题目 第二章函数函数的解析式与表示方法
高考要求
1.由所给函数表达式正确求出函数的定义域；
2.掌握求函数值域的几种常用方法；
3.能根据函数所具有的某些性质或它所满足的一些关系，求出它的解析式；
4.会进行函数三种表示方法的互化，培养学生思维的严密性、多样性.
知识点归纳
1.函数的三种表示法
（1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式.
（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系.
（3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系.
2.求函数解析式的题型有：
（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；
（2）已知求或已知求：换元法、配凑法；
（3）已知函数图像，求函数解析式；
（4）满足某个等式，这个等式除外还有其他未知量，需构造另个等式解方程组法；
（5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等．
题型讲解
例1（1）已知，求；
（2）已知，求；
（3）已知是一次函数，且满足，求；
（4）已知满足，求．
解：（1）∵，
∴（或）．
（2）令（），
则，∴，∴．
（3）设，
则
，
∴，，∴．
（4） ①，
把①中的换成，得 ②，
①②得，∴．
注：第（1）题用配凑法；第（2）题用换元法；第（3）题已知一次函数，可用待定系数法；第（4）题用方程组法．
例1 已知函数f（x）=的定义域是R，则实数a的取值范围是
A.a＞ B.－12＜a≤0 C.－12＜a＜0 D.a≤
解：由a=0或可得－12＜a≤0.
答案：B
例2 在△ABC中，BC=2，AB+AC=3，中线AD的长为y，AB的长为x，建立y与x的函数关系式，并指出其定义域.
解：设∠ADC＝θ，则∠ADB＝π－θ.
根据余弦定理得
12＋y2－2ycosθ＝（3－x）2， ①
12＋y2－2ycos（π－θ）＝x2. ②
由①＋②整理得y＝.
其中 解得＜x＜.
∴函数的定义域为（，）.
评述：函数的定义域是使式子有意义的自变量的取值范围，同时也要注意变量的实际意义的要求.
例3 若函数f（x）=的值域为［－1，5］，求实数a、c.
解：由y=f（x）=，得x2y－ax+cy－1=0.
当y=0时，ax=－1，∴a≠0.
当y≠0时，∵x∈R，∴Δ=a2－4y（cy－1）≥0.
∴4cy2－4y－a2≤0.
∵－1≤y≤5，∴－1、5是方程4cy2－4y－a2=0的两根.
∴∴
评述：求f（x）=（a12+a22≠0）的值域时，常利用函数的定义域非空这一隐含的条件，将函数转化为方程，利用Δ≥0转化为关于函数值的不等式.求解时，要注意二次项系数为字母时要讨论.
例4设定义在N上的函数f（x）满足
f（n）= 试求f（2002）的值.
解：∵2002＞2000，
∴f（2002）=f［f（2002－18）］=f［f（1984）］=f［1984+13］=f（1997）=1997+13=2010.
例5设f（x）=－2x+1，已知f（m）=，求f（－m）.
解法一：∵f（m）=，∴－2m+1=. ①
∴－2m=－1.
∴f（－m）=+2m+1=+2m+1
=+2m+1=+2m+1=－+ 2m+1
=－（－2m）+1=－（－1）+1=2－.
解法二：f（x）=－2x+1＝－2x+1
令，则
∴
∵
∴
例6某市有小灵通与全球通两种手机，小灵通手机的月租费为25元，接听电话不收费，打出电话一次在3 min以内收费0.2元，超过3 min的部分为每分钟收费0.1元，不足1 min按1 min计算（以下同）.全球通手机月租费为10元，接听与打出的费用都是每分钟0.2元.若某人打出与接听次数一样多，每次接听与打出的时间在1 min以内、1到2 min以内、2到3 min以内、3到4 min以内的次数之比为4∶3∶1∶1.问，根据他的通话次数应该选择什么样的手机才能使费用最省？（注：m到m+1 min以内指含m min，而不含m+1 min）
解：设小灵通每月的费用为y1元，全球通的费用为y2元，分别在1 min以内、2 min以内、3 min以内、4 min以内的通话次数为4x、3x、x、x，则
y1=25+（4x+3x+x+x）×0.2+0.1x=25+1.9x，
y2=10+2（0.2×4x+0.4×3x+0.6x+0.8x）=10+6.8x.
令y1≥y2，即25+1.9x≥10+6.8x，
解得x≤≈3.06.
∴总次数为（4+3+1+1）×2×3.06=55.1.
故当他每月的通话次数小于等于55次时，应选择全球通，大于55次时应选择小灵通.
例7 某市收水费的方法是：水费=基本费+超额费+耗损费，若每月用水量不超过最低限量am3时，只付基本费8元及每户每月的定额耗损费c元，若用水量超过am3时，除了付同上的基本费和耗损费之外，超过部分每m3付b元的超额费，已知耗损费不超过5元。
该市一家庭今年一月、二月、三月份的用水量和支付费用如下表所示：
月份
用水量
水费
一月
9m3
9元
二月
15m3
19元
三月
22m3
33元
根据上面表格中的数据求a，b，c
解：设每月用水量为xm3,支付费用为y元，由收费方法知：
依题意：0
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