单位向量，则a·e＝e·a.
2．a⊥b?a·b＝0.
3．a·a＝|a|2，|a|＝.
4．cos θ＝.(θ为a与b的夹角)
5．|a·b|≤|a||b|.
四、数量积的运算律
1．交换律：a·b＝b·a.
2．分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
3．对λ∈R，λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)．
五、数量积的坐标运算
设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则：
1．a·b＝a1b1＋a2b2.
2．a⊥b?a1b1＋a2b2＝0.
3．|a|＝.
4．cos θ＝＝.(θ为a与b的夹角)
[小题能否全取]
1．已知向量a，b和实数λ，下列选项中错误的是( )
A．|a|＝ B．|a·b|＝|a|·|b|
C．λ(a·b)＝λa·b D．|a·b|≤|a|·|b|
解析：选B |a·b|＝|a|·|b||cos θ|，只有a与b共线时，才有|a·b|＝|a||b|，可知B是错误的．
2．已知|a|＝4，|b|＝3，a与b的夹角为120°，则b在a方向上的投影为( )
A．2 B.
C．－2 D．－
解析：选D |b|cos θ＝3cos 120°＝－.
3．(2012·重庆高考)设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|＝( )
A. B.
C．2 D．10
解析：选B ∵a⊥b，∴a·b＝0，即x－2＝0，∴x＝2.
∴a＝(2,1)，∴a2＝5，b2＝5，|a＋b|＝＝＝＝.
4．已知向量a和向量b的夹角为30°，|a|＝2，|b|＝，则向量a和向量b的数量积a·b＝________.
解析：a·b＝2××＝3.
答案：3
5．已知|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则向量a与b的夹角θ＝________.
解析：∵a·(b－a)＝a·b－a2＝2，∴a·b＝2＋a2＝3.
∴cos θ＝＝＝.∴向量a与b的夹角为.
答案：
1.对两向量夹角的理解
(1)两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角，若起点不同，应通过移动，使其起点相同，再观察夹角．
(2)两向量夹角的范围为[0，π]，特别当两向量共线且同向时，其夹角为0，共线且反向时，其夹角为π.
(3)在利用向量的数量积求两向量的夹角时，一定要注意两向量夹角的范围．
2．向量运算与数量运算的区别
(1)若a，b∈R，且a·b＝0，则有a＝0或b＝0，但a·b＝0却不能得出a＝0或b＝0.
(2)若a，b，c∈R，且a≠0，则由ab＝ac可得b＝c，但由a·b＝a·c及a≠0却不能推出b＝c.
(3)若a，b，c∈R，则a(bc)＝(ab)c(结合律)成立，但对于向量a，b，c，而(a·b)·c与a·(b·c)一般是不相等的，向量的数量积是不满足结合律的．
(4)若a，b∈R，则|a·b|＝|a|·|b|，但对于向量a，b，却有|a·b|≤|a||b|，等号当且仅当a∥b时成立．
平面向量数量积的运算
典题导入
[例1] (1)若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)满足条件(8a－b)·c＝30，则x＝( )
A．6 B．5
C．4 D．3
(2) (2012·浙江高考)在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则·＝________.
[自主解答] (1)8a－b＝8(1,1)－(2,5)＝(6,3)，
所以(8a－b)·c＝(6,3)·(3，x)＝30.
即18＋3x＝30，解得x＝4.
(2) 如图所示，∵＝＋，＝＋MC―→＝－，
∴·＝(＋)·(－)＝2－2＝||2－||2＝9－25＝－16.
[答案] (1)C (2) －16
由题悟法
平面向量数量积问题的类型及求法
(1)已知向量a，b的模及夹角θ，利用公式a·b＝|a||b|·cos θ求解；
(2)已知向量a，b的坐标，利用数量积的坐标形式求解．
以题试法
1．(1)(2012·天津高考)在△ABC中，∠A＝90°，AB＝1，AC＝2.设点P，Q满足＝λ，＝(1－λ) ，λ∈R.若·＝－2，则λ＝( )
A. B.
C. D．2
解析：选B 由题意可知＝－＝(1－λ) －，＝－＝λ－，且·＝0，故·＝－(1－λ) 2－λ2＝－2.又||＝1，||＝2，代入上式解得λ＝.
(2)(2011·江西高考)已知两个单位向量e1，e2的夹角为，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝________.
解析：b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，
则b1·b2＝(e1－2e2)·(3e1＋4e2)＝3e－2e1·e2－8e.
又因为e1，e2为单位向量，夹角为，
所以b1·b2＝3－2×－8＝3－1－8＝－6.
答案：－6
两平面向量的夹角与垂直
典题导入
[例2] (1)(2012·福州质检)已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为120°，a＋b＋c＝0，则a与c的夹角为( )
A．150° B．90°
C．60° D．30°
(2)(2011·新课标全国卷)已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a＋b与向量ka－b垂直，则k＝________.
[自主解答] (1)∵a·b＝1×2×cos 120°＝－1，c＝－a－b，∴a·c＝a·(－a－b)＝－a·a－a·b＝－1＋1＝0，∴a⊥c.
∴a与c的夹角为90°.
(2)∵a与b是不共线的单位向量，∴|a|＝|b|＝1.
又ka－b与a＋b垂直，∴(a＋b)·(ka－b)＝0，
即ka2＋ka·b－a·b－b2＝0.
∴k－1＋ka·b－a·b＝0.
即k－1＋kcos θ－cos θ＝0(θ为a与b的夹角)．
∴(k－1)(1＋cos θ)＝0.又a与b不共线，
∴cos θ≠－1.∴k＝1.
[答案] (1)B (2)1
若本例(1)条件变为非零向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，试求a与b的夹角．
解：设|a|＝m(m>0)，a，b的夹角为θ，由题设知(a＋b)2＝c2，即2m2＋2m2cos θ＝m2，得cos θ＝－.又0°≤θ≤180°，所以θ＝120°，即a，b的夹角为120°.
由题悟法
1．求两非零向量的夹角时要注意：
(1)向量的数量积不满足结合律；
(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不能共线时两向量的夹角就是钝角．
2．当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角，需求得a·b及|a|，|b|或得出它们的关系．
以题试法
2．(1)设向量a＝(x－1,1)，b＝(－x＋1,3)，则a⊥(a－b)的一个充分不必要条件是( )
A．x＝0或2 B．x＝2
C．x＝1 D．x＝±2
(2)已知向量a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝a＋λb(λ∈R)，向量d如图所示，则( )
A．存在λ>0，使得向量c与向量d垂直
B．存在λ>0，使得向量c与向量d夹角为60°
C．存在λ<0，使得向量c与向量d夹角为30°
D．存在λ>0，使得向量c与向量d共线
解析：(1)选B a＝(x－1,1)，a－b＝(x－1,1)－(－x＋1,3)＝(2x－2，－2)，故a⊥(a－b)?2(x－1)2－2＝0?x＝0或2，故x＝2是a⊥(a－b)的一个充分不必要条件．
(2)选D 由图可知d＝4a＋3b＝4，故D正确；对于A，由图知若向量c与向量d垂直，则有λ<0；对于B，若λ>0，则由图观察得向量c与向量d夹角小于60°；对于C，若λ<0，则向量c与向量d夹角大于30°.
平面向量的模
典题导入
[例3] 设向量a，b满足|a|＝1，|a－b|＝，a·(a－b)＝0，则|2a＋b|＝( )
A．2 B．2
C．4 D．4
[自主解答] 由a·(a－b)＝0，可得a·b＝a2＝1，
由|a－b|＝，可得(a－b)2＝3，即a2－2a·b＋b2＝3，解得b2＝4.
故(2a＋b)2＝4a2＋4a·b＋b2＝12，故|2a＋b|＝2.
[答案] B
由题悟法
利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：
(1)|a|2＝a2＝a·a；
(2)|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；
(3)若a＝(x，y)则|a|＝.
以题试法
3．(2012·聊城质检)已知向量a＝(sin x,1)，b＝.
(1)当a⊥b时，求|a＋b|的值；
(2)求函数f(x)＝a·(b－a)的最小正周期．
解：(1)由已知得a·b＝0，
|a＋b|＝＝＝
＝ ＝.
(2)∵f(x)＝a·b－a2＝sin xcos x－－sin2x－1
＝sin 2x－－＝sin－2，
∴函数f(x)的最小正周期为π.
平面向量数量积的综合应用
典题导入
[例4] (2012·太原模拟)已知f(x)＝a·b，其中a＝(2cos x，－sin 2x)，b＝(cos x,1)(x∈R)．
(1)求f(x)的周期和单调递减区间；
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，f(A)＝－1，a＝，·＝3，求边长b和c的值(b>c)．
[自主解答] (1)由题意知，f(x)＝2cos2x－sin 2x＝1＋cos 2x－sin 2x＝1＋2cos，
∴f(x)的最小正周期T＝π，
∵y＝cos x在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上单调递减，
∴令2kπ≤2x＋≤2kπ＋π，得kπ－≤x≤kπ＋.
∴f(x)的单调递减区间，k∈Z.
(2)∵f(A)＝1＋2cos＝－1，
∴cos＝－1.
又<2A＋<，∴2A＋＝π.
∴A＝.
∵·＝3，即bc＝6，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b＋c)2－3bc,7＝(b＋c)2－18，b＋c＝5，
又b>c，∴b＝3，c＝2.
由题悟法
向量与其它知识结合，题目新颖而精巧，既符合考查知识的“交汇处”的命题要求，又加强了对双基覆盖面的考查，特别是通过向量坐标表示的运算，利用解决平行、垂直、夹角和距离等问题的同时，把问题转化为新的函数、三角或几何问题．
以题试法
4．(1)(2012·朔州调研)质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F1，F2成60°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为( )
A．2 B．2
C．2 D．6
(2)若M为△ABC所在平面内一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，则△ABC为( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
解析：(1)选A 由已知条件F1＋F2＋F3＝0，则F3＝－F1－F2，F＝F＋F＋2|F1||F2|cos 60°＝28.
因此，|F3|＝2.
(2)选B 由(－)·(＋－2)＝0，可知·(＋)＝0，设BC的中点为D，则＋＝2，故·＝0.所以⊥.又D为BC的中点，故△ABC为等腰三角形
1．(2012·豫东、豫北十校阶段性测试)若向量a＝(x＋1,2)和向量b＝(1，－1)平行，则|a＋b|＝( )
A. B.
C. D.
解析：选C 依题意得，－(x＋1)－2×1＝0，得x＝－3，故a＋b＝(－2,2)＋(1，－1)＝(－1,1)，所以|a＋b|＝＝.
2．(2012·山西省考前适应性训练)已知向量a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b方向上的投影为( )
A. B.
C. D.
解析：选D 依题意得，向量a在b方向上的投影为＝＝.
3．已知A，B，C为平面上不共线的三点，若向量＝(1,1)，n＝(1，－1)，且n·＝2，则n·等于( )
A．－2 B．2
C．0 D．2或－2
解析：选B n·＝n·(＋)＝n·＋n·＝(1，－1)·(－1，－1)＋2＝0＋2＝2.
4．(2012·湖南高考)在△ABC中，AB＝2，AC＝3，·＝1，则BC＝( )
A. B.
C．2 D.
解析：选A ∵·＝1，且AB＝2，
∴1＝||||cos(π－B)，∴||cos B＝－.
在△ABC中，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B，
即9＝4＋BC2－2×2×.
∴BC＝.
5．已知非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝|a|，则a＋b与a－b的夹角θ为( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
解析：选B 将|a＋b|＝|a－b|两边同时平方得a·b＝0；
将|a－b|＝|a|两边同时平方得b2＝a2，
所以cos θ＝＝＝.
6．如图，在△ABC中，AD⊥AB，＝，||＝1，则·＝( )
A．2 B．3
C. D.
解析：选D 建系如图．
设B(xB,0)，D(0,1)，C(xC，yC)，＝(xC－xB，yC)，
＝(－xB,1)，
∵＝，∴xC－xB＝－xB?xC＝(1－)·xB，yC＝，＝((1－)xB，)，＝(0,1)，·＝.
7．(2013·“江南十校”联考)若|a|＝2，|b|＝4，且(a＋b)⊥a，则a与b的夹角是________．
解析：设向量a，b的夹角为θ.由(a＋b)⊥a得(a＋b)·a＝0，即|a|2＋a·b＝0，∵|a|＝2，∴a·b＝－4，∴|a|·|b|·cos θ＝－4，又|b|＝4，∴cos θ＝－，即θ＝.∴向量a，b的夹角为.
答案：
8．(2012·新课标全国卷)已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，则|b|＝________.
解析：∵a，b的夹角为45°，|a|＝1，∴a·b＝|a|·|b|·cos 45°＝|b|，
∴|2a－b|2＝4－4×|b|＋|b|2＝10.∴|b|＝3.
答案：3
9．(2012·大连模拟)已知向量a＝(2，－1)，b＝(x，－2)，c＝(3，y)，若a∥b，(a＋b)⊥(b－c)，M(x，y)，N(y，x)，则向量的模为________．
解析：∵a∥b，∴x＝4.∴b＝(4，－2)，
∴a＋b＝(6，－3)，b－c＝(1，－2－y)．
∵(a＋b)⊥(b－c)，∴(a＋b)·(b－c)＝0，
即6－3(－2－y)＝0，解得y＝－4.
∴向量＝(－8,8)，∴||＝8.
答案：8
10．已知a＝(1,2)，b＝(－2，n)，a与b的夹角是45°.
(1)求b；
(2)若c与b同向，且a与c－a垂直，求c.
解：(1)∵a·b＝2n－2，|a|＝，|b|＝，
∴cos 45°＝＝，
∴3n2－16n－12＝0(n>1)．
∴n＝6或n＝－(舍)．∴b＝(－2,6)．
(2)由(1)知，a·b＝10，|a|2＝5.
又∵c与b同向，故可设c＝λb(λ>0)．
∵(c－a)·a＝0，
∴λb·a－|a|2＝0.∴λ＝＝＝.
∴c＝b＝(－1,3)．
11．已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°.
(1)计算：①|a＋b|，②|4a－2b|；
(2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)?
解：由已知得，a·b＝4×8×＝－16.
(1)①∵|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2
＝16＋2×(－16)＋64＝48，
∴|a＋b|＝4.
②∵|4a－2b|2＝16a2－16a·b＋4b2
＝16×16－16×(－16)＋4×64＝768，
∴|4a－2b|＝16.
(2)∵(a＋2b)⊥(ka－b)，
∴(a＋2b)·(ka－b)＝0，
∴ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，
即16k－16(2k－1)－2×64＝0.
∴k＝－7.
即k＝－7时，a＋2b与ka－b垂直．
12．设在平面上有两个向量a＝(cos α，sin α)(0°≤α<360°)，b＝.
(1)求证：向量a＋b与a－b垂直；
(2)当向量a＋b与a－b的模相等时，求α的大小．
解：(1)证明：因为(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2＝(cos2α＋sin2α)－＝0，
所以a＋b与a－b垂直．
(2)由|a＋b|＝|a－b|，两边平方得
3|a|2＋2a·b＋|b|2＝|a|2－2a·b＋3|b|2，
所以2(|a|2－|b|2)＋4a·b＝0.
而|a|＝|b|，所以a·b＝0，
则×cos α＋×sin α＝0，即cos(α＋60°)＝0，
所以α＋60°＝k·180°＋90°，
即α＝k·180°＋30°，k∈Z.
又0°≤α＜360°，则α＝30°或α＝210°.
1．已知两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则下面结论正确的是( )
A．a∥b B．a⊥b
C．|a|＝|b| D．a＋b＝a－b
解析：选B 因为|a＋b|＝|a－b|，所以(a＋b)2＝(a－b)2，即a·b＝0，故a⊥b.
2．(2012·山东实验中学四诊)△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，若＋＝2，且||＝||，则向量在向量方向上的射影为( )
A. B.
C．3 D．－
解析：选A 由已知条件可以知道，△ABC的外接圆的圆心在线段BC的中点O处，因此△ABC是直角三角形，且∠A＝.又||＝||，所以∠C＝，∠B＝，AB＝，AC＝1，故在上的射影||cos＝.
3．已知＝(6,1)，＝(x，y)，＝(－2，－3)．
(1)若∥，求x与y之间的关系式；
(2)在(1)条件下，若⊥，求x，y的值及四边形ABCD的面积．
解：(1)∵＝＋＋＝(x＋4，y－2)，
∴＝－＝(－x－4,2－y)．
又∵∥且＝(x，y)，
∴x(2－y)－y(－x－4)＝0，
即x＋2y＝0.①
(2)由于＝＋＝(x＋6，y＋1)，
＝＋＝(x－2，y－3)，
又⊥，
所以·＝0，
即(x＋6)(x－2)＋(y＋1)(y－3)＝0.②
联立①②化简，得y2－2y－3＝0.
解得y＝3或y＝－1.
故当y＝3时，x＝－6，
此时＝(0,4)，＝(－8,0)，
所以SABCD＝||·||＝16；
当y＝－1时，x＝2，
此时＝(8,0)，＝(0，－4)，
∴SABCD＝||·||＝16.
1．△ABC中，AB边的高为CD，若＝a，＝b，a·b＝0，
|a|＝1，|b|＝2，则＝( )
A.a－b B.a－b
C.a－b D.a－b
解析：选D 如图，∵a·b＝0，∴a⊥b，∴∠ACB＝90°，
∴AB＝＝.
又CD⊥AB，
∴AC2＝AD·AB，∴AD＝.
∴＝＝(a－b)＝a－b.
2．(2012·郑州质检)若向量a＝(x－1,2)，b＝(4，y)相互垂直，则9x＋3y的最小值为( )
A．12 B．2
C．3 D．6
解析：选D 依题意得4(x－1)＋2y＝0，即2x＋y＝2,9x＋3y＝32x＋3y≥2＝2＝2＝6，当且仅当2x＝y＝1时取等号，因此9x＋3y的最小值是6.
3．(2012·山西省四校联考)在△OAB(O为原点)中，＝(2cos α，2sin α)，＝(5cos β，5sin β)，若·＝－5，则△OAB的面积S＝( )
A. B.
C．5 D.
解析：选D 设∠AOB＝θ，由||＝2，||＝5，·＝－5，得cos θ＝＝－，sin θ＝，所以S＝||·||sin θ＝×2×5×＝.
4． (2012·上海高考)在矩形ABCD中，边AB，AD的长分别为2,1，若M，N分别是边BC，CD上的点，且满足＝，则·的取值范围是________．
解析：如图所示，设＝＝λ(0≤λ≤1)，则＝λ，
＝λ，＝－＝(λ－1) ，
所以·＝(＋)·(＋)
＝(＋λ)·[＋(λ－1) ]
＝(λ－1) ·＋λ·
＝4(1－λ)＋λ＝4－3λ，
故当λ＝0时，·取得最大值4；当λ＝1时，·取得最小值1.
因此·AN―→∈[1,4]．
答案：[1,4]
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