题目 (选修Ⅱ)第二章极限数列的极限
高考要求
1理解数列极限的概念,掌握数列极限的运算法则
2会通过恒等变形,依据数列极限的运算法则,依据极限为0的几种形式,求数列的极根
3会求公比绝对值小于1的无穷等比数列各项的和
知识点归纳
1数列极限的定义:
一般地,如果当项数无限增大时,无穷数列的项无限趋近于某个常数(即|an-a|无限地接近于0),那么就说数列以为极限
记作.
注:a不一定是{an}中的项
2几个重要极限:
(1) (2)(C是常数)(3)
3极限问题的基本类型:
分式型,主要看分子和分母的首项系数;
指数型(型),通过变形使得各式有极限;
根式型(∞─∞型),通过有理化变形使得各式有极限;
4 数列极限的运算法则:
与函数极限的运算法则类似, 如果那么
5.无穷等比数列的各项和
⑴公比的绝对值小于1的无穷等比数列前n项的和当n无限增大时的极限,叫做这个无穷等比数列各项的和,记做
⑵
题型讲解
例1 求三个基本类型的极限:
①; ②; ③
分析:①的分子有界,分可以无限增大,因此极限为0;
②的分子次数等于分母次数,极限为两首项(最高项)系数之比;
③的分子次数小于于分母次数,极限为0
解:①;
②;
③
点评:分子次数高于分母次数,极限不存在;
例2 求下列极限:
(1); (2) (-n);
(3)(++…+)
分析:(1)因为分子分母都无极限,故不能直接运用商的极限运算法则,可通过变形分子分母同除以n2后再求极限;(2)因与n都没有极限,可先分子有理化再求极限;(3)因为极限的运算法则只适用于有限个数列,需先求和再求极限
解:(1)==
(2) (-n)= ==
(3)原式===(1+)=1
点评:对于(1)要避免下面两种错误:①原式===1,②∵(2n 2+n+7), (5n2+7)不存在,∴原式无极限
对于(2)要避免出现下面两种错误:①(-n)= -n=∞-∞=0;②原式=-n=∞-∞不存在
对于(3)要避免出现原式=++…+=0+0+…+0=0这样的错误
例3 数列{an}和{bn}都是公差不为0的等差数列,且=3,求的值为
解:由=3(d1=3d2 ,
∴==
点评:化归思想
例4 求 (a>0);
解:=
点评:注意分类讨论
例5 已知,求实数a,b的值;
解:=1,
∴ (a=1,b=─1
例6 将无限循环小数化为分数
解:=012+00012+0000012+…是一个无穷等比数列的各项和,
∴=012/(1─001)=12/99=4/33
点评:将无限循环小数化分数的方法
例7 求数列,,,…的前n项和及各项和
解:此数列是一个首项为a1==18/99=2/11,公比为q=1/100的等比数列,
∴Sn=, S=
点评:注意前n项和与各项和的区别
例8 在边长为a的正方形ABCD中内依次作内接正方形AiBiCiDi(i=1,2,3,…),使内接正方形与相邻前一个正方形的一边夹角为(,求所有正方形的面积之和
分析:从递推式入手
解:令第k个正方形的边长为ak,则ak+1(sin(+cos()=ak (0<(<π/2),
(,
即{}为等比数列,且公比小于1,
∴ 所有正方形面积之和
S=
点评:从通项出发,找出递推关系是关键
例9 已知数列{an}是由正数构成的数列,a1=3,且满足lgan=lgan-1+lgc,其中n是大于1的整数,c是正数.
(1)求数列{an}的通项公式及前n和Sn;
(2)求的值.
解:(1)由已知得an=c·an-1,
∴{an}是以a1=3,公比为c的等比数列,则an=3·cn-1
∴Sn=
(2) =
①当c=2时,原式=-;
②当c>2时,原式==-;
③当0<c<2时,原式==
点评:求数列极限时要注意分类讨论思想的应用
例10 已知等比数列{an}的首项为a1,公比为q,且有(-qn)=,求首项a1的取值范围
解: (-qn)=,
∴qn一定存在∴0<|q|<1或q=1
当q=1时,-1=,∴a1=3
当0<|q|<1时,由(-qn)=得=,∴2a1-1=q
∴0<|2a1-1|<1∴0<a1<1且a1≠
综上,得0<a1<1且a1≠或a1=3
小结:
1运用数列极限的运算法则求一些数列的极限时必须注意以下几点:
(1)各数列的极限必须存在;
(2)四则运算只限于有限个数列极限的运算
2熟练掌握如下几个常用极限:
(1) C=C(C为常数);
(2) ()p=0(p>0);
(3) =(k∈N *,a、b、c、d∈R且c≠0);
(4) qn=0(|q|<1)
3数列极限的几种类型:∞-∞,,0-0,等形式,必须先化简成可求极限的类型再用四则运算求极限,另外还有先求和,约分后再求极限,对含参数的题目一定要注意分别讨论
4重视在日常学习过程中化归思想、分类讨论思想和极限思想的运用
学生练习
1下列极限正确的个数是
①=0(α>0) ②qn=0
③=-1 ④C=C(C为常数)
A2 B3 C4 D都不正确
解析:①③④正确
答案:B
2 [n(1-)(1-)(1-)…(1-)]等于
A0 B1 C2 D3
解析: [n(1-)(1-)(1-)…(1-)]
=[n××××…×]
==2
答案:C
3下列四个命题中正确的是
A若an2=A2,则an=A B若an>0,an=A,则A>0
C若an=A,则an2=A2 D若(an-b)=0,则an=bn
解析:排除法,取an=(-1)n,排除A;
取an=,排除B;取an=bn=n,排除D.
答案:C
4已知a、b、c是实常数,且=2, =3,则的值是
A2 B3 C D6
解析:由=2,得a=2b
由=3,得b=3c,∴c=b
∴=6
∴== =6
答案:D
5若数列{an}的通项公式是an=,n=1,2,…,则 (a1+a2+…+an)等于
A B C D
解析:an=
即an=
∴a1+a2+…+an=(2-1+2-3+2-5+…)+(3-2+3-4+3-6+…)
∴(a1+a2+…+an)=+=
答案:C
6数列{an}中,a1=,an+an+1=,n∈N*,则(a1+a2+…+an)等于
A B C D
解析:2(a1+a2+…+an)=a1+[(a1+a2)+(a2+a3)+(a3+a4)+…+(an-1+an)]+an=+[++…+]+an
∴原式=[++an]=(++an)
∵an+an+1=,∴an+an+1=0
∴an=0
答案:C
7 =__________
解析:原式===0
答案:0
8 =____________
解析:原式==
答案:
9在数列{an}中,a1=3,且对任意大于1的正整数n,点(,)在直线x-y-=0上,则=______________
解析:由题意得-= (n≥2)
∴{}是公差为的等差数列,=
∴=+(n-1)·=n
∴an=3n2
∴=
==3
答案:3
10设等比数列{an}(n∈N)的公比q=-,且(a1+a3+a5+…+a2n-1)=,则a1=_____________
解析:∵q=-,∴ (a1+a3+a5+…+a2n-1)==∴a1=2
答案:2
11已知数列{an}满足(n-1)an+1=(n+1)(an-1)且a2=6,设bn=an+n(n∈N*)
(1)求{bn}的通项公式;
(2)求(+++…+)的值
解:(1)n=1时,由(n-1)an+1=(n+1)(an-1),得a1=1
n=2时,a2=6代入得a3=15同理a4=28,再代入bn=an+n,有b1=2,b2=8,b3=18,b4=32,由此猜想bn=2n2
要证bn=2n2,只需证an=2n2-n
①当n=1时,a1=2×12-1=1成立
②假设当n=k时,ak=2k2-k成立
那么当n=k+1时,由(k-1)ak+1=(k+1)(ak-1),得a k+1=(ak-1)
=(2k2-k-1)=(2k+1)(k-1)=(k+1)(2k+1)=2(k+1)2-(k+1)
∴当n=k+1时,an=2n2-n正确,从而bn=2n2
(2)(++…+)=(++…+)
=[++…+]
=[1-+-+…+-]
=[1+--]=
12已知数列{an}、{bn}都是无穷等差数列,其中a1=3,b1=2,b2是a2与a3的等差中项,且
=,求极限 (++…+)的值
解:{an}、{bn}的公差分别为d1、d2
∵2b2=a2+a3,即2(2+d2)=(3+d1)+(3+2d1),
∴2d2-3d1=2
又===,即d2=2d1,
∴d1=2,d2=4
∴an=a1+(n-1)d1=2n+1,bn=b1+(n-1)d2=4n-2
∴==(-)
∴原式=(1-)=
13已知数列{an}、{bn}都是由正数组成的等比数列,公比分别为p、q,其中p>q且p≠1,q≠1,设cn=an+bn,Sn为数列{cn}的前n项和,求
解:Sn=+,
当p>1时,p>q>0,得0<<1,上式分子、分母同除以pn-1,得
∴=p
当p<1时,0<q<p<1, ==1
14已知数列{an}满足a1=0,a2=1,an=,求an
解:由an=,得
2an+an-1=2an-1+an-2,∴{2an+an-1}是常数列
∵2a2+a1=2,∴2an+an-1=2
∴an-=-(an-1-)
∴{an-}是公比为-,首项为-的等比数列
∴an-=-×(-)n-1
∴an=-×(-)n-1
∴an=
课前后备注
1 已知直线l:x-ny=0(n∈N *),圆M:(x+1)2+(y+1)2=1,抛物线:y=(x-1)2,又l与M交于点A、B,l与交于点C、D,求
分析:要求的值,必须先求它与n的关系
解:设圆心M(-1,-1)到直线l的距离为d,则d2=
又r=1,∴|AB|2=4(1-d2)=
设点C(x1,y1), D(x2,y2),
由nx2-(2n+1)x+n=0,
∴x1+x2=, x1·x2=1
∵(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=,(y1-y2)2=(-)2=,
∴|CD|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2
=(4n+1)(n2+1)
∴===2
点评:本题属于解析几何与数列极限的综合题要求极限,需先求,这就要求掌握求弦长的方法
2 若数列{an}的首项为a1=1,且对任意n∈N*,an与an+1恰为方程x2-bnx+cn=0的两根,其中0<|c|<1,当 (b1+b2+…+bn)≤3,求c的取值范围
解:首先,由题意对任意n∈N*,an·an+1=cn恒成立
∴===c又a1·a2=a2=c
∴a1,a3,a5,…,a2n-1,…是首项为1,公比为c的等比数列,a2,a4,a6,…,a2n,…是首项为c,公比为c的等比数列其次,由于对任意n∈N*,an+an+1=bn恒成立
∴==c又b1=a1+a2=1+c,b2=a2+a3=2c,
∴b1,b3,b5,…,b2n-1,…是首项为1+c,公比为c的等比数列,b2,b4,b6,…,b2n,…是首项为2c,公比为c的等比数列,
∴ (b1+b2+b3+…+bn)= (b1+b3+b5+…)+ (b2+b4+…)=+≤3
解得c≤或c>1∵0<|c|<1,∴0<c≤或-1<c<0
故c的取值范围是(-1,0)∪(0,]
点评:本题的关键在于将题设中的极限不等式转化为关于c的不等式,即将{bn}的各项和表示为关于c的解析式,显然“桥梁”应是一元二次方程根与系数的关系,故以根与系数的关系为突破口
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