第三章 直线与方程教材分析
在平面几何和立体几何里，我们直接依据几何图形中点、直线、平面的关系研究几何图形的性质 现在采用另外一种研究方法：坐标法 坐标法是在坐标系的基础上，把几何问题转化成代数问题，通过代数运算研究几何图形性质的方法 它是解析几何中最基本的研究方法 ?
解析几何是17世纪法国数学家笛卡儿和费马创立的 解析几何的创立是数学发展史上的一个里程碑，数学从此由常量数学进入变量数学时期 解析几何由此成为近代数学的基础之一
一、内容与课程学习目标
本章我们在直角坐标系中，建立直线的方程，并通过方程研究直线的有关性质，如平行、垂直、两条直线的交点、点到直线的距离等 通过本章学习，学生应当达到的学习目标是：
1．在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素
2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式
3．能根据斜率判定两条直线平行或垂直
4．根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），体会斜截式与一次函数的关系
5．能用解方程组的方法求两直线的交点坐标
6．会用两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离
二、内容安排
本章共分三节，大约需要9课时 具体课时分配如下（仅供参考）：
3．1? 直线的倾斜角与斜率????????????????????????????? 约2课时
3．2? 直线的方程????????????????????????????????????? 约3课时
3．3? 直线的交点坐标与距离公式??????????????????????? 约3课时
小结??????????????????????????????????????????? ?????约1课时
1．“直线的倾斜角与斜率”首先探索平面直角坐标系中确定直线位置的几何要素－－点和倾斜角 给出斜率的概念，并用代数方法表示它，导出用两点坐标表示斜率的公式，并根据直线的斜率判断两条直线平行与垂直
2．“直线的方程”首先在直角坐标系中建立直线的方程，然后介绍直线方程的点斜式、两点式、一般式，最后得出结论：在平面直角坐标系中，一切直线的方程都是二元一次方程，二元一次方程表示直线
3．“直线的交点坐标与距离公式”通过直线的方程研究两条直线的交点，并由此判断两条直线的位置关系：相交、平行及重合 通过点的坐标和直线的方程，导出两点间的距离、点到直线的距离以及两平行线间的距离
4．“探究与发现魔术师的地毯”是一个非常有趣的素材，主要是让学生运用直线斜率的知识，看两条直线是否共线，进而探究0．01m2的地毯到什么地方去了？
三、几个问题?
1．贯穿“坐标法”的思想，突出解析几何解决问题的“三部曲”?
本章注意突出解析几何的基本思想“坐标法”：用方程表示直线，运用方程研究直线的位置关系：平行、垂直，以及两条直线的交点、点到直线的距离、两条平行直线之间的距离 几何问题代数化，用数量关系表示空间形式、位置关系等等 结合大量的例题，突出用坐标方法解决几何问题的“三部曲”：?
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题：?
第二步：通过代数运算，解决代数问题；?
第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论 ?
2．从一个或几个数学问题展开知识内容?
问题是数学的心脏 引入知识内容时，常设置一个或几个问题，创设一种情境，一方面引起学生的兴趣，另一方面引起学生解决问题的求知欲望 ?
比如“3. 1.1倾斜角与斜率”，提出了几个思考题：?
思考：对于平面直角坐标系内的一条直线l，它的位置关系由那些条件确定呢？?
思考：日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？?
3．关注结论形成的过程，通过思考、探究，得出结论?
本章在编写时注意呈现方式，不直接给出结论，让学生证明 而是把结论放在学生经过一系列数学活动之后，通过思考、探究，得出结论 比如，用“坐标法”解决问题的“三部曲”就是通过解决一系列问题后得出 在例题的呈现时，增加了分析的过程，重点分析解题的思路 ?
4．充分利用教科书边空，提出具有一定思考价值的问题，强调重要的数学思想方法?
利用教科书边空不失时机地提出一些具有一定思考价值的问题，例如，“3. 2.1直线的点斜式方程”中的边空“截距是距离吗？”“3. 2.3 直线的一般式方程”中边空“分类讨论时，常按α＝90°和α≠90°分类，这样可以做到不重不漏 ”等等
?四、对教学的几个建议?
1．注意把握教学要求?
教学中，注意控制教学的难度，避免进行综合性强、难度较大的数学题的训练，避免在解题技巧上做文章 比如，义务教育阶段“空间与图形”部分涉及的许多结论都可以用坐标法来加以证明，而义务教育阶段的教学要求已经有所改变 因此，用坐标法证明平面几何题要求不宜过高，适可而止 ?
传统的解析几何内容安排在三角函数后面，而现在安排在三角函数之前 当用到相关三角函数时，只在边空给出提示，让学生作为结论直接使用，不给出证明 例如，， 这些结论放在数学4时补证 ?
2．关注重要数学思想方法的教学?
重要的数学思想方法不怕重复 《普通高中数学课程标准（实验）》要求“坐标法”应贯穿平面解析几何教学的始终，帮助学生不断地体会“数形结合”的思想方法 在教学中应自始至终强化这一思想方法，这是解析几何的特点 教学中注意“数”与“形”的结合，在通过代数方法研究几何对象的位置关系以后，还可以画出其图形，验证代数结果；同时，通过观察几何图形得到的数学结论，对结论进行代数证明，即用解析方法解决某些代数问题，不应割断它们之间的联系，只强调“形”到“数”的方面 而忽视“数”到“形”的方面
3．关注学生的动手操作和主动参与?
学习方式的转变是课程改革的重要目标之一 教学中，注意提供充分的数学活动和交流的机会，引导他们在自主探索的过程中获得知识、增强技能、掌握基本的数学思想方法 “观察”、“思考”、“探究”等栏目设置目的之一就是让学生参与到数学活动中来 采取“先学后教”的方法?
4．关注信息技术的应用?
平面解析几何是一门典型的数与形结合的学科，信息技术在加强几何直观，促使数与形结合方面有着特殊的作用 借助信息技术，可以形象、直观地帮助学生认识所研究的直线 在动态演示中，观察直线的性质，在直观了解的基础上，寻求形成这些性质的原因以及代数表示 通过对方程的研究，了解直线与直线的关系时，运用信息技术，可以进一步验证得到的结果，为抽象的认识增添形象的支持
3.1.1直线的倾斜角和斜率
一、教学目标:
1．正确理解直线的倾斜角和斜率的概念．理解直线的倾斜角的唯一性.理解直线的斜率的存在性.斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式．
2． 通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力．通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．
二、重点与难点: 直线的倾斜角、斜率的概念和公式.
三、教学用具：计算机
四、教学方法：启发、引导、讨论，先学后教.
五、教学过程：
直线的倾斜角的概念
我们知道, 经过两点有且只有(确定)一条直线. 那么, 经过一点P的直线l的位置能确定吗? 如图, 过一点P可以作无数多条直线a,b,c, …易见,答案是否定的.这些直线有什么联系呢?
(1)它们都经过点P. (2)它们的‘倾斜程度’不同. 怎样描述这种‘倾斜程度’的不同?
引入直线的倾斜角的概念:
当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α= 0°.
问: 倾斜角α的取值范围是什么? 0°≤α＜180°.
当直线l与x轴垂直时, α= 90°.
因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度, 引入直线的倾斜角之后, 我们就可以用倾斜角α来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度.
如图, 直线a∥b∥c, 那么它们
的倾斜角α相等吗? 答案是肯定的.所以一个倾斜角α不能确定一条直线.
确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素: 一个点P和一个倾斜角α.
(二)直线的斜率:
一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是 k = tanα
⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0;
⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在.
由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.
例如, α=45°时, k = tan45°= 1;
α=135°时, k = tan135°= tan(180°－ 45°) = - tan45°= - 1.
学习了斜率之后, 我们又可以用斜率来表示直线的倾斜程度.
(三) 直线的斜率公式:
给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,如何用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率?
可用计算机作动画演示: 直线P1P2的四种情况, 并引导学生如何作辅助线,
共同完成斜率公式的推导.(略)
斜率公式:
对于上面的斜率公式要注意下面四点：
(1) 当x1=x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角α= 90°, 直线与x轴垂直；
(2)k与P1、P2的顺序无关, 即y1,y2和x1,x2在公式中的前后次序可以同时交换, 但分子与分母不能交换;
(3)斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得;
(4) 当 y1=y2时, 斜率k = 0, 直线的倾斜角α=0°，直线与x轴平行或重合.
(5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到．
(四)例题:
例1 已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线AB, BC, CA的斜率, 并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.(用计算机作直线, 图略)
分析: 已知两点坐标, 而且x1≠x2, 由斜率公式代入即可求得k的值;
而当k = tanα<0时, 倾斜角α是钝角;
而当k = tanα>0时, 倾斜角α是锐角;
而当k = tanα=0时, 倾斜角α是0°.
略解: 直线AB的斜率k1=1/7>0, 所以它的倾斜角α是锐角;
直线BC的斜率k2=-0.5<0, 所以它的倾斜角α是钝角;
直线CA的斜率k3=1>0, 所以它的倾斜角α是锐角.
例2 在平面直角坐标系中, 画出经过原点且斜率分别为1, -1, 2, 及-3的直线a, b, c, l.
分析:要画出经过原点的直线a, 只要再找出a上的另外一点M. 而M的坐标可以根据直线a的斜率确定; 或者k=tanα=1是特殊值,所以也可以以原点为角的顶点,x 轴的正半轴为角的一边, 在x 轴的上方作45°的角, 再把所作的这一边反向延长成直线即可.
略解: 设直线a上的另外一点M的坐标为(x,y),根据斜率公式有
1=(y－0)／(x－0)
所以 x = y
可令x = 1, 则y = 1, 于是点M的坐标为(1,1).此时过原点和点M(1,1), 可作直线a.
同理, 可作直线b, c, l.(用计算机作动画演示画直线过程)
(五)练习: P91 1. 2. 3. 4.
(六)小结:
(1)直线的倾斜角和斜率的概念．
(2) 直线的斜率公式.
(七)课后作业: P94 习题3.1 1. 3.
(八)板书设计:
【点此下载】